PVC涂層織物膜材的非線性各向異性本構(gòu)關(guān)系模型

許珊珊, 張營營, 徐俊豪, 楚時海

(1.中國礦業(yè)大學(xué) 江蘇省土木工程環(huán)境災(zāi)變與結(jié)構(gòu)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 徐州 221116;2.中國礦業(yè)大學(xué) 江蘇建筑節(jié)能與建造技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心, 江蘇 徐州 221116;3.江蘇誠意住宅工業(yè)科技發(fā)展有限公司, 江蘇 徐州 221131)

聚氯乙烯(PVC)涂層織物膜材是以聚酯纖維為基布、PVC為涂層的復(fù)合材料.由于其價格合理、力學(xué)性能良好,被廣泛應(yīng)用于大跨空間結(jié)構(gòu)中[1-2].聚酯纖維基布由相互垂直的經(jīng)向和緯向纖維編織而成,其細(xì)觀編織結(jié)構(gòu)決定了膜材的各向異性特性[3].PVC涂層織物膜材的材料非線性、幾何非線性及摩擦接觸非線性,導(dǎo)致其在拉伸荷載作用下具有復(fù)雜的力學(xué)響應(yīng)、非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系、各向異性和荷載歷史依賴性等[4-5].

目前,關(guān)于PVC涂層織物膜材本構(gòu)模型的研究主要分為2種：一種是基于組分材料、纖維微觀結(jié)構(gòu)和力學(xué)特性細(xì)觀結(jié)構(gòu)的分析模型[4-6];另一種是將膜材視為連續(xù)均質(zhì)材料,唯象描述材料宏觀行為的宏觀模型[7-8].由于雙軸拉伸試驗(yàn)與膜面實(shí)際工作狀態(tài)更為接近,有學(xué)者根據(jù)雙軸拉伸試驗(yàn),引入2個與彈性模量變化相對應(yīng)的新參數(shù),補(bǔ)充現(xiàn)有平面應(yīng)力正交異性模型,提出了1種新型非線性各向異性模型[2].隨著膜材拉伸過程的進(jìn)行，變形表現(xiàn)出明顯的黏彈性，基于材料的黏彈性蠕變特性，Chung等[9]和Sun等[10]根據(jù)各向異性塑性方程和流動法則，定義了蠕變勢函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，Yu等[11]和Zhang等[12]由偏軸拉伸試驗(yàn),得出材料的非線性各向異性蠕變本構(gòu)方程[11-12].基于聚二氟乙烯涂層織物膜材的偏軸拉伸試驗(yàn),易洪雷等[13]研究了其彈性本構(gòu)關(guān)系和強(qiáng)度準(zhǔn)則.

本文采用偏軸拉伸試驗(yàn)研究了PVC涂層織物膜材的各向異性本構(gòu)關(guān)系.同時,結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果,基于各向異性彈塑性理論,提出了1種三參數(shù)形式的彈塑性屈服函數(shù),并通過分段函數(shù)擬合了PVC涂層織物膜材的應(yīng)力-塑性應(yīng)變曲線,以反映其固有的非線性性質(zhì),最終得到能有效預(yù)測PVC涂層織物膜材任意角度應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的非線性彈塑性本構(gòu)方程.

1 各向異性本構(gòu)模型

1.1 屈服函數(shù)

材料的變形為彈塑性變形,且變形表現(xiàn)出明顯的各向異性.假設(shè)材料變形為正交各向異性,根據(jù)正交各向異性材料的塑性關(guān)系理論和流動法,得到以下表達(dá)式：

(1)

(2)

由于二次多項(xiàng)式形式的屈服函數(shù)通常能夠與試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間取得良好的吻合[15-16],故假定屈服函數(shù)f為σij的二次函數(shù),則有：

(3)

(4)

(5)

式中：Sp為塑性柔度.

