察“構(gòu)”觀“式”抓本質(zhì)變式同構(gòu)妙轉(zhuǎn)化

安徽省池州市第一中學(xué)(247000) 吳成強(qiáng)

所謂同構(gòu)變換，就是通過(guò)巧妙變形，使式子兩邊的結(jié)構(gòu)相同，具有對(duì)稱(chēng)美，然后再構(gòu)造新的函數(shù);或者使式子的局部結(jié)構(gòu)相同，再通過(guò)換元，使復(fù)雜的式子變得簡(jiǎn)單，從而使問(wèn)題求解變得簡(jiǎn)單.同構(gòu)解題，觀察第一.要有敏銳的觀察力，善于察“構(gòu)”觀“式”抓本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)式子的結(jié)構(gòu)特征，利用有關(guān)公式和法則實(shí)施巧妙變形，化成“同構(gòu)”式，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)或換元，使問(wèn)題巧妙求解.同構(gòu)變換對(duì)創(chuàng)新能力有較高要求，能很好地鍛煉我們的創(chuàng)新能力，增強(qiáng)思維的廣闊性.同構(gòu)的技巧性很強(qiáng)，方法靈活，常用的同構(gòu)方法主要有: ①利用指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式實(shí)施同構(gòu)，問(wèn)題求解可“妙殺”之.②利用三角變換實(shí)施同構(gòu)，解法巧妙.3○加減同構(gòu)，在同構(gòu)的過(guò)程中“加減配湊”，從而完成同構(gòu).4○乘除同構(gòu)，在同構(gòu)的過(guò)程中“乘除配湊”，從而完成同構(gòu).5○局部同構(gòu)，即在同構(gòu)的過(guò)程中，將函數(shù)的某兩個(gè)或者多個(gè)部分構(gòu)造出同構(gòu)式，再巧妙換元.6○整體同構(gòu)，即使式子兩邊結(jié)構(gòu)相同，便于構(gòu)造函數(shù)巧妙求解.7○放縮同構(gòu)，即通過(guò)巧妙放縮后再同構(gòu)，使問(wèn)題求解變得非常簡(jiǎn)單，對(duì)思維有很大的啟發(fā).

一、利用指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式實(shí)施同構(gòu)變換

指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式:alogaN=N(a ＞0,a /=1,N ＞0)，利用指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式，可以巧妙進(jìn)行同構(gòu)變換，使方程兩邊的結(jié)構(gòu)相同，從而可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)，把復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，這種方法讓人大開(kāi)眼界，令人賞心悅目.

例1已知正實(shí)數(shù)x滿足求m的值.

解由已知得:令f(x)=x ·ex，則f(x)=又易知f(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞增，所以x=即x=-lnx，令g(x)=x+lnx，易知g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以存在唯一x0∈(0,+∞)，x0=即lnx0=-x0，m=所以m=1.

評(píng)注本題通過(guò)指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，將復(fù)雜的方程化為等價(jià)的簡(jiǎn)單方程x=-lnx，這一轉(zhuǎn)化真可謂神來(lái)之筆，也揭示了看似復(fù)雜繁瑣的方程(或式子)，通過(guò)去粗取精，去偽存真，抽絲剝繭，由表及里，揭示本質(zhì)，其實(shí)就是一個(gè)非常簡(jiǎn)單方程(或式子)，也使我們進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)魅力之所在，式子變形之巧妙.

例2已知λeλx≥lnx(λ ＞0)恒成立，求λ的范圍.

解因?yàn)閤 ＞0，所以λxeλx≥xlnx=elnx ·lnx，設(shè)f(x)=xex，易知f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，原不等式化為f(λx)≥f(lnx).

①若0＜x ＜1，則λeλx ＞0＞lnx成立.

②x≥1 時(shí)，lnx≥0，所以λx≥lnx，λ≥令則所以x ∈[1,e)時(shí)g′(x)＞0，x=e 時(shí)g′(x)=0，x ∈(e,+∞)時(shí)g′(x)＜0，所以x=e 時(shí)g(x)取最大值，g(x)max=g(e)=所以

評(píng)注將已知不等式兩邊同乘以正數(shù)x，得到一個(gè)新的不等式λxeλx≥elnx·lnx，這個(gè)新的不等式是通過(guò)指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行同構(gòu)變換，從而便于構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)巧妙求解，這種解法也是讓人深受啟發(fā).

