關(guān)于方程logax=ax解的個(gè)數(shù)的討論

鄧子峻

【摘要】本文討論了函數(shù)y=ax與其反函數(shù)y=logax的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，即方程logax=ax的解的個(gè)數(shù)問題，針對滿足a>0且a≠1的實(shí)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，討論每一類方程logax=ax解的情形，從理論上給出了這個(gè)問題較系統(tǒng)完整的分析。

【關(guān)鍵詞】指數(shù)函數(shù);對數(shù)函數(shù);方程

【中圖分類號】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

對于方程log_ax=a^x，由于函數(shù)y=log_ax與函數(shù)y=a^x互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱，往往使人們?nèi)菀赘鶕?jù)直觀斷言，當(dāng)a>1時(shí)，方程log_ax=a^x無解，當(dāng)0ax=a^x只有一個(gè)解，但遺憾的是，直觀現(xiàn)象與本質(zhì)并不相同，上述斷言的第一部分和第二部分都不準(zhǔn)確。

對于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)教材上的觀點(diǎn)是：它們可能沒有交點(diǎn)，可能只有一個(gè)交點(diǎn)，可能有兩個(gè)交點(diǎn)，這從圖像上很容易驗(yàn)證其正確性，但事實(shí)上，對于這個(gè)問題，有一個(gè)讓我們始料不及的結(jié)果：那就是當(dāng)a屬于某一個(gè)范圍時(shí)，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)有可能出現(xiàn)三個(gè)交點(diǎn)。而這在中學(xué)數(shù)學(xué)教材上完全沒有提及。對于這個(gè)問題，也有個(gè)外國學(xué)者做個(gè)一些討論，參考文獻(xiàn)給出了Waksman在1990年所作的結(jié)果：1：當(dāng)0ax=a^x有三個(gè)解;2：當(dāng);ax=a^x有一個(gè)解;3：當(dāng)a=e^-e，則曲線y=a^x與曲線y=log_ax僅有一個(gè)交點(diǎn)（e^-e，e^-e），并且也是兩曲線的公切點(diǎn)。

本文并不局限于討論a<1的情況，而是針對滿足a>0且a≠1的所有實(shí)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，討論每一類方程log_ax=a^x解的情形，并最終得出包含上述三個(gè)結(jié)論的更全面的五個(gè)結(jié)論。

考察下面兩個(gè)例子：

例1：當(dāng)a= ?2 ?時(shí)，y=（ 2 ）^x與y=log_?2 x 有兩個(gè)交點(diǎn)（2，2），（4，4）

例2：當(dāng)a= ?;時(shí)，y=（ ;）^x與y=log ?x 顯然有以下兩個(gè)交點(diǎn)p₁（;，;），p₂（;，;），而p₁、p₂均不在直線y=x上，所以我們可以斷定，當(dāng)a= ?;時(shí)，y=（ ;）^x與y=log ?x有三個(gè)交點(diǎn)，而第三個(gè)交點(diǎn)必在直線y=x上。（見引理，本文第7頁）

使用幾何畫板，我們可以做出指數(shù)函數(shù)y=a^x與其反函數(shù)y=log_ax（a>0，a≠1）的圖像的交點(diǎn)情況，觀察圖像，我們會發(fā)現(xiàn)，隨著a值的變化，方程log_ax=a^x可能無解，可能僅有一解，也可能有兩解，甚至可能有三解！當(dāng)然這僅僅是用作圖軟件作出的結(jié)果，并沒有嚴(yán)格的理論證明。

現(xiàn)在我們將問題一般化，對于滿足a>0且a≠1的實(shí)參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論每一類方程log_ax=a^x解的情形。

3.1 當(dāng)a>1時(shí)，方程log_ax=a^x解的情形

由于函數(shù)y=log_ax與函數(shù)y=a^x互為反函數(shù)，故它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱，所以在討論二者之間的交點(diǎn)時(shí)，我們可以先僅討論函數(shù)y=a^x與直線y=x的交點(diǎn)情況，并由此來判斷函數(shù)y=log_ax與函數(shù)y=a^x的交點(diǎn)情況。

在使用幾何畫板作圖時(shí)，根據(jù)圖象的動態(tài)啟發(fā)，我們不妨先處理臨界狀態(tài)，即先求出函數(shù)y=a^x與直線y=x相切時(shí)a的值。但曲線y=a^x與直線y=x相切的條件是：

;a^x=x???a=x

→???→ xlnx ?=1→lnx=1

（a^x）'=1??;a^xlna=1

解得x=e 得a=e??????（1）

現(xiàn)考慮f（x）=?a^x-x的最小值，由f'（x）=a^xlna-1知，當(dāng)a^xlna-1=0時(shí)，得到f'（x）的唯一零點(diǎn)，

x₀=loga?=-log_alna?????（2）

使得f'（-log_alna）=0

當(dāng)x <-log_alna時(shí)，由a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有a^xxlna-1<0 所以f（x）單調(diào)遞減。 （3） ?;

