基于地磁傳感器的旋轉(zhuǎn)彈箭滾轉(zhuǎn)角解算精度分析*

陳勝政，楊 波，張 意，王天明，楊 靖

(西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所， 西安 710065)

0 引言

地磁傳感器具有成本低、抗過(guò)載能力強(qiáng)[1-3]、精度適中、算法容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)成為低成本制導(dǎo)/修正彈箭最主要的滾轉(zhuǎn)角測(cè)量手段[4-5]，并在國(guó)內(nèi)外多型低成本制導(dǎo)彈箭上得到應(yīng)用[6-7]。

滾轉(zhuǎn)角信號(hào)在制導(dǎo)/修正旋轉(zhuǎn)彈箭的控制系統(tǒng)中承擔(dān)著制導(dǎo)信號(hào)坐標(biāo)變換、控制指令分解等重要任務(wù)，其解算精度對(duì)制導(dǎo)旋轉(zhuǎn)彈箭的最終命中精度影響較大。文中從地磁傳感器解算滾轉(zhuǎn)角的基本原理入手，分析并推導(dǎo)出決定滾轉(zhuǎn)角解算精度的主要因素及誤差方程。并進(jìn)行了相關(guān)仿真分析，為地磁傳感器在旋轉(zhuǎn)彈箭上的使用提供一定的指導(dǎo)。

1 地磁傳感器測(cè)姿原理簡(jiǎn)介

1.1 地磁傳感器測(cè)姿基本原理

地磁傳感器測(cè)姿，是利用旋轉(zhuǎn)彈箭飛行區(qū)域內(nèi)的地磁場(chǎng)矢量在旋轉(zhuǎn)彈箭彈體坐標(biāo)系下的投影分量與地面坐標(biāo)系下的投影分量之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，來(lái)建立起關(guān)于3個(gè)歐拉角的聯(lián)立方程組來(lái)進(jìn)行的。通過(guò)對(duì)聯(lián)立方程組進(jìn)行變換，分離出滾轉(zhuǎn)角變量，進(jìn)而得到關(guān)于滾轉(zhuǎn)角的解析表達(dá)式，從而在代入有關(guān)參量的條件下，實(shí)現(xiàn)滾轉(zhuǎn)角的實(shí)時(shí)在線解算。

1.2 地磁場(chǎng)簡(jiǎn)介

地磁場(chǎng)同重力場(chǎng)一樣，是一種全球性的基本物理場(chǎng)[8]。地球表面任意一點(diǎn)的地磁場(chǎng)為一個(gè)矢量，記為B，強(qiáng)度記為B。下面建立北天東坐標(biāo)系OXYZ來(lái)對(duì)地磁場(chǎng)進(jìn)行描述。OXYZ是以發(fā)射點(diǎn)O為原點(diǎn)，以地理北(北向N)、與地理北垂直并指向地心反方向(天向U)以及地理東(東向E)為3個(gè)正交軸建立的坐標(biāo)系。

B在OXYZ坐標(biāo)下有兩個(gè)投影角度，分別為磁傾角I和磁偏角D。磁傾角I為B與北東坐標(biāo)平面的夾角，指向地心為正，磁偏角D為B在北東坐標(biāo)平面上的投影與北向的夾角，指北為正。

圖1 地磁場(chǎng)矢量示意圖

B與I、D一起，稱為當(dāng)?shù)氐拇艌?chǎng)要素，構(gòu)成對(duì)當(dāng)?shù)卮艌?chǎng)矢量的完整描述。磁場(chǎng)要素可通過(guò)檢索當(dāng)?shù)氐卮艌?chǎng)數(shù)據(jù)庫(kù)或由世界地磁場(chǎng)模型(world magnetic model，WMM)計(jì)算得出，也可采用經(jīng)過(guò)計(jì)量的三軸磁強(qiáng)計(jì)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量得到。數(shù)據(jù)表明，當(dāng)制導(dǎo)彈藥射程較近時(shí)，整個(gè)飛行彈道區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)變化非常微小[9]，工程可按B不變來(lái)處理，即將B、I、D取固定值。

2 滾轉(zhuǎn)角解算模型

2.1 地磁矢量的坐標(biāo)變換關(guān)系

分別建立地面坐標(biāo)系OXgYgZg、準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系Ox4y4z4、彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1共3個(gè)坐標(biāo)系。彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1到地面坐標(biāo)系OXgYgZg的變換關(guān)系采用(γ、ψ、?)3個(gè)歐拉角來(lái)描述。3個(gè)歐拉角及坐標(biāo)系的定義按文獻(xiàn)[10]執(zhí)行。

北天東坐標(biāo)系OXYZ與地面坐標(biāo)系OXgYgZg之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系用角度ψs描述。ψs定義為北向角，物理意義是旋轉(zhuǎn)彈箭射擊方向與北向的夾角，又名射向角。射向在北向以東為正，取值范圍-180°～180°，發(fā)射前由靶場(chǎng)測(cè)定，為已知量。