二、利用三角變換公式實(shí)施同構(gòu)變換

與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，往往要利用三角變換公式實(shí)施同構(gòu)變換，使三角函數(shù)名稱(chēng)相同，式子兩邊的結(jié)構(gòu)相同，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，使問(wèn)題巧妙求解.

例3已知定義在R 上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(x)+f(-x)=cosx，且當(dāng)x≤0 時(shí)，則不等式的解集為( )

解由得，f(x)+即令g(x)=f(x)-則g(x) ≥且有當(dāng)x ∈(-∞,0]時(shí)，g′(x)=f′(x)+所 以函數(shù)g(x) 在(-∞,0] 上單調(diào)遞增，又f(x)+f(-x)=cosx，所以于是g(-x)=-g(x)，g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)在R 上單調(diào)遞增，由故選B.

評(píng)注本題就是通過(guò)三角變換使不等式兩邊的結(jié)構(gòu)相同，從而可以進(jìn)行同構(gòu)變換，這種解法的技巧性比較強(qiáng)，需要我們善于發(fā)現(xiàn)式子的結(jié)構(gòu)特征，從而有目標(biāo)地進(jìn)行式子的變形.

三、對(duì)式子的局部實(shí)施同構(gòu)變換

局部同構(gòu)，即在同構(gòu)的過(guò)程中，我們可以將函數(shù)的某兩個(gè)或者多個(gè)部分構(gòu)造出同構(gòu)式.然后再把同構(gòu)的式子用一個(gè)新的變量代換，使式子變得簡(jiǎn)單，從而使問(wèn)題巧妙求解.

例4已知f(x)=(ax+lnx+1)(x+lnx+1) 與g(x)=x2的圖像至少有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

解由f(x)=g(x)得，令t=，(a+t)(1 +t)=1，a=-t，令h(t)=- t，h′(t)=--1＜0，所以h(t) 在(-∞,-1) 上單調(diào)遞減，在(-1,+∞) 上單調(diào)遞減，φ(x)=，φ′(x)=，由φ′(x)＞0 得0＜x ＜1，由φ′(x)＜0 得x ＞1，所以φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞) 上單調(diào)遞減，φ(x)max=φ(1)=1，且時(shí)，φ(x)＞0，因?yàn)橹辽儆腥齻€(gè)不同零點(diǎn)，所以0＜t1＜1，t2＜0，所以

評(píng)注本題通過(guò)巧妙變形，把式子中所含的變量局部同構(gòu)成，然后通過(guò)換元，把原本復(fù)雜的式子化成簡(jiǎn)單的式子，從而使問(wèn)題巧妙求解.

四、對(duì)式子兩邊整體實(shí)施同構(gòu)變換

有的式子兩邊的結(jié)構(gòu)已經(jīng)相同，這時(shí)就是要善于發(fā)現(xiàn)式子兩邊結(jié)構(gòu)特征，要能夠透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì).有的式子需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形，才能使式子兩邊的結(jié)構(gòu)相同.處理這類(lèi)問(wèn)題的最好辦法就是實(shí)施同構(gòu)變換，構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)巧妙求解.

例5已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，其中a ＜-1，如果對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞)，x1/=x2，且|f(x1)-f(x2)|＞4|x1-x2|，求a的取值范圍.

解f′(x)=+2ax=，因?yàn)閍 ＜-1，x ＞0，所以f′(x)＜0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不妨設(shè)0＜x1＜x2，則f(x1)＞f(x2)，所以原不等式可化為f(x1)-f(x2)＞4(x2-x1)，即f(x1)+4x1＞f(x2)+4x2，令g(x)=f(x)+4x，所以g(x1)＞g(x2)，所以g(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞減，g′(x)=即2ax2+4x+a+1 ≤ 0 對(duì)x ＞0 恒成立，令h(x)=2ax2+4x+a+1，因?yàn)閍 ＜-1，所以h(0)=a+1＜0，對(duì)稱(chēng)軸所以Δ=16-8a(a+1)≤0，所以a≤-2.