當(dāng)x >-log_alna時(shí)，由a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有a^x>?，則f'（x）=a^xlna-1>0;所以單調(diào)遞增。?（4）

所以當(dāng)x=-log_alna時(shí)，f（x）=a^x-x取得最小值，最小值為f（-log_alna）=?;，又因?yàn)閘na>0，所以只需討論1+lnlna的正負(fù)，就可以判斷f（x）最小值的正負(fù)（此時(shí)f（x）的最小值為a的函數(shù)）

由（1）知，只需討論a與e;的關(guān)系。

①：當(dāng)a>e;時(shí)，lna>lne ?=

→lnlna>ln;=-1→1+lnlna>0

→f（-log_alna）=??;>0

得a^x-x≥??>0，有a^x>x，即函數(shù)y=a^x的圖像始終在直線y=x的上方，故函數(shù)y=log_ax的圖像則始終在直線y=x的下方，所以方程log_ax=a^x無解。

②：當(dāng)a=e;時(shí)，lna=lne ?=

→lnlna=ln;=-1→1+lnlna=0

→f（-log_alna）=??;=0

由（2）（3）（4）對函數(shù)f（x）=a^x-x單調(diào)性的討論可知：除x=-log_alna外，f（x）=a^x-x> 0，即當(dāng)a=e 時(shí)，函數(shù)y=a^x的圖像在x=-log_alna處與直線y=x相切，與之相對應(yīng)，函數(shù)y=log_ax的圖像在x=-log_alna也與直線y=x相切。所在此時(shí)，方程log_ax=a^x僅有一解。

③：當(dāng)1

→lnlna

→f（-log_alna）=??;<0?????（5）

又由1

→log_alna<0

→-log_alna>0

因?yàn)?f（0）= a⁰-0=1>0??????（6）

由（5）（6）并依據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，在（0，-log_alna）上，存在x₁，使得f（x₁）=0，即是a^x1=x₁，得到曲線y=a^x與直線y=x在0alna有交點(diǎn)，又因?yàn)閒（x）在x <-log_alna時(shí)單調(diào)遞減（由（3）的討論），所以交點(diǎn)是唯一的。

再由lim?=0，而lna>0，所以存在x₂'>0，

使得lna>

→a^x2- x₂'>0 ?→ f（x₂'）>0 ?????（7）

由（5）（7）并依據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，在-log_alna2'上，存在x₂，使得 f（x₂）=0，即是：a^x2=x₂，所以函數(shù)y=a^x與直線y=x在-log_alna2'上有交點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù) f（x）在x >-log_alna單調(diào)遞增（由（4）的討論），所以交點(diǎn)也是唯一的。

所以，當(dāng)1ax=a^x有兩個(gè)解，分別在區(qū)間（0，-log_alna）和區(qū)間（-log_alna，+∞）上。

綜合以上討論，我們得到如下結(jié)論：

定理1：當(dāng)a>e;時(shí)，方程log_ax=a^x無解。

定理2：當(dāng)a=e ?時(shí)，方程log_ax=a^x有一解，此時(shí)曲線y=a^x與曲線y=log_ax?均與直線y=x相切。

定理3：當(dāng)1ax?=a^x有兩個(gè)解，分別在區(qū)間（0，-log_alna）和區(qū)間（-log_alna，+∞）上。

3.2：當(dāng)0ax=a^x解的情形

為了更好的討論當(dāng)0ax=a^x解的情形，我們不妨先證明以下一個(gè)引理：

引理：對每一個(gè)a∈（0，1），曲線y=a^x與曲線y=log_ax這兩條曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)在直線y=x上。

證明：從交點(diǎn)（x，x）出發(fā)，將底數(shù)a看作x的函數(shù)，即對每一x∈（0，1）

x=a^x→lnx=x·lna

→a=e

→ ?;=e;·?;>0

因此，a是x的在（0，1）上的遞增函數(shù)，而

lim a=lim e;=0

lim a=lim e;=1

這樣，函數(shù)a=e;表示了從0x與曲線y=log_ax這兩條曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)在直線y=x上。

