基于雙門限GARCH模型的高頻股票波動率研究

董小剛，虞 迪，馬元嘉，蓬 勃，李純凈

(長春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130012)

在金融市場中，金融資產(chǎn)價格的收益率受到眾多學(xué)者的關(guān)注。收益率波動幅度變大意味著市場投資潛在風(fēng)險的增大，投資者會更加謹慎。因此，對資產(chǎn)收益率波動的準(zhǔn)確刻畫至關(guān)重要。在早期研究中，對收益率的研究是建立在日周等低頻數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展，高頻數(shù)據(jù)的獲取與存儲變得愈加便利，并且高頻數(shù)據(jù)蘊含著低頻數(shù)據(jù)所沒有展現(xiàn)的日內(nèi)信息，因而大量學(xué)者開始利用高頻數(shù)據(jù)進行建模分析。但高頻數(shù)據(jù)中存在由交易的非同步性與市場摩擦導(dǎo)致的市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲，這對高頻數(shù)據(jù)建模實證分析帶來巨大的挑戰(zhàn)。

高頻數(shù)據(jù)由于其蘊含大量市場信息而受到學(xué)者的青睞。Engle[1]利用自回歸條件持續(xù)期模型來估計到達率的相依點過程，應(yīng)用一種估計故障函數(shù)的半?yún)?shù)方法，基于IBM股票交易的超高頻數(shù)據(jù)構(gòu)建波動模型。Engle等[2]提出一種新的日內(nèi)波動預(yù)測模型，并利用該模型對2 500只美股10 min收益的綜合樣本進行建模分析。張波等[3]構(gòu)建一種具有季節(jié)效應(yīng)的隨機波動模型，給出該模型的兩步估計方法，并將該模型運用于高頻金融數(shù)據(jù)的實證分析中?；诟哳l數(shù)據(jù)建模能夠做出更加精確的預(yù)測，而由高頻數(shù)據(jù)帶來的市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲影響、隔夜效應(yīng)等問題對構(gòu)建模型有著更高的要求。

為了刻畫資產(chǎn)收益率波動的規(guī)律，Engle[4]提出自回歸條件異方差(autoregressive conditional hete-roskedasticity，ARCH)模型，并將其成功應(yīng)用于英國通貨膨脹指數(shù)的研究中。然而ARCH模型只適用于異方差函數(shù)短期自相關(guān)過程，為了彌補ARCH模型的不足，Bollerslev[5]改進了ARCH模型，提出廣義自回歸條件異方差(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，GARCH)模型，能有效地擬合具有長期記憶性的異方差函數(shù)，并且能夠很好地描述資產(chǎn)收益率中的波動率聚類和厚尾行為。此后，ARCH類模型在金融工程學(xué)領(lǐng)域占據(jù)重要的地位，成為不可多得的工具。Nelson[6]提出指數(shù)廣義自回歸條件異方差(exponential generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，EGARCH)模型。Glosten等[7]提出了Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH(GJR-GARCH)模型。EGARCH模型與GJR-GARCH模型均能刻畫金融數(shù)據(jù)波動的非對稱性，但是沒有對金融數(shù)據(jù)均值的非對稱性進行刻畫。如果忽視數(shù)據(jù)均值的非對稱性，那么對均值非對稱的數(shù)據(jù)擬合將會不準(zhǔn)確。

