數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程的教學(xué)模式

張軍，張新宇，劉菊紅，吳國(guó)棟，吳國(guó)榮

數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程的教學(xué)模式

張軍，張新宇，劉菊紅，吳國(guó)棟，吳國(guó)榮

（內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010018）

基于線性代數(shù)理論性較強(qiáng)和數(shù)學(xué)建模實(shí)踐性較強(qiáng)的特點(diǎn)，將線性代數(shù)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合是理論教學(xué)與實(shí)踐應(yīng)用相輔相成的有效方法．為了幫助學(xué)生更好地將線性代數(shù)知識(shí)貫穿到實(shí)踐應(yīng)用中，提出將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程的三段式課堂教學(xué)模式．通過(guò)實(shí)際教學(xué)案例的設(shè)計(jì)過(guò)程，說(shuō)明所提出的三段式課堂教學(xué)模式具有一定的可行性，這為線性代數(shù)課程教學(xué)改革提供了新的思路與參考．

線性代數(shù)；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)模式

與高等數(shù)學(xué)課程相比，線性代數(shù)課程的內(nèi)容相對(duì)比較枯燥、計(jì)算過(guò)程相對(duì)比較復(fù)雜，導(dǎo)致很多學(xué)生都只以通過(guò)線性代數(shù)課程的考試為學(xué)習(xí)目的，對(duì)課程本身缺乏學(xué)習(xí)興趣．2005年，李大潛院士提出“將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課”以來(lái)，數(shù)學(xué)建模進(jìn)入線性代數(shù)課堂已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革的趨勢(shì)之一[1]．在高校線性代數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想與方法，結(jié)合實(shí)際案例進(jìn)行理論知識(shí)講解，不僅可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)理論知識(shí)的難度，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，而且還可以創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題，提升學(xué)生的綜合應(yīng)用素質(zhì)[2-6]．

目前，許多從事線性代數(shù)教學(xué)工作的一線教師都在探討將數(shù)學(xué)建模思想有效地融入線性代數(shù)課程的教育教學(xué)改革，但在具體的教學(xué)實(shí)踐中取得的效果并不十分顯著，主要面臨以下困難與問題：（1）線性代數(shù)課程包含的理論知識(shí)復(fù)雜度與抽象性較高，課時(shí)壓縮導(dǎo)致教師授課學(xué)時(shí)比較緊張，不得不采用“滿堂灌”式的教學(xué)方式，致使很多學(xué)生失去對(duì)線性代數(shù)課程學(xué)習(xí)的興趣，無(wú)法真正地理解和掌握課程的核心理論與方法，仍然停留在為了應(yīng)付考試而學(xué)習(xí)的層面．（2）目前使用的線性代數(shù)教材版本陳舊，內(nèi)容更新緩慢，教學(xué)案例也相對(duì)陳舊，不能緊跟各領(lǐng)域各學(xué)科的研究前沿，不利于培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的創(chuàng)新能力．（3）在數(shù)學(xué)建模思想有效融入線性代數(shù)教學(xué)的過(guò)程中，選取合適的建模案例較為困難，若教學(xué)案例太過(guò)簡(jiǎn)單，則不能有效培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)理論知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題的能力；若案例太復(fù)雜，則學(xué)生不容易全面理解，重點(diǎn)掌握．（4）自從國(guó)內(nèi)1992年舉辦全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽以來(lái)，大部分高校都開設(shè)了數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培訓(xùn)課程，這在一定程度上促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模思想與方法的學(xué)習(xí)[7-8]．然而，單純的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培訓(xùn)教學(xué)，又使得大多數(shù)學(xué)生只為參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽而學(xué)習(xí)，無(wú)法對(duì)理論知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，解決實(shí)際問題的動(dòng)手實(shí)踐能力不能得到全面的培養(yǎng)和提高．

針對(duì)上述問題，亟需解決的重要課題是如何通過(guò)有效方法將數(shù)學(xué)建模思想融入到線性代數(shù)課程教學(xué)中,以提升課堂教學(xué)效果．本文重點(diǎn)討論在線性代數(shù)課程中融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)模式與實(shí)際案例，旨在為線性代數(shù)理論教學(xué)與數(shù)學(xué)建模實(shí)踐教學(xué)的深度融合提供一定的參考．

