積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)實(shí)踐
——以“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

沈秀蘭

（韶關(guān)市第五中學(xué)，廣東 韶關(guān) 512026）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）提出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”）.那么，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為“四基”之一，其內(nèi)涵和意義是什么？如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？教學(xué)實(shí)踐后有什么收獲？本文以“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探索如何通過恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的思維方式，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 課程教學(xué)分析

1.1 教材內(nèi)容分析

教材按照橢圓、雙曲線、拋物線的順序，對(duì)每種曲線分別按定義、方程、幾何性質(zhì)進(jìn)行討論.本節(jié)是在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的定義、方程及幾何性質(zhì)基礎(chǔ)上，利用離心率e不同的取值范圍展開的，同時(shí)它又是繼續(xù)學(xué)習(xí)拋物線幾何性質(zhì)的基礎(chǔ).因此本節(jié)內(nèi)容起到一個(gè)鞏固舊知，熟練方法，拓展新知的承上啟下的作用，是發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好素材.

1.2 學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象是高二級(jí)的學(xué)生，他們有一定的空間想象力、抽象概括的能力和推理運(yùn)算的技能，但自主探究意識(shí)比較欠缺.在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線，對(duì)圓錐曲線的研究過程與方法有了一定的了解和認(rèn)知，這對(duì)于拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)有借鑒、遷移作用.

1.3 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

通過對(duì)課本47頁例6和59頁例5這兩道例題進(jìn)行類比，歸納這兩道例題的異同點(diǎn)，抽象概括出拋物線的定義，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過幾何畫板演示拋物線的定義以及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義，提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)；掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握坐標(biāo)法的基本思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)；通過例題與變式的應(yīng)用，使學(xué)生初步感受拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的運(yùn)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，借助課后思考題作業(yè)，深化基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生自主探究和創(chuàng)新意識(shí)；營造親切、和諧的課堂氛圍，以“趣”激學(xué).通過橢圓、雙曲線、拋物線定義的統(tǒng)一性體現(xiàn)教學(xué)的統(tǒng)一美，通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)體現(xiàn)教學(xué)的簡(jiǎn)潔美.體會(huì)成功帶來的喜悅.重點(diǎn)：拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.難點(diǎn)：拋物線定義的生成及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.

2 教學(xué)過程

2.1 復(fù)習(xí)類比，引入探究

活動(dòng)1 類比課本例題，探究3種圓錐曲線圖形與離心率的值（數(shù)與形）的關(guān)系.

（1）（課本 47頁例 6）點(diǎn) M（x，y）與定點(diǎn) F2（4，0）的距離，和它到定直線的距離d的比是常數(shù)求M的軌跡.

（2）（課本 59頁例 5）點(diǎn) M（x，y）與定點(diǎn) F2（5，0）的距離，和它到定直線的距離d的比是常數(shù)，求M的軌跡.

圖1

探究問題1 從活動(dòng)1的兩個(gè)例題，你能發(fā)現(xiàn)是什么條件起關(guān)鍵作用，使所得的軌跡是兩種不同的曲線？

教師活動(dòng) 教師展示兩個(gè)已學(xué)例題及圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，提出探究問題1.

學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生動(dòng)手推導(dǎo)課本兩道例題所得軌跡方程，思考老師提出的探究問題1.

設(shè)計(jì)意圖 課本47頁例6與59頁例5這兩道例題的題干一致，通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目里的數(shù)值進(jìn)行分析，得出平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比值在不同范圍表示不同的圓錐曲線，這個(gè)比值即為離心率.通過類比這兩道例題，引發(fā)學(xué)生思考和交流，積累獲得數(shù)學(xué)信息，整理和分析圓錐曲線的數(shù)與形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光類比觀察，發(fā)展學(xué)生提出問題的能力.探究問題2 對(duì)活動(dòng)1的兩個(gè)例題中的條件進(jìn)行比較，通過合情推理，你能按照上述提出什么命題？教師巡視后發(fā)現(xiàn)以下3個(gè)比較有研究?jī)r(jià)值的命題，請(qǐng)學(xué)生代表書寫在黑板上并寫出求解過程（如果學(xué)生中沒有人提出命題3，則由老師與學(xué)生一起提出這個(gè)命題）.