Tong等[8]提出門限自回歸(threshold autoregressive，TAR)模型，首次將閾值引入時間序列模型。TAR模型以閾值變量為標(biāo)準(zhǔn)對不同的方程進行分類，并允許根據(jù)不同的方程對不同的行為進行不同的參數(shù)估計。Tong[9]提倡使用帶有ARCH類誤差項的閾值模型。Zakoian[10]提出的門限廣義自回歸條件異方差(threshold generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，TGARCH)模型與GJR-GARCH模型類似，并通過該模型分析了法國CAC股票指數(shù)。雖然這些模型分析了數(shù)據(jù)的非對稱性，但是只對數(shù)據(jù)波動或均值的非對稱性進行刻畫，并沒有同時對數(shù)據(jù)均值與波動的非對稱性進行刻畫。為了對數(shù)據(jù)均值與波動的非對稱性同時進行刻畫，Li等[11]提出了一種雙門限自回歸條件異方差(double threshold autoregressive conditional heteroskedasticity，DTARCH)模型，并將其應(yīng)用于香港股票指數(shù)回報率中。在此基礎(chǔ)上，Brooks[12]進一步將DTARCH模型擴展為雙門限廣義自回歸條件異方差(double threshold generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，DTGARCH)模型，在對法國法郎、德國馬克的實證研究中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)通過多個制度對數(shù)據(jù)進行建模分析時，模型的預(yù)測精確度進一步提高了。Chen等[13]將輔助變量的加權(quán)平均作為DTGARCH模型的閾值變量，研究了日本和歐洲部分股市對美國股市回報信息的非對稱反應(yīng)。Yang等[14]研究了四制度的DTGARCH模型，通過兩個閾值變量分析了股票市場對股票和外匯市場的不同類型信息的反應(yīng)。Chen等[15]研究了一種DTGARCH模型的半?yún)?shù)分位數(shù)估計方法，采用自適應(yīng)貝葉斯馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法進行估計和推理，同時估計和計算非線性異方差和未知閾值的范圍和滯后階數(shù)。

一般假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布。Mandelbrot[16]通過實證發(fā)現(xiàn)股票收益率與服從正態(tài)分布這一假設(shè)相違背，且股票收益率具有有偏性與尖峰厚尾性。在金融風(fēng)險中，尾部風(fēng)險是金融市場研究關(guān)注的重點，如果忽視這些特征使用正態(tài)分布去擬合將會產(chǎn)生較大的偏差。因此，學(xué)者們試圖通過更加靈活的分布假定去擬合金融時間序列：Bollerslev[17]提出用t分布來代替正態(tài)分布；Nelson[6]則研究了廣義誤差分布對金融數(shù)據(jù)的擬合效果；Koutmos[18]在對股票收益率的實證研究中發(fā)現(xiàn)，Laplace分布對收益率數(shù)據(jù)擬合效果很好，而且Laplace分布的峰度為6，能夠很好地刻畫金融數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性。

DTGARCH模型通過對數(shù)據(jù)均值與波動的非對稱性同時進行刻畫，更加準(zhǔn)確地預(yù)測資產(chǎn)收益率。但是此前對資產(chǎn)收益率的建模與預(yù)測，其模型擾動項大多服從正態(tài)分布或t分布，無法很好地刻畫資產(chǎn)收益率的尖峰厚尾性。本研究改進了DTGARCH模型擾動項的分布，使之服從標(biāo)準(zhǔn)Laplace分布，運用極大似然估計方法估計其模型參數(shù)，旨在更好地對資產(chǎn)收益率序列中的非對稱性與尖峰厚尾性進行刻畫。

論文結(jié)構(gòu)如下：第1部分對DTGARCH模型性質(zhì)進行研究，并且給出模型的估計方法；第2部分通過數(shù)值模擬驗證估計方法的有效性；第3部分通過DTGARCH-Laplace模型擬合高頻股票收益率，并對比不同分布的普通GARCH模型和DTARCH-Laplace模型。最后得到基于DTGARCH-Laplace模型的預(yù)測置信區(qū)間。

1 理論模型

雙門限廣義自回歸條件異方差模型最早是由Brooks提出的。模型定義為：

(1)

(2)

模型(1)為擾動項服從標(biāo)準(zhǔn)Laplace分布的雙門限廣義自回歸條件異方差模型，為了方便說明，將模型(1)記為DTGARCH-Laplace模型。該模型能夠很好地擬合非對稱的金融數(shù)據(jù)，能夠捕捉非對稱數(shù)據(jù)均值與波動的非對稱性，并且對于具有尖峰厚尾性的資產(chǎn)收益率數(shù)據(jù)具有很好的擬合效果。當(dāng)參數(shù)β1，1=β2,1=0時，DTGARCH-Laplace模型退化為DTARCH-Laplace模型;當(dāng)參數(shù)φ1,0=φ2,0和φ1,1=φ2,1時，DTGARCH-Laplace模型退化為TGARCH-Laplace模型;當(dāng)參數(shù)θ1=θ2時，DTGARCH-Laplace模型退化為GARCH-Laplace模型。

