兩類極小譜任意符號模式矩陣

胡傳峰，姬秀

(湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃石 453003)

元素取自集合{+，-，0}的矩陣稱為符號模式矩陣，簡稱符號模式.若A=[aij]是一個實矩陣，則把由aij的符號為元素所組成的矩陣稱為A的符號模式，記為sgnA.對一個n階符號模式A，A的定性矩陣類定義為Q(A)={B|B為n階實矩陣，且sgnB=A}.

n階符號模式A，如果對任意n次首1實系數(shù)多項式r(x)，在符號模式A的定性矩陣類Q(A)中存在一個矩陣B，使得B的特征多項式fB(x)=r(x)，則稱A是譜任意的.顯然，如果A是譜任意的，那么它一定蘊含冪零.如果譜任意符號模式A的任意一個真子模式都不是譜任意的，則稱A為極小譜任意的.

對一個n階符號模式A，若任一矩陣B∈Q(A)是非奇異的，則A是符號非奇異的；若每一個矩陣B∈Q(A)是奇異的，則A是符號奇異的.

2000年Drew等人在[1]提出譜任意符號模式的概念，并根據(jù)隱函數(shù)存在定理給出了一種證明符號模式是譜任意的Nilpotent-Jacobian方法(下節(jié)引理1)，其后[2-5]等分別給出了一些n階的極小譜任意模式.本文給出了兩類含有2n+1個非零元的n階(n≥6)符號模式是極小譜任意模式.

1 預(yù)備知識

第一類n階(n≥6)符號模式

其中αi，βj∈{+，-}，i=1，2，…，n-1，j=1，2.

設(shè)B∈Q(A)，由于相似矩陣有相同的特征多項式，不妨設(shè)B有如下的形式：

其中sgn(ai)=αi，sgn(bj)=βj，i=1，2，…，n-1，j=1，2.

引理2設(shè)B∈Q(A)有形式(2.2)，其特征多項式為

fB(x)=xn+f1xn-1+f2xn-2+…+fn-1x+fn，則

(1)f1=-b1-1，

f2=-an-1b2-a1+b1，

f3=-an-1b2-a2+a1b1(當(dāng)n=6時，f3=an-1b1b2-an-2-a2+a1b1)，

fi=-ai-1+ai-2b1(i=4，5，…，n-4，n≥8)，

fn-3=-an-2-an-4+an-5b1(n≥7)，

fn-2=an-2+an-2b1-an-3+an-4b1，

fn-1=an-1an-2b2-an-2b1+an-3b1，

fn=-an-1b1-an-1an-2b1b2.

證明：(1)

將第i行的x倍加到第i+1行(i=1，2，…，n-1)，然后再按第n-2，n-3，n-4，…，5，4，3列依次展開，

+(an-1an-2b2-an-2b1+an-3b1)x+(-an-1-an-1an-2b1b2)

因此(1)成立

引理得證.

1.當(dāng)n為奇數(shù)時，下面給出具有(2.1)形式的A1，A2，A3三種符號模式，其中

(1)α1=+，αi=sgn(-1)i，(i=2，…，n-5)，αn-4=-，αn-3=+，αn-2=-，αn-1=+，β1=-，β2=-，記為A1，

(2)α1=-，αi=sgn(-1)i，(i=2，…，n-5)，αn-4=+，αn-3=-，αn-2=-，αn-1=+，β1=-，β2=-，記為A2，

(3)α1=-，αi=sgn(-1)i，(i=2，…，n-5)，αn-4=-，αn-3=+，αn-2=+，αn-1=+，β1=-，β2=+，記為A3

引理3當(dāng)n為奇數(shù)時，符號模式A蘊含冪零當(dāng)且僅當(dāng)A是A1，A2，A3三個符號模式之一.

證明 必要性 因為符號模式A蘊含冪零，則一定存在實矩陣B∈Q(A)是冪零的.不妨設(shè)B型如(2.2)，在引理2中，令f1=f2=…=fn=0.

充分性.設(shè)實矩陣B∈Q(A)有(2.2)形式.

(3)若a1=-2，ai=(-1)i，(i=2，…，n-5)，an-4=-2，an-3=2，an-2=1，an-1=1，b1=-1，b2=1 則B∈Q(A3) 是冪零的且Jn=1≠0.