圖2

命題1點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F2（5，0）的距離，和它到定直線的距離d的比是常數(shù)e＜0，求M的軌跡.

略解：由距離的幾何意義可知兩個(gè)距離的比值為非負(fù)數(shù)，所以M的軌跡不存在.

命題2點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F2（5，0）的距離，和它到定直線的距離d的比是常數(shù)e=1，求M的軌跡.

命題3點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F2（5，0）的距離，和它到定直線l∶x=-5的距離d的比是常數(shù)e=1，求M的軌跡.

教師：哪個(gè)命題更具有研究的價(jià)值呢？

教師引導(dǎo)觀察并注意到：命題1由于常數(shù)e是兩個(gè)距離的比值，故當(dāng)e＜0時(shí)，M的軌跡不存在；命題2與命題3都是在e=1情況下，推導(dǎo)出M的軌跡方程，因此我們有必要去研究當(dāng)e=1時(shí)得到的軌跡會(huì)是什么.

教師活動(dòng) 點(diǎn)評(píng)，篩選，點(diǎn)撥，引導(dǎo).

學(xué)生活動(dòng) 在老師的點(diǎn)撥下，深入研究相關(guān)命題，引出新的命題.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)表達(dá)、推導(dǎo)演算的過程中，充分發(fā)揮學(xué)生的能動(dòng)性，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，積累運(yùn)用比較、合情推理、類分等數(shù)學(xué)方法探究問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γl(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理核心素養(yǎng).

2.2 演示猜想，抽象概括

活動(dòng)2 多媒體演示，引導(dǎo)學(xué)生概括拋物線的概念，如圖3所示.

圖3 拋物線的概念演示

通過幾何畫板演示，當(dāng)0＜e＜1所得的軌跡是橢圓，當(dāng)e＞1所得的軌跡是雙曲線，當(dāng)e=1即平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l的距離相等所得的軌跡是拋物線，從而得到拋物線的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l的距離相等的點(diǎn)M的軌跡叫做拋物線.其中，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.

教師活動(dòng) 教師利用幾何畫板演示當(dāng)e=1時(shí)拋物線的形成過程.引導(dǎo)學(xué)生觀察追蹤動(dòng)點(diǎn)M形成的軌跡形狀，體會(huì)圖形的對(duì)稱性.

學(xué)生活動(dòng) 觀察動(dòng)點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離∣MF∣與動(dòng)點(diǎn)M到定直線l的距離∣MH∣之間的關(guān)系，探索時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為拋物線，進(jìn)而概括出拋物線的定義.

設(shè)計(jì)意圖 重視運(yùn)用信息技術(shù)化課堂教學(xué).通過幾何畫板的演示，離心率e在不同范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)不同的曲線，得出3種圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）圖形與離心率的本質(zhì)關(guān)系，并在演示當(dāng)e=1拋物線的形成過程中，為學(xué)生理解拋物線的概念、探索∣MF∣=∣MH∣時(shí)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡提供直觀畫面，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)合思想，體現(xiàn)信息技術(shù)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值.概念的形成過程是學(xué)生從獲取感性的認(rèn)識(shí)逐步上升到理性認(rèn)識(shí)的過程，通過抽象和概括，提煉出數(shù)學(xué)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.3 自主探究，合作交流

活動(dòng)3 小組合作交流，自主探究拋物線方程的推導(dǎo)過程及其特點(diǎn).

