廣義線性指數(shù)混料模型的A—最優(yōu)設(shè)計(jì)

陳博照 閆 湛

（1.廣東白云學(xué)院 教育與體育學(xué)院，廣東 廣州510080；2.廣州工商學(xué)院，廣東 廣州510000）

1 混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)

混料配比問題，是工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及生物制藥等科學(xué)試驗(yàn)中經(jīng)常遇到的多因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。實(shí)驗(yàn)者要通過盡可能少的試驗(yàn)次數(shù)得出各種配比成分的比例。如建筑房所用的混凝土，是將砂、碎石，以及若干種型號(hào)的水泥混合攪拌而成，人們要得到最好的黏合度與穩(wěn)定性就必須經(jīng)過重復(fù)的試驗(yàn)。怎樣去設(shè)計(jì)這些試驗(yàn)使得試驗(yàn)成本低且精度高，從而得出一個(gè)適用于實(shí)際操作的回歸方程呢？這就是混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的研究范疇。

混料問題中的可控變量，即每個(gè)因素對(duì)總體的影響都以它們?cè)诳偭恐兴嫉谋壤憩F(xiàn)出來，也就是說研究的重點(diǎn)不在某些因素的量，而是這些因素的量在總量中所占的百分比[1]。假設(shè)：混料系統(tǒng)中共有q個(gè)因素， 第i個(gè)因素在總量中所占比例為xi，xi（i=1，2，…q），應(yīng)滿足：

這就是混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本約束條件。其中，將xi稱為第i個(gè)混料分量。

2 A-最優(yōu)準(zhǔn)則

通過對(duì)各分量分配比重，可以得到一個(gè)初步設(shè)計(jì)。但在進(jìn)行實(shí)操試驗(yàn)之前，必須先對(duì)這個(gè)設(shè)計(jì)進(jìn)行相應(yīng)的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)，若草率的進(jìn)行試驗(yàn)會(huì)導(dǎo)致資源浪費(fèi)、成本增加。評(píng)價(jià)一個(gè)設(shè)計(jì)的依據(jù)就是最優(yōu)準(zhǔn)則，最優(yōu)準(zhǔn)則是衡量一個(gè)設(shè)計(jì)優(yōu)劣程度的基本標(biāo)準(zhǔn)。經(jīng)過不斷地完善，現(xiàn)仍廣泛使用的準(zhǔn)則有D-最優(yōu)、A-最優(yōu)、R-最優(yōu)等。其中，A-最優(yōu)準(zhǔn)則要求所有未知參數(shù)估計(jì)值的方差之和達(dá)到最小，其統(tǒng)計(jì)意義在于通過對(duì)各參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間長(zhǎng)度的平方和的約束，來衡量估計(jì)的優(yōu)劣[2]。這個(gè)出發(fā)點(diǎn)可以使模型的總體方差得到有效的控制，避免了出現(xiàn)某參數(shù)估計(jì)效率低下的情況，對(duì)置信橢球體的平均軸長(zhǎng)有很好的制約作用?？梢哉f，一個(gè)設(shè)計(jì)若能達(dá)到A-最優(yōu)準(zhǔn)則的要求，那么它在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)試驗(yàn)點(diǎn)的選取就能起到很好的引導(dǎo)作用。

3 廣義線性混料模型

在混料模型的研究歷程中，研究者從簡(jiǎn)單的線性模型、多項(xiàng)式模型、可加模型到非線性模型；從同方差模型到復(fù)雜的異方差模型；從常見的單響應(yīng)模型、兩響應(yīng)模型到與實(shí)際聯(lián)系密切的多響應(yīng)模型，一步步的對(duì)模型進(jìn)行深化與探索。模型的多樣性、全面性已經(jīng)讓實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的適用范圍更廣泛[3]。在諸多模型中，q變量m階Scheffé中心多項(xiàng)式模型可以說是混料模型的鼻祖，與之對(duì)應(yīng)的變量階單純形—格子設(shè)計(jì)是一種非常優(yōu)美的最優(yōu)設(shè)計(jì)，對(duì)這個(gè)模型在各種最優(yōu)準(zhǔn)則下的研究也已經(jīng)相當(dāng)成熟。在此，將在前人的研究基礎(chǔ)上提出一類廣義線性混料模型，并對(duì)它在A-準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計(jì)進(jìn)行研究，作為對(duì)已有模型的補(bǔ)充。

q變量一階廣義指數(shù)線性混料模型：

這種模型屬于q變量一階廣義線性模型中的一種，它在研究漂白劑、殺蟲劑、混合殺毒藥劑，甚至在化妝品的配方問題上都有很大的應(yīng)用，下面將對(duì)廣義指數(shù)模型的最優(yōu)設(shè)計(jì)進(jìn)行探討。

4 一階廣義指數(shù)線性混料模型的A-最優(yōu)設(shè)計(jì)

在q變量m階Scheffé中心多項(xiàng)式模型中，常數(shù)項(xiàng)β0可以通過混料模型分量之和為1的特性分解到一階項(xiàng)的系數(shù)中，常見的線性混料模型是不帶常數(shù)項(xiàng)的，然而廣義指數(shù)模型并不具備這種可分解的性質(zhì)，因此對(duì)其最優(yōu)設(shè)計(jì)的研究要困難得多。

對(duì)于2變量一階廣義指數(shù)線性混料模

固定模型的三個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)， 分別為 （1，0），（0，1），先求解模型所對(duì)應(yīng)的單純形的各類中心點(diǎn)上的A-最優(yōu)配置，然后再證明所得到的設(shè)計(jì)是該模型的A-最優(yōu)設(shè)計(jì)。

信息矩陣的逆的跡

通過對(duì)上式進(jìn)行最小化處理，可得：r1≈0.2377，r2≈0.5246

此時(shí)，信息矩陣逆的跡的最小值min[ t rM-1（）]≈324.653。所以，純分量點(diǎn)上測(cè)度0.2377，二分量點(diǎn)上測(cè)度0.5246的配置就是設(shè)計(jì)點(diǎn)在三個(gè)中心點(diǎn)上的A-最優(yōu)配置[5]。

接著，就得到的給定設(shè)計(jì)點(diǎn)的A-最優(yōu)配置，往證設(shè)計(jì)：

就是模型（2）的A-最優(yōu)設(shè)計(jì)。

其中，a=x2+2w2，b=（x+y+z）w，c=w2+y2+z2，d=w2+2yz，再結(jié)合r1與r2的最優(yōu)配置比例，可以得出設(shè)計(jì)的A-最優(yōu)方差函數(shù)表達(dá)式：

在上式中，x1，x2必須滿足混料基本條件x1+x2=1，故進(jìn)一步通過消元求導(dǎo)可以得到當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)分別取時(shí)，方差函數(shù)dA（x；）都能取得最大值324.653。因此，對(duì)試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)任一試驗(yàn)點(diǎn)都有：dA（x；）≤324.653。

5 總結(jié)

變量一階廣義指數(shù)線性混料模型最優(yōu)設(shè)計(jì)的提出與證明，為此類模型的在實(shí)際應(yīng)用過程中試驗(yàn)點(diǎn)的選取以及試驗(yàn)點(diǎn)的投入權(quán)重提供了一個(gè)明確的方向，三個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)選在兩個(gè)純分量點(diǎn)上與二分量點(diǎn)上，測(cè)度分別為，與的試驗(yàn)，能避免參數(shù)估計(jì)過程中劣性參數(shù)的出現(xiàn)，從而得到一個(gè)行之有效的混料模型，可用于對(duì)未知響應(yīng)的預(yù)測(cè)以及總體數(shù)據(jù)的評(píng)估。