2.當(dāng)n是偶數(shù)時，下面給出具有(2.1)形式的B1，B2，B3三種符號模式，其中

(1)α1=+，αi=sgn(-1)i，(i=2，…，n-5)，αn-4=+，αn-3=-，αn-2=+，αn-1=-，β1=-，β2=+，記為B1，

(2)α1=-，αi=sgn(-1)i，(i=2，…，n-5)，αn-4=-，αn-3=+，αn-2=+，αn-1=-，β1=-，β2=+，記為B2，

(3)α1=-，αi=sgn(-1)i，(i=2，…，n-5)，αn-4=+，αn-3=-，αn-2=-，αn-1=-，β1=-，β2=+，記為B3.類似地可以證明以下引理

引理4當(dāng)n是偶數(shù)時，符號模式A及其母模式是譜任意符號的當(dāng)且僅當(dāng)A是B1，B2，B3三種符號模式矩陣之一.

第二類n階(n≥6)符號模式(將符號模式A中的(n，n)負元用正元替代所得)

其中αi，βj∈{+，-}，i=1，2，…，n-1，j=1，2

設(shè)實矩陣D∈Q(C)，由于相似矩陣有相同的特征多項式，不妨設(shè)D有如下的形式：

其中sgn(ci)=αi，sgn(dj)=βj，i=1，2，…，n-1，j=1，2

引理5設(shè)D∈Q(C)有形式(2.2)，其特征多項式為

fD(x)=xn+f1xn-1+f2xn-2+…+fn-1x+fn，則

(1)f1=-d1+1，f2=-cn-1d2-c1-d1，f3=cn-1d1d2-c2+c1d1(當(dāng)n=6時，f3=cn-1d1d2-cn-2-c2+c1d1)，

fi=-ci-1+ci-2d1(i=4，5，…，n-4，n≥8)，fn-3=-cn-2-cn-4+cn-5d1(n≥7)，

fn-2=-cn-2+cn-2d1-cn-3+cn-4d1，fn-1=cn-1cn-2d2+cn-2d1+cn-3d1，fn=-cn-1-cn-1cn-2d1d2，

證明 仿照引理2證明方法，易得(1)，(2)結(jié)果.

下面給出具有(2.2)形式的C1，C2，C3三種符號模式，其中

(1)α1=+，αi=-，(i=2，…，n-5)，αn-4=-，αn-3=-，αn-2=-，αn-1=+，β1=+，β2=-，記為C1

(2)α1=-，αi=-，(i=2，…，n-5)，αn-4=+，αn-3=+，αn-2=-，αn-1=+，β1=+，β2=+，記為C2，

(3)α1=-，αi=-，(i=2，…，n-5)，αn-4=-，αn-3=-，αn-2=+，αn-1=-，β1=+，β2=+，記為C3.

引理6符號模式C及其母模式是譜任意的當(dāng)且僅當(dāng)C是C1，C2，C3三個符號模式矩陣之一.

證明 仿照引理3證明方法，易證得.

引理7[2]設(shè)n階符號模式A，當(dāng)n≥2時，如果A是不可約的，則A中至少有2n+1個非零元.

2 主要結(jié)果

定理1若n階符號模式A有形式(2.1)(n≥6)，則A是極小譜任意的.

證明 設(shè)T=[tij]是符號模式A的一個子模式，且T是譜任意的，則：

(1)t1，1=0 或tn，n=0，T的跡恒為正或負，則T不是譜任的.

(2)ti，i+1(i=2，…，n-3)和tn，1中的任意一個為零，T是符號奇異的，則T不是譜任意的.

(3)t1，2，tn-1，n，tn-2，n-1和t1，n中的任意一個為零，T是符號非奇異，則T不是譜任意的.

(4)因為T是譜任意的，則必存在實矩陣B∈Q(T)是冪零的.

設(shè)B有形式(2.2)，由引理2，f1=f2=…=fn=0，得

由以上式子，不難得到以下結(jié)果：

(a)顯然ai≠0，(i=2，3，…，n-5)，

(b)若a1=0， 則an-3和an-4都為零，與引理7矛盾，

(c)由于a1≠0和an-1≠0，所有an-2，an-3，an-4也都不可能為零.

綜合上述討論知，T=A，即A沒有一個真子模式是譜任意的，故A是極小譜任意的.

定理得證.

類似地可以證明以下定理.

定理2若n階符號模式C有形式(2.3)(n≥6)，則C是極小譜任意符號模式.