評(píng)注本題根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉絕對(duì)值，然后移項(xiàng)，把相同變量放在同一邊，使式子兩邊的結(jié)構(gòu)相同，便于構(gòu)造函數(shù)，利用同構(gòu)變換巧妙解題.

五、通過(guò)巧妙放縮實(shí)施同構(gòu)變換

所謂放縮有方，就是通過(guò)一些重要不等式進(jìn)行巧妙放縮，使式子的局部的結(jié)構(gòu)相同，然后再實(shí)施同構(gòu)變換，使問(wèn)題求解變得非常巧妙、簡(jiǎn)單.常用的不等式有ex≥x+1，ln(x+1)≤x等.

例6已知不等式對(duì)x ＞1 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解因?yàn)閤 ＞1，所以lnx ＞0，所以因?yàn)閑x≥x+1，即ex -x-1 ≥0，所以ex-3lnx -(x-3 lnx)-1 ≥0，所以等號(hào)成立的條件是x-3 lnx=0，即的最小值為-3，所以a≤-3.

評(píng)注本題就是先通過(guò)重要不等式ex≥x+1 進(jìn)行放縮，使式子的局部結(jié)構(gòu)相同，利用同構(gòu)變換巧妙求解.這類(lèi)放縮靈活性比較強(qiáng)，但解題過(guò)程非常簡(jiǎn)單，可謂“秒殺”，令人拍手稱(chēng)快.

六、使式子兩邊符合x(chóng)ex 型結(jié)構(gòu)

觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)巧妙的配湊，使式子兩邊的結(jié)構(gòu)符合x(chóng)ex型結(jié)構(gòu)，然后再構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex，利用函數(shù)的性質(zhì)使問(wèn)題巧妙求解.

例7已知函數(shù)f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a ＞0)，若關(guān)于x的不等式f(x)＞0 恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )

A.[0,e2] B.(0,e2) C.[1,e2] D.(1,e2)

解由題設(shè)知ex ＞a[ln(ax - a)-1].因?yàn)閍 ＞0，ax-a ＞0，所以x ＞1，兩邊同乘x-1，得(x-1)ex ＞a(x-1)[lna(x-1)-1]=[lna(x-1)-1]elna(x-1).

令φ(x)=(x-1)ex，原不等式化為φ(x)＞φ(lna(x-1))，φ′(x)=xex ＞0，易知φ(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞增.若lna(x-1)=ln(ax-a) ≤0，則顯然f(x)＞0 恒成立，若lna(x-1)=ln(ax-a)＞0，則x ＞lna(x-1)恒成立，即x ＞lna+ln(x-1)對(duì)x ＞1 恒成立，令h(x)=x-ln(x-1)，所以h(x) 在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，lna ＜h(x)mⅰn=h(2)=2，所以a ＜e2，又a ＞0，所以0＜a ＜e2，故選B.

評(píng)注本題通過(guò)兩邊同乘x-1，使式子的兩邊結(jié)構(gòu)相同，再構(gòu)造函數(shù)，這種構(gòu)造十分巧妙，需要有敏銳的觀察力以及對(duì)同構(gòu)變換技巧的掌握達(dá)到一定的熟練程度.

七、使式子兩邊符合型結(jié)構(gòu)

觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)巧妙的配湊，使式子兩邊的結(jié)構(gòu)符合型結(jié)構(gòu)，然后再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的性質(zhì)使問(wèn)題巧妙求解.

例8已知0＜a ＜b ＜1，比較a·eb與b·ea的大小.

解要比較a·eb與b·ea大小，即比較大小，令f(x)=則f′(x)=所以f(x)在區(qū)間(0,1)是單調(diào)遞減，因?yàn)?＜a ＜b ＜1，所以f(a)＞f(b)，所以所以a·eb ＜b·ea.

評(píng)注本題通過(guò)對(duì)兩個(gè)數(shù)同除以ab，使式子的兩邊結(jié)構(gòu)相同，再構(gòu)造函數(shù)，使問(wèn)題巧妙求解.