根據(jù)坐標(biāo)系定義，得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系見(jiàn)圖2。其中L(*) 表示坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

圖2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系

2.2 根據(jù)坐標(biāo)變換關(guān)系，建立聯(lián)立方程組

將B在北天東坐標(biāo)系下的投影分別記為BX、BY、BZ，根據(jù)B、I、D的定義，得計(jì)算公式如式(1)：

(1)

B在發(fā)射坐標(biāo)系的投影記為BXs、BYs、BZs。按圖2，計(jì)算公式為：

(2)

式(2)即為發(fā)射系下的地磁三分量的計(jì)算公式。顯然，由于右端所有變量均是發(fā)射前已知的，所以BXs、BYs、BZs為已知量。

另一方面，記Bx1、By1、Bz1分別為地磁矢量在彈體坐標(biāo)系下的三投影分量，則有：

(3)

由于式(3)左邊為已知量，右邊的Bx1、By1、Bz1可由三軸傳感器測(cè)出。那么式(3)即是關(guān)于3個(gè)歐拉角的聯(lián)立方程組。

2.3 滾轉(zhuǎn)角γ解算公式

根據(jù)式(3)建立的聯(lián)立方程組，進(jìn)行整理可得滾轉(zhuǎn)角解算公式：

(4)

若令：

(5)

那么滾轉(zhuǎn)角γ解算公式可改寫(xiě)為：

γ=γ1-γ2

(6)

式(6)便是最終的滾轉(zhuǎn)角計(jì)算公式，當(dāng)前滾轉(zhuǎn)角γ等于γ1與γ2之差。式中：γ2僅與地磁場(chǎng)矢量在y1軸、z1軸的投影分量Bz1By1相關(guān)，在采用分別與Oy1軸、Oz1軸固聯(lián)安裝的兩軸地磁傳感器的情形下，輔以一定的濾波算法，可直接計(jì)算出γ2。

而γ1是I、D、ψs、?以及ψ共5個(gè)變量的函數(shù)。I、D、ψs在發(fā)射前已知，可以通過(guò)裝訂口提前裝訂給彈箭。而?、ψ兩個(gè)變量則需要通過(guò)其他方法來(lái)解算或獲取。

目前，一般有以下兩種方法來(lái)獲取?和ψ：一是彈道預(yù)估法。通過(guò)選擇合理的彈道形式和彈道方案，來(lái)保證全程?、ψ規(guī)律與理論彈道的一致性，從而為預(yù)估創(chuàng)造條件。另一種方法是與衛(wèi)星定位儀組合，利用衛(wèi)星定位儀信號(hào)來(lái)實(shí)時(shí)估計(jì)?、ψ信號(hào)。

但是，無(wú)論哪種方法，所得到的?、ψ都存在一定的誤差。該誤差會(huì)最終疊加到γ1上，引起滾轉(zhuǎn)角解算誤差[11]。此外，其他3個(gè)參數(shù)也會(huì)帶來(lái)一定的誤差。

3 地磁傳感器解算滾轉(zhuǎn)角精度分析

3.1 γ1項(xiàng)誤差分析及控制

在式(5)中，令：

(7)

那么，γ1計(jì)算公式可改寫(xiě)為如式(8)形式：

(8)

將γ1(?+Δ?,ψ+Δψ,D+ΔD,ψs+Δψs,I+ΔI) 在(?,ψ,D,ψs,I)附近進(jìn)行泰勒展開(kāi)，以微分代替差分，并且忽略高階小量，得：

(9)

將γ1的誤差記為Δγ1，那么：

(10)

根據(jù)式(7)、式(8)計(jì)算，得：

(11)

(12)

由于D、ψs兩個(gè)參數(shù)是由發(fā)射前測(cè)定并裝訂的，其誤差ΔD、Δψs遠(yuǎn)小于Δψ，因此可以忽略，進(jìn)而式(12)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

(13)

即Δγ1主要由偏航角誤差Δψ、俯仰角誤差Δ?和磁傾角誤差ΔI引起。

一般來(lái)講，旋轉(zhuǎn)彈箭的偏航角ψ(t)、磁傾角D一般較小，可近似按零處理。照此情形，有：

(14)

因此，可將發(fā)散的條件概括為：①射擊方向在正北向或正南向附近；②當(dāng)前彈道俯仰角接近于負(fù)的磁傾角。當(dāng)①與②兩個(gè)條件同時(shí)成立時(shí)，解算出的滾轉(zhuǎn)角誤差將會(huì)是發(fā)散的。下面以在北半球?yàn)槔M(jìn)行分析。在北半球射擊時(shí)，若沿正北、正南向附近射擊，那么條件①是滿足的。由于當(dāng)?shù)卮艃A角I為正值，那么當(dāng)旋轉(zhuǎn)彈箭飛行至彈道降弧段時(shí)，條件②很容易構(gòu)成，從而導(dǎo)致降弧段滾轉(zhuǎn)角解算精度變差。而對(duì)于南半球的情形，當(dāng)旋轉(zhuǎn)彈箭在彈道升弧段飛行時(shí)，條件②容易構(gòu)成。