探究問題3 過F作準(zhǔn)線的垂線，垂足為K，設(shè)∣FK∣=p，如何建立直角坐標(biāo)系更恰當(dāng)？

4人學(xué)習(xí)小組分組討論，學(xué)生思考，獨(dú)立建立直角坐標(biāo)系，教師巡視，從學(xué)生中歸納出以下3種解法，如圖4所示.

圖4 學(xué)生歸納的3種直角坐標(biāo)系

教師：哪個(gè)才是最恰當(dāng)?shù)慕ㄏ捣桨改?？為什么?/p>

方案3所得的方程更美（與之前的命題3所求的M的軌跡方程相對(duì)應(yīng)），所得方程即為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

把y2=2px叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是它的準(zhǔn)線方程是

注意：標(biāo)準(zhǔn)的拋物線是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圖象關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱.

探究問題4 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式？他們之間相同點(diǎn)與不同點(diǎn)分別是什么？

學(xué)生自主填空，完成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程4種形式的表格，回答以下問題：

問題1 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的4種形式有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

問題2 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的4種形式，各項(xiàng)系數(shù)有什么特點(diǎn)？

問題3 4種拋物線的圖形有什么特點(diǎn)？

問題4 從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如何看出焦點(diǎn)所在的位置及拋物線的開口方向？

問題5 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如何寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？

問題6 已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程如何寫出標(biāo)準(zhǔn)方程？

教師活動(dòng) 組織、導(dǎo)航、問題鏈提問、規(guī)范與點(diǎn)撥，使討論深入展開.

學(xué)生活動(dòng) 4人小組為單位，先討論建立直角坐標(biāo)系的方案得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，再參與拋物線“數(shù)與形”的分類特征，舉一反三，完成拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程不同形式的表格填寫，并進(jìn)行觀察與思辨，通過回答問題串歸納總結(jié)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程4種形式的異同點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 分組合作活動(dòng)的創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生體驗(yàn)自己或與他人合作得出結(jié)論的創(chuàng)造過程.通過圖形的對(duì)稱性，采用數(shù)形結(jié)合思想方法歸納出其他3種位置的標(biāo)準(zhǔn)方程，積累發(fā)散數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì).學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維，直觀想象等核心素養(yǎng)得到提升，也為分析例題和解決實(shí)際應(yīng)用問題奠定理論基礎(chǔ)，并從中體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔、整齊之美.體會(huì)數(shù)學(xué)圖形自身或圖形與圖形之間的對(duì)稱之美，是本節(jié)課亮點(diǎn)所在.

2.4 典例分析，鞏固提高

活動(dòng)4 通過例題強(qiáng)化訓(xùn)練，對(duì)知識(shí)點(diǎn)加以鞏固提高.

例 下面方程式表示的是拋物線嗎？如果是，請(qǐng)寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

（1）y2=20y； （2）y=2x2； （3）2y2+5x=0； （4）x2-8y=0.

變式1 根據(jù)下面的條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2）；（2）準(zhǔn)線方程是

歸納：1、先由焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程確定拋物線的開口方向；2、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程的已知量的4倍.

變式2 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并經(jīng)過點(diǎn)P（-6，-3），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.歸納：因?yàn)镻（-6，-3）在第三象限，需對(duì)拋物線的開口方向進(jìn)行分類討論.

教師活動(dòng) 例題先由師生共同討論，再由學(xué)生練習(xí)后，檢查練習(xí)過程，投影解答過程.

學(xué)生活動(dòng) 思考，練習(xí)，表達(dá)，解題.

設(shè)計(jì)意圖 例題的設(shè)置是對(duì)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，變式1對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)用的鞏固與提高，變式2滲透分類討論的思想，重在分類討論思路的探究，通過分析分類的過程中如何認(rèn)識(shí)對(duì)象的性質(zhì)，如何區(qū)分不同對(duì)象的不同性質(zhì)，使學(xué)生逐步體會(huì)為什么要分類、如何分類、如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，強(qiáng)化分類討論等基本思想.本活動(dòng)問題的設(shè)置由易到難，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在此活動(dòng)過程中，學(xué)生思維層層遞進(jìn)，不斷升華，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.5 布置作業(yè)，拓展延伸

活動(dòng)5 布置分層作業(yè).