為了研究DTGARCH-Laplace模型的樣本特征，通過模擬生成樣本對該模型進行分析，并將參數(shù)θ1=(-0.5,0.5,0.2,0.3,0.5)T，θ2=(0.5,0.2,0.1,0.2,0.2)T的DTGARCH-Laplace模型稱為模型A。生成模型A的一組樣本，樣本量為1 000。繪制該樣本和樣本波動的路徑圖與自相關(guān)圖如圖1所示。

圖1 DTGARCH-Laplace模型的樣本特征Fig.1 Sample characteristics of DTGARCH-Laplace model

由圖1(a)可以看出，樣本路徑呈現(xiàn)出非對稱特征。這種性質(zhì)與股市的一般規(guī)律是相符的，在實證分析中給出相應(yīng)解釋。當(dāng)樣本大于0時，樣本的波動明顯小于樣本小于0時的波動，具有顯著的門限模型特征。觀察其ACF圖即圖1(b)，ACF函數(shù)值逐漸衰減表明了樣本具有自相關(guān)性，這與經(jīng)典的AR模型是一致的。由樣本平方的路徑圖即圖1(c)可以得出樣本波動呈現(xiàn)異方差的特征。而其ACF圖即圖1(d)說明方差序列具有一定程度的序列相關(guān)性，這與GARCH模型是一致的。通過以上分析，可以認為該模型能夠有效地對具有非對稱性、異方差性的相依數(shù)據(jù)進行刻畫。

(3)

(4)

因此，可以定義對數(shù)似然函數(shù)(忽略常數(shù)項并由n標(biāo)準(zhǔn)化)：

(5)

2 數(shù)值模擬

在本小節(jié)中，通過數(shù)值模擬來研究極大似然估計的效果。假設(shè)初值y0=h0=ε0=0，閾值r=0，對DTGARCH-Laplace模型進行兩次模擬，第一組的參數(shù)真值為θ1=(0.1,0.2,0.2,0.2,0.4)T，θ2=(0.2,0.3,0.1,0.1,0.2)T；第二組的參數(shù)真值為θ1=(0.2,0.3,0.2,0.3,0.5)T，θ2=(0.3,0.2,0.1,0.2,0.3)T。進行10 000次重復(fù)試驗，將其結(jié)果的平均值作為參數(shù)估計值并計算得到參數(shù)估計值的偏差和均方根誤差。結(jié)果見表1和表2。

分析表1和表2模擬結(jié)果可以看出，隨著樣本量的增大，估計的偏差和均方根誤差都在減小，表明估計量具有相合性。

表1 第一組DTGARCH-Laplace模型的模擬結(jié)果Tab.1 Simulation results of the first group of DTGARCH-Laplace model

表2 第二組DTGARCH-Laplace模型的模擬結(jié)果Tab.2 Simulation results of the second group of DTGARCH-Laplace model

3 實證分析

為了對比不同模型的擬合效果，選擇上證指數(shù)中成分股格爾軟件(603232)作為研究對象。數(shù)據(jù)來源為東方財富Choice數(shù)據(jù)。采用的數(shù)據(jù)是2019年4月8日的間隔為1 min的收盤價Pt，樣本容量為240。收益率為非中心化收益率數(shù)據(jù)yt=100*(ln(Pt)-ln(Pt-1))。收益率數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計量如表3所示。股票收益率的路徑圖與QQ圖如圖2所示。

表3 股票收益率的描述性統(tǒng)計量Tab.3 Descriptive statistics of stock returns

圖2 股票收益率路徑圖與QQ圖Fig.2 Path graph and QQ graph of stock returns

由圖2可看出，該收益率序列存在明顯的波動聚集性與非對稱性，而收益率的QQ圖中，所有的點并沒有近似地在一條直線附近，兩邊的點外翹，說明該收益率序列服從厚尾分布，結(jié)合收益率序列的峰度值為7.570 4，可知該收益率序列具有明顯的尖峰厚尾性。

本研究通過單位根檢驗對樣本數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗，并使用ADF檢驗來確認序列是否有單位根。檢驗結(jié)果如表4所示。t值為-12.630 6，小于1%、5%、10%顯著性水平下的臨界值，所以拒絕原假設(shè)即該股票收益率序列是平穩(wěn)的。

表4 股票收益率的單位根檢驗統(tǒng)計結(jié)果Tab.4 Statistical results of unit root test of stock returns