綜合起來(lái)看，對(duì)于旋轉(zhuǎn)彈箭不同的飛行段，條件②都是可能構(gòu)成的。而條件①僅與射向相關(guān)，那么通過(guò)選擇射向，是可以規(guī)避條件①，從而避免滾轉(zhuǎn)角發(fā)散的問(wèn)題。

3.2 γ1項(xiàng)誤差仿真分析

由3.1節(jié)的分析可見(jiàn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)彈箭沿正北向或正南向附近射擊時(shí)，采用地磁傳感器解算的滾轉(zhuǎn)角存在發(fā)散的可能，導(dǎo)致地磁測(cè)姿方案不可用[11]。

但是，根據(jù)式(7)，當(dāng)射向從正北、正南方向逐漸偏離后，A逐漸增加，A2+C2逐漸變大，單位角度(俯仰角、偏航角、磁傾角等)誤差引起的滾轉(zhuǎn)誤差逐漸變小，滾轉(zhuǎn)誤差收斂，滾轉(zhuǎn)角解算精度變高。

因此，需要在全彈道俯仰角范圍內(nèi)，針對(duì)不同的射向，仿真分析俯仰角誤差、偏航角誤差、磁傾角與滾轉(zhuǎn)角誤差的傳遞關(guān)系，通過(guò)將滾轉(zhuǎn)角誤差限制在控制系統(tǒng)可承受范圍內(nèi)，來(lái)確認(rèn)地磁的可用區(qū)域，從而為地磁的使用或指標(biāo)分解提供依據(jù)[12]。

仿真計(jì)算條件為：

磁傾：40.5°

磁偏： 0°

北向角ψs： 0°～-90°

俯仰角誤差： 取固定值3°

偏航角誤差：取固定值3°

磁傾角誤差：取固定值0.3°

容許的最大滾轉(zhuǎn)誤差：10°

3°偏航角誤差引起的滾轉(zhuǎn)角誤差仿真結(jié)果分別見(jiàn)圖3～圖5。滾轉(zhuǎn)誤差超過(guò)10°時(shí)，按10°繪制曲線，以下同。

圖3 0°～-20°射向，3°偏航角誤差引起的滾轉(zhuǎn)角誤差

圖4 -25°～-45°射向，3°偏航角誤差引起的滾轉(zhuǎn)誤差

圖5 -50°～-90°射向，3°偏航角誤差引起的滾轉(zhuǎn)誤差

3°俯仰角誤差引起的滾轉(zhuǎn)角誤差仿真結(jié)果分別見(jiàn)圖6～圖8。

圖6 0°～-20°射向，3°俯仰角誤差引起的滾轉(zhuǎn)誤差

圖7 -25°～-45°射向，3°俯仰角誤差引起的滾轉(zhuǎn)誤差

圖8 -50°～-90°射向，3°俯仰角誤差引起的滾轉(zhuǎn)誤差

0.3°磁傾角誤差引起的滾轉(zhuǎn)角誤差仿真結(jié)果分別見(jiàn)圖9～圖10。

圖9 0°～-20°射向，0.3°磁傾角誤差引起的滾轉(zhuǎn)角誤差

圖10 -30°～-90°射向，0.3°磁傾角誤差引起的滾轉(zhuǎn)誤差

由仿真結(jié)果可見(jiàn)：

1) 由圖3～圖5可見(jiàn)，隨著射向角的增加(往負(fù)向增加)，3°偏航角誤差帶來(lái)的滾轉(zhuǎn)角誤差(絕對(duì)值)逐漸減小。其中，當(dāng)射向角處于0°～-10°范圍內(nèi)，俯仰角在-53°～-29°范圍內(nèi)，滾轉(zhuǎn)角誤差(絕對(duì)值)超過(guò)10°，地磁測(cè)姿方案在此范圍內(nèi)不可用。

2)由圖6～圖8可見(jiàn)，3°俯仰角誤差帶來(lái)的滾轉(zhuǎn)角誤差(絕對(duì)值)整體趨勢(shì)也是隨射向角的增加而減小的。且，僅當(dāng)射向角超過(guò)-20°時(shí)，3°俯仰角誤差帶來(lái)的滾轉(zhuǎn)角誤差才全部減小到10°以內(nèi)。但由于射向角處于-15°～-20°區(qū)間，僅一小段彈道傾角范圍(-50°～-35°)內(nèi)的滾轉(zhuǎn)角誤差超過(guò)10°，若能夠進(jìn)一步提高俯仰角的估算精度，那么可將不可用的射向角范圍縮減到0°～-15°。