1　線性代數(shù)課程融入數(shù)學(xué)建模思想的三段式教學(xué)模式

實(shí)際上線性代數(shù)課程中很多抽象復(fù)雜的概念與計(jì)算都有實(shí)際問題的背景與意義，若只講解抽象復(fù)雜的理論部分，脫離實(shí)際問題的情景，學(xué)生不易理解，并失去學(xué)習(xí)的興趣．因此，將具有實(shí)際意義的數(shù)學(xué)建模案例引入線性代數(shù)的理論教學(xué)中，理論與實(shí)踐相結(jié)合，才會(huì)取得較好的教學(xué)效果．然而，建模案例的使用絕不能脫離教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)相輔相成，深度融合，形成三段式的教學(xué)模式結(jié)構(gòu)（見圖1），才能最終達(dá)到理論與實(shí)踐相統(tǒng)一的良好效果．

圖1　將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程的三段式教學(xué)模式結(jié)構(gòu)

第一階段：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化．引入實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述．事實(shí)上，在整個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，將實(shí)際問題采用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是較為困難的，正是由于沒有很好地理解數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言以及數(shù)學(xué)思維，很多學(xué)生不能把實(shí)際生活中遇到的問題用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔明了地描述清楚．教師要通過(guò)對(duì)實(shí)際問題給出的條件逐一抽絲剝繭，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言逐漸勾勒出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)基本框架．

第二階段：模型建立．通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)理論的分析，建立合適的數(shù)學(xué)模型，這一部分是數(shù)學(xué)建模與線性代數(shù)理論結(jié)合的思想內(nèi)核部分．教師要采用問題驅(qū)動(dòng)的方式，讓學(xué)生獨(dú)立思考，充分參與知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，通過(guò)構(gòu)建實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，逐步完成線性代數(shù)理論部分的講解．

第三階段：模型求解．基于對(duì)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述和數(shù)學(xué)模型構(gòu)建，在充分理解了線性代數(shù)理論與方法部分的實(shí)際背景與現(xiàn)實(shí)意義之后，最終要使用數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型，得到符合實(shí)際意義的結(jié)果．教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解的過(guò)程，可以讓學(xué)生充分體會(huì)到理論知識(shí)與數(shù)學(xué)方法的實(shí)用性與重要性，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

2　案例設(shè)計(jì)

案例1（城鄉(xiāng)人口遷移動(dòng)態(tài)分析）對(duì)城鄉(xiāng)人口流動(dòng)做年度調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)穩(wěn)定的朝向城鎮(zhèn)流動(dòng)的趨勢(shì)．每年農(nóng)村居民的2.5%移居城鎮(zhèn)，而城鎮(zhèn)居民的1%遷出到鄉(xiāng)村[9]，現(xiàn)在總?cè)丝诘?0%位于城鎮(zhèn)．假如城鄉(xiāng)總?cè)丝诒３植蛔?，并且人口流?dòng)的這種趨勢(shì)繼續(xù)下去，分別考察1年以后、2年以后、10年以后城鎮(zhèn)人口所占比例，以及一直持續(xù)下去的最終結(jié)果．

第一階段：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化，即針對(duì)所提出的實(shí)際問題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．

第二階段：模型建立，即對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行理論分析，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型．

第三階段：模型求解，即運(yùn)用線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型．

通過(guò)對(duì)建模案例的分析與求解過(guò)程，不僅掌握了方陣相似對(duì)角化的計(jì)算與作用，并且在實(shí)踐運(yùn)用中建立了城鄉(xiāng)人口遷移的動(dòng)態(tài)模型，便于對(duì)城鎮(zhèn)人口流動(dòng)問題進(jìn)行更好的規(guī)劃和管理．這是一個(gè)典型的將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)中的三段式教學(xué)模式結(jié)構(gòu)案例：通過(guò)引入背景問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[10]；通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把實(shí)際問題描述成數(shù)學(xué)問題進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到矩陣及其運(yùn)算在建立數(shù)學(xué)模型中的作用；通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法求解以矩陣為元素的差分方程模型的過(guò)程，融入通過(guò)矩陣對(duì)角化求解方陣高次冪的計(jì)算方法，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)矩陣對(duì)角化的實(shí)用性，達(dá)到邊學(xué)邊用的良好效果．通過(guò)三段式教學(xué)模式，可以幫助學(xué)生拓展思維，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力，舉一反三，解決其它相關(guān)的實(shí)際問題．

案例2（單行道路網(wǎng)車流量問題）某城市某區(qū)域單行道路網(wǎng)見圖2．據(jù)統(tǒng)計(jì)，進(jìn)入交叉路口A的車流量為每小時(shí)500輛，而從路口B和路口C出來(lái)的車流量分別為每小時(shí)350輛和150輛．求每一條道路每小時(shí)的車流量；若BC路段封閉，計(jì)算各段的車流量．

圖2　單行道路網(wǎng)