(6)

由此,得到膜材的屈服函數(shù)表達(dá)式為：

(7)

1.2 等效應(yīng)力與等效應(yīng)變

通常,在平面應(yīng)力狀態(tài)下,材料的塑性功增量dWp可由應(yīng)力和塑性應(yīng)變增量確定[16]：

(8)

用式(6)中的應(yīng)力代替應(yīng)變增量,則塑性功增量表達(dá)式為：

(9)

(10)

進(jìn)一步定義等效應(yīng)力為：

(11)

由式(10)、(11)得到等效塑性應(yīng)變增量與等效應(yīng)力的關(guān)系式為：

(12)

由式(11)、(12)可將等效塑性應(yīng)變增量表示為：

(13)

對于偏軸加載試件，其應(yīng)力狀態(tài)可根據(jù)材料方向上的應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式確定[17]：

(14)

式中：θ為膜材試樣主軸偏離經(jīng)向纖維的角度；σθ為偏軸方向應(yīng)力.

將式(14)代入到式(10)、(12)中,得到等效應(yīng)力和等效塑性應(yīng)變增量的表達(dá)式為：

(15)

其中，

H(θ)=

(16)

假設(shè)加載過程為比例加載,則等效塑性應(yīng)變的表達(dá)式為：

(17)

2 PVC涂層織物膜材的偏軸拉伸試驗(yàn)及力學(xué)參數(shù)計(jì)算

偏軸拉伸試驗(yàn)選取法拉利公司產(chǎn)PVC涂層織物膜材Ferrari 1002T2作為研究對象.由于PVC涂層織物膜材表面平滑,長條形試件在拉伸過程中經(jīng)常在夾持端處斷裂或滑落,導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果失效,因此本試驗(yàn)采用啞鈴形試件,以經(jīng)向?yàn)榛鶞?zhǔn)方向,選取0°、5°、15°、45°、75°、85°和90°這7個偏軸角度試件進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn),拉伸速率為100mm/min,每個方向取5個試件進(jìn)行檢測.偏軸拉伸試件的應(yīng)力-應(yīng)變(σ-ε)曲線如圖1所示.

圖1 偏軸拉伸試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1 Stress-strain curves of off-axial specimens

由圖1可見：膜材的σ-ε曲線呈明顯的各向異性,且曲線呈明顯階段性的先凸后凹;隨拉伸變形的增大,膜材除了彈性變形外還有明顯的塑性變形.

膜材在初始彈性階段拉伸變形很小,纖維基布和涂層共同受力,膜材剛度較為均勻.為了獲得膜材偏軸方向的彈性模量(E),選取膜材初始直線段進(jìn)行線性擬合.具體方法為：從初始的5個應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)點(diǎn)開始,逐個增加數(shù)據(jù)點(diǎn)來計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變之間的相關(guān)系數(shù),取相關(guān)系數(shù)最大的1組數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行線性擬合,擬合曲線的斜率即為偏軸拉伸試件的彈性模量.各偏軸方向的彈性模量計(jì)算結(jié)果列于表1.

表1 偏軸拉伸試件的彈性模量Table 1 Elastic modulus of off-axial specimens

在確定偏軸方向初始彈性模量后,根據(jù)偏軸拉伸試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線得到試件偏軸方向上應(yīng)力與塑性應(yīng)變的關(guān)系,其表達(dá)式為:

(18)

式中：εp為試件在偏軸方向上的塑性應(yīng)變;ε為試件在偏軸方向上的應(yīng)變;εe為試件在偏軸方向上的彈性應(yīng)變.

根據(jù)式(18)得到試件在偏軸方向上的應(yīng)力-塑性應(yīng)變(σ-εp)曲線,如圖2所示.