1、必做題：（1）P59 練習(xí)1、2、3（課本）； （2）P64 習(xí)題 2.3 A 組 2、4 （作業(yè)本）.

2、選做題（課后思考）如圖5所示，在玩游戲“瘋狂的小鳥”時(shí)，測(cè)得小鳥投擲的軌跡是拋物線，拋物線最高點(diǎn)離底面的距離為4 m，豬窩高為3 m，豬窩頂?shù)闹行碾x最高點(diǎn)的水平距離為2 m，怎樣建坐標(biāo)系求投中時(shí)拋物線的方程更簡(jiǎn)便，此時(shí)拋物線的方程是什么？

圖5 瘋狂的小鳥的投擲的軌跡

設(shè)計(jì)意圖 課后思考是課堂活動(dòng)的延伸，是為學(xué)有余力的學(xué)生提供更大的思維發(fā)展空間，體現(xiàn)分層教學(xué).通過采用分層作業(yè)，豐富作業(yè)形式，提高作業(yè)質(zhì)量，提升學(xué)生完成作業(yè)的自主性、有效性.選做題把課內(nèi)的知識(shí)延伸到課外，加深學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來自生活，又應(yīng)用于生活，服務(wù)于生活.在求幾何軌跡方程的過程中積累實(shí)踐性、思維性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的良好習(xí)慣和創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

3 課后反思

3.1 數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)探究活動(dòng)

數(shù)學(xué)思想方法的感悟是在學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累的.在這節(jié)課的教學(xué)過程中，充分體現(xiàn)以學(xué)生為主體，以學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為載體，架構(gòu)學(xué)生思維活動(dòng)的空間，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主探究的過程.整個(gè)教學(xué)過程注意滲透數(shù)學(xué)思想方法，包括“分類討論”“數(shù)形結(jié)合”“轉(zhuǎn)化與化歸”等數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生自覺地將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最終形成創(chuàng)造能力.

3.2 問題串調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科思維

新課標(biāo)倡導(dǎo)教師要運(yùn)用適當(dāng)?shù)膯栴}串幫助學(xué)生探究新知，突破學(xué)習(xí)障礙.本節(jié)課問題串中探究性問題的設(shè)置，給學(xué)生搭設(shè)理解問題的橋梁，調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，開展數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，體現(xiàn)問題的驅(qū)動(dòng)性、啟發(fā)性、適應(yīng)性和關(guān)聯(lián)性.在這個(gè)過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的思維方式，積累提出問題、分析問題、解決問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有利于提高學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 多種教學(xué)方式助力學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

聯(lián)合國教科文組織在《學(xué)會(huì)生存》中強(qiáng)調(diào)：教育的價(jià)值就在于幫助人以一切可能的方式實(shí)現(xiàn)自己的潛能.在以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人、提升素養(yǎng)的理念指導(dǎo)下，本節(jié)課設(shè)計(jì)了類比、多媒體輔助教學(xué)、分組合作、分層、美育等具有主體性、實(shí)踐性、可發(fā)展性和多樣性的特色教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生體驗(yàn)類比、合情推理、抽象概括、自主探究、合作探究等學(xué)習(xí)方法，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、探索意識(shí)與批判精神，有益于學(xué)生良好品質(zhì)與學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.這樣的課堂充滿智慧，鮮活靈動(dòng).

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，因此應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累看作是一個(gè)長(zhǎng)遠(yuǎn)的目標(biāo)，在接下來的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)精心設(shè)計(jì)，采用豐富多樣的教學(xué)活動(dòng)方式，組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)問題的探究過程，調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科思維，逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使經(jīng)驗(yàn)成為基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想的粘合劑，進(jìn)而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).