八、使式子兩邊符合x(chóng) ln x 型結(jié)構(gòu)

觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)巧妙的配湊，使式子兩邊的結(jié)構(gòu)符合x(chóng)lnx結(jié)構(gòu)型，然后再構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx，利用函數(shù)的性質(zhì)使問(wèn)題巧妙求解.

例9若對(duì)任意x≥1，恒有a(eax-1)＞2(x-)·lnx(a ＞0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

A.(0,+∞) B.(,+∞) C.(,+∞) D.(0,)

解由a(eax -1)＞2(x-)·lnx，得a(eax -1)＞即(eax -1)·ln eax ＞(x2-1)·lnx2，令g(x)=(x-1)lnx，則g(eax)＞g(x2)，g′(x)=所以g′(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞增，又g′(1)=0，所以g(x) 在(0,1) 上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，于是當(dāng)x≥1 時(shí)，g(eax)＞g(x2)，eax ＞x2，ax ＞2 lnx，a ＞恒成立，令h(x)=(x≥1)，h′(x)=，由h′(x)＞0 得1 ≤x ＜e，由h′(x)＜0得x ＞e，所以h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，(e,+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)max=h(e)=所以故選C.

評(píng)注將已知不等式化為(eax-1)·ln eax ＞(x2-1)·lnx2，通過(guò)觀察結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)同構(gòu)變換的策略，構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x-1)lnx，把問(wèn)題又劃歸到不等式g(eax)＞g(x2)，再利用函數(shù)g(x)的單調(diào)性，把不等式進(jìn)一步劃歸到簡(jiǎn)單不等式eax ＞x2，這種變形雖運(yùn)算量不大，但技巧性卻非常強(qiáng).

九、使式子兩邊符合x(chóng)+ln x 型結(jié)構(gòu)

觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)巧妙的配湊，使式子兩邊的結(jié)構(gòu)符合x(chóng)+lnx結(jié)構(gòu)型，然后再構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx，利用函數(shù)的性質(zhì)使問(wèn)題巧妙求解.

例10已知實(shí)數(shù)α,β滿足αeα=e3，β(lnβ -1)=e4，其中e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則αβ=____

解法1對(duì)所給的兩個(gè)式子兩邊分別取對(duì)數(shù)，則有α+lnα=3，lnβ-1+ln(lnβ-1)=3，令f(x)=x+lnx，f(α)=3，f(lnβ -1)=3，f(α)=f(lnβ -1)，易 知f(x)=x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以α=lnβ-1，lnβ-1+lnα=3，ln(αβ)=4，αβ=e4.

解法2由β(lnβ -1)=e4得，=e3=αeα=eαln eα，令f(x)=xlnx，=f(eα)，易 知f(x) 在(1,+∞) 上單調(diào)遞增，易知，eα ＞1，所以=αeα=e3，所以αβ=e4.

評(píng)注(1)解法一通過(guò)巧妙配湊，使式子兩邊符合x(chóng)+lnx結(jié)構(gòu)型，然后再構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx，利用函數(shù)的性質(zhì)使問(wèn)題巧妙求解.

(2)解法二通過(guò)巧妙配湊，使式子兩邊符合x(chóng)lnx結(jié)構(gòu)型，然后再構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx，利用函數(shù)的性質(zhì)使問(wèn)題巧妙求解.

十、使式子兩邊符合型結(jié)構(gòu)

觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)巧妙的配湊，使式子兩邊的結(jié)構(gòu)符合結(jié)構(gòu)型，然后再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)使問(wèn)題巧妙求解.

例11對(duì)任意x ＞0，求證:x2＜(ex-1)ln(x+1).

證明即證即 證令f(x)=易知函數(shù)f(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞減，又易知x ＞0 時(shí)，x ＜ex -1，所以f(x)＞f(ex-1)，即命題得證.

同構(gòu)變換為我們解題帶來(lái)了新思路、新視野，其解法靈活、巧妙、簡(jiǎn)捷、新穎，給人帶來(lái)美的享受和震撼，也使人們的思維在更廣闊的空間得到發(fā)展，對(duì)培養(yǎng)人們積極思考、善于觀察、勇于創(chuàng)新、追求簡(jiǎn)單的探究精神大有裨益.