一類具有l(wèi)ogistic增長的隨機(jī)SIRS傳染病模型的平穩(wěn)分布和滅絕性

杜金姬，秦闖亮

一類具有l(wèi)ogistic增長的隨機(jī)SIRS傳染病模型的平穩(wěn)分布和滅絕性

杜金姬，秦闖亮

（信陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，河南 信陽 464000）

研究了一類具有l(wèi)ogistic增長的隨機(jī)SIRS傳染病模型．通過Lyapunov函數(shù)法，證明了模型全局正解的存在唯一性．給出了模型正解存在平穩(wěn)分布以及疾病滅絕的充分條件．

SIRS模型；平穩(wěn)分布；滅絕性；logistic增長

1　引言及預(yù)備知識(shí)

從Kermack和Mckendric[1]先驅(qū)工作后，數(shù)學(xué)模型被廣泛應(yīng)用于描述疾病的傳播和控制．各種隨機(jī)形式的流行病模型被建立和研究[2-8]．在傳染病模型中，人口的增長采用logistic增長更符合實(shí)際．本文考慮一類具有l(wèi)ogistic增長的隨機(jī)SIRS傳染病模型

2 全局正解的存在唯一性

為了分析系統(tǒng)（1）的長期行為，證明系統(tǒng)（1）存在唯一的全局正解．

下面的證明類似文獻(xiàn)[3]．證畢．

3 平穩(wěn)分布的存在性

平穩(wěn)分布的存在性可以看作系統(tǒng)的隨機(jī)弱穩(wěn)定性，即疾病將長期存在．

考慮積分方程

引理２中相關(guān)符號(hào)含義見文獻(xiàn)[9]，這里不再贅述．

由式（5）~（7）可知

4　疾病的滅絕性

證明在一些假設(shè)條件下，疾病將滅絕．

5 結(jié)語

本文研究了一類具有l(wèi)ogistic增長的隨機(jī)SIRS傳染病模型，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)證明了模型存在唯一的全局正解，給出了模型正解存在平穩(wěn)分布和滅絕的充分條件．

[1] Kermack W O，McKendrick A G．Contributions to the mathematical theory of epidemics-I[J]．Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Sci，1927，115（772）：701-721

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[5] 張林，李存林，郭文娟．基于媒體報(bào)道下的一類SIRS傳染病模型研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)雜志，2018，38（5）：887-895

[6] 石月蓮，李燦．一類具有l(wèi)ogistic增長和飽和發(fā)生率的SIRI傳染病模型的全局動(dòng)力學(xué)性態(tài)[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2019，49（7）： 299-307

[7] 穆宇光，徐瑞．一類具有飽和發(fā)生率和復(fù)發(fā)的隨機(jī)SIRI模型的穩(wěn)定性[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)，2019，32（3）：570-580

[8] 趙英英，胡華．帶有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和信息干預(yù)的隨機(jī)SIRS傳染病模型的滅絕性和平穩(wěn)分布[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)，2018，31（3）：704-713

[9] Knasminskii R．Stochastic Stability of Differential Equations[M]．Berlin：Springer Science and Business Media，1980

[10] MAO X R．Stochastic Differential Equationss and Applications[M]．Chichester UK：Horwood Publishing，2007

Stationary distribution and extinction of a stochastic SIRS epidemic model with logistic growth

DU Jinji，QIN Chuangliang

（School of Mathematics and Information，Xinyang College，Xinyang 464000，China）

A class of stochastic SIRS epidemic model with logistic growth was researched．The existence of a unique of the globel positive solution of the model was proved by using the Lyapunov function method．The sufficient conditions for the existence of a stationary distribution of the positive solutions to the model and the extinction of the disease were obtained．

SIRS model；stationary distribution；extinction；logistic growth

O175.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.10.004

1007-9831（2020）10-0013-05

2020-05-01

河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目（20B110017）；信陽市規(guī)劃項(xiàng)目（2019TS010）；信陽學(xué)院資助項(xiàng)目（2018LYB02，2018LYB09）

杜金姬（1981-），女，河南許昌人，講師，碩士，從事生物數(shù)學(xué)研究．E-mail：djj168qcl@163.com