第一階段：針對(duì)所提出的實(shí)際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述．

第二階段：通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)理論的分析，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型．

第三階段：運(yùn)用線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)工具求解數(shù)學(xué)模型．

分析所建立的方程組，求解該方程組的解，正是線性代數(shù)中利用矩陣知識(shí)解決方程組解的問題．通過(guò)具體的求解過(guò)程，讓學(xué)生能夠?qū)υ摬糠种R(shí)融會(huì)貫通．

寫出方程組的增廣矩陣，對(duì)其實(shí)施初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形矩陣，即

通過(guò)對(duì)案例2問題的建模與求解過(guò)程，可以將線性代數(shù)中求解線性方程組的理論知識(shí)與道路交通的實(shí)際問題很好融合，不僅可以幫助學(xué)生掌握基本的線性方程組理論，也可通過(guò)實(shí)例的求解將理論與實(shí)踐相結(jié)合，達(dá)到更好的教學(xué)效果．

3 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模思想不僅是一種解決實(shí)際問題的手段，還是一種數(shù)學(xué)的思考方法．?dāng)?shù)學(xué)建模應(yīng)用的廣泛性和學(xué)習(xí)過(guò)程的趣味性與開放性，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，還可以提高學(xué)生的主動(dòng)探索精神與創(chuàng)新思維能力．將數(shù)學(xué)建模實(shí)踐與數(shù)學(xué)理論教學(xué)相結(jié)合已經(jīng)成為培養(yǎng)高質(zhì)量人才的有效途徑．本文基于線性代數(shù)課程內(nèi)容的抽象性與數(shù)學(xué)建模過(guò)程的實(shí)踐性，提出將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程的三段式課堂教學(xué)模式，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用線性代數(shù)理論知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，并且可以為提高線性代數(shù)課堂效率提供教學(xué)模式參考．

[1] 李大潛．將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J]．中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2006（1）：9-11

[2] 段勇，黃廷祝．將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程教學(xué)[J]．中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2009（3）：43-44

[3] 趙麗棉，黃基廷．《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想方法的融入[J]．教育教學(xué)論壇，2012（6）：48-50

[4] 姜啟源，謝金星．一項(xiàng)成功的高等教育改革實(shí)踐——數(shù)學(xué)建模教學(xué)與競(jìng)賽活動(dòng)的探索與實(shí)踐[J]．中國(guó)高教研究，2011（12）：79-83

[5] 梁海峰．通過(guò)數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)獨(dú)立學(xué)院學(xué)生應(yīng)用創(chuàng)新能力的研究與實(shí)踐[J]．科技視界，2016（26）：41-69

[6] 韓中庚，劉向明，杜劍平．深入開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用素質(zhì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2012（4）：24-28

[7] 姜啟源，李志宏．開展數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽提高學(xué)生綜合素質(zhì)[J]．教學(xué)與教材研究，1999（3）：21-23

[8] 李大潛．中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽[M]．北京：高等教育出版社，2001

[9] 馬艷琴，張榮艷，陳東升．線性代數(shù)案例教程[M]．北京：科學(xué)出版社，2012

[10] 李清華．?dāng)?shù)學(xué)建模思想有效融入線性代數(shù)教學(xué)的探析[J]．教育現(xiàn)代化，2018，5（39）：77-79

The teaching mode of integrating mathematical modeling idea into linear algebra course

ZHANG Jun，ZHANG Xinyu，LIU Juhong，WU Guodong，WU Guorong

（School of Science，Inner Mongolia Agricultural University，Hohhot 010018，China）

Based on the strong theoretical characteristics of linear algebra and the strong practical characteristics of mathematical modeling，the combination of linear algebra and mathematical modeling is an effective method to supplement theoretical teaching and practical application．In order to help students to better apply linear algebra knowledge into practice，the three-stage classroom teaching mode of integrating mathematical modeling into linear algebra course was put forward．Through the design process of the actual teaching cases, it is proved that the three-stage classroom teaching mode is feasible，which provides a new idea and reference for the teaching reform of linear algebra course．

linear algebra；mathematical modeling；teaching mode

O151∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.10.014

1007-9831（2020）10-0064-05

2020-05-01

內(nèi)蒙古自治區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度課題（NGJGH2019333）；內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（JGZD201815， JGYB201952）；2019年第一批教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目（201901148037）

張軍（1980-），男，山西懷仁人，副教授，博士，從事數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用研究．E-mail：zj325328333@163.com

吳國(guó)榮（1974-），男，內(nèi)蒙古興安盟人，教授，碩士，從事時(shí)滯微分系統(tǒng)穩(wěn)定性研究．E-mail：wgr9899@126.com