3)由圖5、圖7、圖8可見(jiàn)，當(dāng)射向角超過(guò)-35°時(shí)，3°偏航角誤差帶來(lái)的滾轉(zhuǎn)角誤差均小于4°，而3°俯仰角誤差帶來(lái)的滾轉(zhuǎn)角誤差均不大于6°。說(shuō)明在該射向范圍，采用地磁傳感器解算滾轉(zhuǎn)角的方法對(duì)偏航角、俯仰角誤差的容忍能力較強(qiáng)。且隨著射向角逐漸逼近-90°(相當(dāng)于沿地理西向射擊)，3°俯仰角和3°偏航角帶來(lái)的滾轉(zhuǎn)誤差達(dá)到最小，說(shuō)明該射向最有利。

4)由圖9、圖10可見(jiàn)，0.3°磁傾角誤差引起的滾轉(zhuǎn)誤差僅僅在俯仰角處于-40°，射向不大于-10°的局部區(qū)域內(nèi)有大值出現(xiàn)。而如果射向大于-10°，0.3°磁傾角誤差引起的滾轉(zhuǎn)誤差幾乎可以忽略。

5)由此可見(jiàn)，為了保證旋轉(zhuǎn)制導(dǎo)彈箭的命中精度，射表中應(yīng)對(duì)射向角范圍作出明確規(guī)定，作戰(zhàn)時(shí)選擇有利的射擊方向，盡量避免向正北向附近射擊，射向角至少應(yīng)大于-15°。同樣的分析，對(duì)于0°～90°的射向應(yīng)有同樣的規(guī)律。綜合起來(lái)講， -15°～15°的射向應(yīng)算作不可用射向。

6)總的來(lái)講，按北半球射擊考慮，最佳射向角應(yīng)選在35°～90°區(qū)間或-35°～-90°，通過(guò)為控制系統(tǒng)提供高精度的滾轉(zhuǎn)角信號(hào)，從而保證命中精度。

3.3 γ2項(xiàng)誤差Δγ2分析

根據(jù)γ2的計(jì)算公式，當(dāng)彈軸矢量與地磁矢量接近平行時(shí)，Bz1、By1均為小量，導(dǎo)致γ2的計(jì)算精度變差。根據(jù)實(shí)際使用經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)傳感器進(jìn)行標(biāo)定并消除彈上電磁干擾后，僅僅當(dāng)射向角小于10°時(shí)，γ2的精度會(huì)比較差。而射向角大于10°的情形，γ2的精度基本都能處在一個(gè)比較穩(wěn)定的水平。

3.4 滾轉(zhuǎn)角綜合誤差Δγ分析

滾轉(zhuǎn)角綜合誤差 Δγ=Δγ1+Δγ2。

根據(jù)3.1、3.2節(jié)的分析，滾轉(zhuǎn)角誤差主要取決于Δγ1。當(dāng)將射向選擇在15°以外時(shí)，綜合滾轉(zhuǎn)角誤差最大值不大于20°(單獨(dú)俯仰角或偏航角引起的最大滾轉(zhuǎn)誤差各10°，磁傾角引起的誤差可以忽略)，初步的控制系統(tǒng)仿真表明，在該滾轉(zhuǎn)角誤差條件下，制導(dǎo)旋轉(zhuǎn)彈箭仍能保證命中，說(shuō)明滾轉(zhuǎn)角精度能夠滿足控制系統(tǒng)的要求。

而當(dāng)射向角處于15°以內(nèi)時(shí)，由于滾轉(zhuǎn)角精度變差，誤差達(dá)到20°以上，導(dǎo)致地磁測(cè)姿方案不可用。

由此可見(jiàn)，采用地磁傳感器測(cè)量滾轉(zhuǎn)角時(shí)，需要對(duì)射向進(jìn)行限制，使得彈箭的作戰(zhàn)使用受到一定的限制[13-14]。

4 結(jié)論

文中建立了滾轉(zhuǎn)解算模型、誤差傳遞模型，對(duì)一定的俯仰角誤差、偏航角誤差、磁傾角誤差等誤差因素引起的滾轉(zhuǎn)角誤差進(jìn)行了仿真分析。仿真分析表明，在同等誤差水平、不同北向角條件下，地磁解算精度與北向角即射向密切相關(guān)，當(dāng)射向偏離北向15°以上時(shí)，滾轉(zhuǎn)角解算精度可達(dá)到20°以內(nèi)，且隨著射向角增加，滾轉(zhuǎn)角解算精度越來(lái)越高。這可為地磁傳感器在彈箭滾轉(zhuǎn)角解算中的使用提供一定的參考與指導(dǎo)。