有了以上的準(zhǔn)備，我們再來詳細(xì)討論當(dāng)0ax=a^x解的情形。

如左圖，設(shè)函數(shù)函數(shù)y=log_ax與函數(shù)y=a^x在直線y=x上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀其中 x₀<ζ0+△x（易知x₀一定存在，在x軸上x₀右側(cè)取一點(diǎn)x₀+△x（△x→0⁺）因?yàn)椤鱴→0⁺時(shí)，即是：

f（x₀+△x）=f'（ζ）△x+f（x₀）

a^x0+△x=a^ζlna·△x+a^x0 （8）

log_a（x₀+△x）= ?;·△x+log_ax_{0 ??（}9）

又因?yàn)閍^x0=log_ax₀

（8）-（9），得：

a^x0+△x-log_a（x₀+△x）=△x（a^ζlna-?;）（10）

由（10）得：當(dāng)a^x0lna-?;<0時(shí)，以及由連續(xù)函數(shù)的保號性，使得： ;

a^x0+△x-log_a（x₀+△x）<0

即是：在x=x₀的右側(cè)，存在一點(diǎn)x=x₀+△x，使得函數(shù)y=a^x的圖像在函數(shù)y=log_ax圖像的下方。 ?????（11）

又因?yàn)椋篴^ax-logax=

當(dāng)x≥1且0a^x<1，

∴?<1

→a^a??-logax<1→a^x-log_ax>0

即是當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)y=a^x的圖像在函數(shù)y=log_ax圖像的上方 ?（12）

由（11）（12）以及函數(shù)y=a^x、函數(shù)y=log_ax的連續(xù)性可知，在區(qū)間（x₀，1）內(nèi)，函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=log_ax定有一交點(diǎn)，對稱地在內(nèi)（0，x₀），兩函數(shù)也存在一交點(diǎn)。且兩交點(diǎn)并不在直線y=x上。再由已證的引理可知，此時(shí)兩函數(shù)必有三不同交點(diǎn)

綜上所述：當(dāng)

a^x0lna-?;<0 ?;………………….……?（13）

函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=log_ax（0

又a^x0=x₀，…………………………… ………..?（14）

（14）代入（13）得：

x₀lna- ?;<0………………………………… ?（15）

即是（x₀lna）²>1 ?→x₀lna<-1………………… ?（16）

由（14）得，lna=?;<0…………………… ?（17）

（17）代入（16）得：lnx₀<-1→ x₀-1……… ?（18）

（18）代入（16）得：lna<-e→a<

所以當(dāng)0ax=a^x有三個(gè)解。

同時(shí)由以上討論可知：當(dāng) ;≤a<1時(shí)，方程log_ax=a^x僅有一個(gè)根，且這個(gè)根恰好在直線y=x上。

綜合以上討論，我們可以得到以下結(jié)論：

定理4：當(dāng)0ax=a^x有三個(gè)解

定理5：當(dāng) ;≤a<1時(shí)，方程log_ax=a^x僅有一個(gè)根，且這個(gè)根恰好在直線y=x上。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)是要了解數(shù)學(xué)背景，獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的獲得離不開實(shí)際操作，本文作者在使用幾何畫板作圖過程中，將指、對函數(shù)的底數(shù)同取a，逐步使指、對函數(shù)的底數(shù)發(fā)生變化，最后影響兩個(gè)函數(shù)圖象的變化，當(dāng)a由a>1逐漸縮小到a<1時(shí)，我們可以觀察到指、對函數(shù)沒有交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，再到一個(gè)交點(diǎn)的過程，讓a繼續(xù)縮小。大約a=0.01時(shí)?！捌孥E”出現(xiàn)了。指、對函數(shù)的圖象居然很清楚地出現(xiàn)了三個(gè)交點(diǎn)，故指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是可以有三個(gè)交點(diǎn)的.然后作者從理論上給出了這個(gè)問題較完整的證明，并給出了以下幾個(gè)定理：

定理1：當(dāng)a>e;時(shí)，方程log_ax=a^x無解。

定理2：當(dāng)a=e ?時(shí)，方程log_ax=a^x有一解，此時(shí)曲線y=a^x與曲線y=log_ax均與直線y=x相切。

定理3：當(dāng)1ax=a^x有兩個(gè)解，分別在區(qū)間（0，-log_alna）和區(qū)間（-log_alna，+∞）上。

定理4：當(dāng)0ax=a^x有三個(gè)解

定理5：當(dāng) ;≤a<1時(shí)，方程log_ax=a^x僅有一個(gè)根，且這個(gè)根恰好在直線y=x上。

從整個(gè)過程來看，充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)，可以在運(yùn)動過程中了解圖像之間的關(guān)系和變化規(guī)律，可以使人更直觀的看到原先想像不到的結(jié)果，并以此指導(dǎo)正確的數(shù)學(xué)思維。這對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益。

同時(shí)，對于方程log_ax=a^x的解的個(gè)數(shù)，是否還有多于三個(gè)解的情況呢？從圖像上看，似乎這并不成立，但本文并沒有給出好的證明。

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