圖3 股票收益率和股票收益率平方的樣本特征Fig.3 Sample characteristics of stock returns and square of stock returns

運用極大似然估計對閾值為0的DTGARCH-Laplace模型和下列模型來擬合計算得到的格爾軟件股票的收益率，并通過AIC準(zhǔn)則選擇最優(yōu)模型。

1) 一階GARCH模型，分別考慮擾動項服從正態(tài)分布與t分布，記作GARCH-Norm模型和GARCH-T模型；

2) 一階EGARCH模型，分別考慮擾動項服從正態(tài)分布與t分布，記作EGARCH-Norm模型和EGARCH-T模型；

3) 一階DTARCH模型[11]，擾動項服從標(biāo)準(zhǔn)Laplace分布，且閾值為0，記作DTARCH-Laplace模型。

不同模型參數(shù)估計結(jié)果與AIC值如表5所示，觀察GARCH模型與EGARCH模型在兩種擾動項假設(shè)下的參數(shù)估計結(jié)果表明，GARCH-T模型的當(dāng)前條件波動率受一階滯后殘差的影響大于一階滯后條件波動性的影響，而GARCH-Norm模型、EGARCH-Norm模型和EGARCH-T模型的當(dāng)前條件波動率受一階滯后殘差的影響，小于一階滯后條件波動性的影響。這四種模型中，一階滯后收益率對當(dāng)前收益率的影響均為負。

表5 不同模型的參數(shù)估計Tab.5 Parameter estimation of different models

由DTARCH模型與DTGARCH模型在擾動項服從標(biāo)準(zhǔn)Laplace分布假設(shè)下的參數(shù)結(jié)果可知，這兩種模型的一階滯后收益率對當(dāng)前收益率的影響均為負。且當(dāng)一階滯后收益率為正時，一階滯后收益率對當(dāng)前收益率的影響大于一階滯后收益率為負時的影響。當(dāng)一階滯后收益率為正時，DTGARCH模型的當(dāng)前條件波動率受一階滯后殘差的影響大于一階滯后條件波動性的影響，說明了收益率為正時，當(dāng)時因素對其影響更大。

綜上所述，通過AIC準(zhǔn)則選取DTGARCH-Laplace模型作為最優(yōu)模型來擬合該股票收益率，則最優(yōu)模型為：

(6)

使用模型(6)對股票收益率進行預(yù)測。選擇95%為置信水平，通過自助法[19]和預(yù)測值條件分布的分位數(shù)來構(gòu)建股票收益率的預(yù)測置信區(qū)間，如圖4所示。

圖4 股票收益率的95%預(yù)測置信區(qū)間Fig.4 95% predictive confidence interval of stock returns

由圖4可見，這兩種預(yù)測置信區(qū)間都能夠很好地預(yù)測股票收益率的走勢，說明改進的DTGARCH-Laplace模型能夠很好地擬合該段股票收益率序列。計算兩種預(yù)測置信區(qū)間的平均區(qū)間長度，得到自助法預(yù)測置信區(qū)間的平均預(yù)測區(qū)間長度為1.903 1，而基于預(yù)測值條件分布得到的預(yù)測置信區(qū)間的平均預(yù)測區(qū)間長度為1.937 7，可以看出自助法構(gòu)建的預(yù)測置信區(qū)間更加精確。

4 結(jié)論

本研究改進了Brooks(2001)提出的DTGARCH模型，構(gòu)建了DTGARCH-Laplace模型。該模型能夠捕捉數(shù)據(jù)中均值與波動的非對稱性，同時可以很好地擬合具有尖峰厚尾性的金融數(shù)據(jù)，并通過極大似然估計給出模型估計值。

選用上證指數(shù)中成分股格爾軟件中間隔為1 min的高頻數(shù)據(jù)，運用DTGARCH-Laplace模型進行實證分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)期收益率受正負一階滯后收益率的影響程度不同，表現(xiàn)出該股票的收益率更傾向為負?；谧灾ㄅc預(yù)測值條件分布構(gòu)建預(yù)測置信區(qū)間，發(fā)現(xiàn)置信區(qū)間能夠很好地覆蓋收益率序列，且自助法構(gòu)建的預(yù)測置信區(qū)間更短。說明改進的模型在預(yù)測金融高頻數(shù)據(jù)方面有明顯的優(yōu)越性。