圖2 偏軸拉伸試件的應(yīng)力-塑性應(yīng)變曲線Fig.2 Stress-plastic strain curves of off-axial specimens

3 模型預(yù)測及參數(shù)獲取

由圖2可見,偏軸拉伸試件的σ-εp曲線呈明顯的非線性,且由于膜材的細(xì)觀結(jié)構(gòu),試件在拉伸過程中σ-εp曲線呈現(xiàn)先凸后凹.針對此現(xiàn)象,在對偏軸拉伸試件σ-εp曲線進(jìn)行擬合時采用分段函數(shù)形式,即假設(shè)前半段的本構(gòu)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)形式,后半段的本構(gòu)關(guān)系為冪函數(shù)形式,其表達(dá)式為：

(19)

式中：a1、b1、a2、b2為待定系數(shù).

利用式(18)對偏軸拉伸試件的σ-εp曲線進(jìn)行擬合,擬合效果如圖3所示.

圖3 偏軸拉伸試件的應(yīng)力-塑性應(yīng)變擬合曲線Fig.3 Stress-plastic strain fitting curves of off-axial specimens

由圖3可見,分段形式的本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式能夠很好地擬合PVC涂層織物膜材的應(yīng)力-塑性應(yīng)變關(guān)系,各擬合曲線的相關(guān)系數(shù)R2均在0.99以上,說明前半段為指數(shù)函數(shù)、后半段為冪函數(shù)的表達(dá)式能夠用來表達(dá)PVC涂層織物膜材的本構(gòu)關(guān)系.

(20) 表2 H(θ)中待定系數(shù)的值Table 2 Values of the tobe determined coefficients in H(θ)

圖曲線聚合及回歸效果Fig.4 Superposition and nonlinear regression

4 模型預(yù)測結(jié)果

(21)

根據(jù)表2列出的H(θ)中各待定系數(shù)的值,由式(16)擬合得到H(θ)與θ的關(guān)系式：

(22)

H(θ)與θ的關(guān)系曲線如圖5所示.

圖5 H(θ)與θ的關(guān)系曲線Fig.5 Relationship between H(θ) and θ

將偏軸角度(5°和85°)帶入式(21)中,可以得到7種工況下試件的理論應(yīng)力-塑性應(yīng)變曲線,如圖6所示.其中帶點(diǎn)曲線表示試驗(yàn)曲線，淺色實(shí)線表示理論曲線.

圖6 偏軸拉伸試件的應(yīng)力-塑性應(yīng)變試驗(yàn)與理論對比曲線Fig.6 Comparison of stress-plastic strain test and theoretical curves of off-axial specimens

采用上述σ-εp的關(guān)系式來反推σ-ε的關(guān)系式.在應(yīng)力值不變的情況下,此時應(yīng)變值ε為塑性應(yīng)變值與彈性應(yīng)變值之和,即：

(23)

由式(21)、(23)可將應(yīng)變表示為：

(24)

圖7 模型預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)曲線對比Fig.7 Comparison between model prediction results and test curves

將模型預(yù)測的σ-ε關(guān)系與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較,如圖7所示.由圖7可見,上述模型能夠用來預(yù)測PVC涂層織物膜材的σ-ε曲線,預(yù)測精度存在較小偏差,最大誤差約為15.9%.產(chǎn)生這些偏差的原因是：分析時采用的是名義應(yīng)力和名義應(yīng)變,而且膜材在拉伸過程不僅包含彈性變形、不可恢復(fù)的塑性變形,還有部分隨著時間可恢復(fù)的黏性變形.

5 結(jié)論

(1)PVC涂層織物膜材應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈明顯的非線性和各向異性,且塑性變形出現(xiàn)在任意加載水平下.

(2)根據(jù)偏軸拉伸曲線的特征,定義了前半段為指數(shù)函數(shù)形式、后半段為冪函數(shù)形式的分階段形式的本構(gòu)表達(dá)式.該表達(dá)式能夠預(yù)測PVC涂層織物膜材的塑性本構(gòu)關(guān)系.

(3)通過定義屈服函數(shù)、等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的表達(dá)式,推導(dǎo)得到能夠反應(yīng)材料各向異性的本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式,并取得了較好的預(yù)測結(jié)果.