一類具有密度制約的時滯捕食與被捕食系統(tǒng)解的穩(wěn)定性分析

方輝平

（黃山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 黃山 245041）

1 引 言

生物數(shù)學(xué)主要思想是運(yùn)用數(shù)學(xué)理論和方法研究生態(tài)學(xué)中生物種群之間的關(guān)系和數(shù)量變化, 生態(tài)系統(tǒng)種群動力學(xué)的穩(wěn)定性是人們關(guān)注的熱點(diǎn)問題，文獻(xiàn)[1]研究了具有IV 類功能反應(yīng)函數(shù)的捕食與被捕食系統(tǒng)解的情況。而滯后效應(yīng)是生態(tài)系統(tǒng)中普遍存在的，是指系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)依賴于過去某一個時間的狀態(tài)，能更加準(zhǔn)確地描述客觀現(xiàn)象，因此考慮時滯因素對系統(tǒng)的影響，具有很強(qiáng)的理論和實際意義，近些年研究具有時滯項的捕食與被捕食模型越來越多[2-5]。

Freedom和Yao在1983年提出了著名的經(jīng)典模型

這里c,s,和m均為正常數(shù)，其中 0 ＜m≤1，x(t)和y(t)分別表示t時刻被捕食者和捕食者的數(shù)量。Freedom和Yao對該模型進(jìn)行了比較系統(tǒng)的分析，提出了在孕育期種群間相互干擾和時滯對種群的影響。由于種群是相互干擾，因此捕食者在捕獲食餌后，需要一定的時間才能轉(zhuǎn)化繁殖下一代的數(shù)量。然而，年幼的捕食者需要一定的生長時間才能具有捕食能力。為了更加準(zhǔn)確描述兩種群之間的增長關(guān)系，因此本文考慮兩個種群對對方種群數(shù)量變化均具有時滯效應(yīng)的模型。

由于雙時滯會給系統(tǒng)帶來豐富的動力學(xué)行為，也可能使得解及其穩(wěn)定性發(fā)生根本性變化，因此本文主要研究具有相同時滯的捕食與被捕食模型。

對于模型（3）,假設(shè)

1.食餌初始量為正的，受環(huán)境影響具有密度制約，即f(0)＞0,f′(x)≤0 ，則存在一個常數(shù)K＞0 使得(x-K)f(x)＜0，該常數(shù)稱為環(huán)境最大容納量；

2.單個捕食者的捕獲數(shù)隨著食餌的增加而增加，即p(0)=0,p′(x)＞0 ；隨著捕食者數(shù)量的增加，相互擠占空間和競爭捕食越激烈，增長率會降低，即q(0)=0,q′(y)≥ 0 。

2 基本知識

2.1 線性近似系統(tǒng)及其特征方程

通過計算得到系統(tǒng)（4）的特征方程為

假設(shè)該特征方程有純虛根λ=iω，代入得到

得到關(guān)于ω的四次方程

2.2 零解穩(wěn)定性判定理論

一階常系數(shù)線性微分方程組和二階常微分方程可以相互轉(zhuǎn)化，因此零解的穩(wěn)定性保持一致。本文利用Y.Kuang的研究理論分析模型（3）的穩(wěn)定性。

引理1[6]對于二階時滯微分方程

的特征方程是

假設(shè) |α|＜1,c+d≠0,a2+b2+(d-αc)2≠0 ，那么特征方程具有正虛部的不同虛根的個數(shù)只可能為0，1，2。

3 主要結(jié)果

定理1：假設(shè)|AD|＞-BC，則

1.如果AD＜BC＜ 0,對任意的≥0，E(x*,y*)不穩(wěn)定；

2.如果AD＞ -BC＞0,對任意的≥0 ，E(x*,y*)漸近穩(wěn)定。

證明：此時（7）式右端小于零，故ω?zé)o解。假設(shè)TrJ=A+D,DetJ=AD-BC，當(dāng)=0 時，特征方程（5）化為

1.AD＜BC＜0 ，則DetJ＜0 ，故 當(dāng)=0 時 ，E(x*,y*)是不穩(wěn)定的，由引理1即得當(dāng)＞0 時，E(x*,y*)也不穩(wěn)定；

2.如果AD＞-BC＞0,因為D＜0 ，所以A＜0 ，故TrJ＜0,DetJ＞0 ，則E(x*,y*)漸近穩(wěn)定，所以當(dāng)＞0時，E(x*,y*)也漸近穩(wěn)定。

定理2：假設(shè)|AD|＜-BC，則

1.如果A+D＞ 0,對任意的≥0，E(x*,y*)不穩(wěn)定；

2.如果A+D＜0,并且AD＜BC，對任意的≥0，E(x*,y*)不穩(wěn)定；如果A+D＜0,并且AD＞BC，對任意的0 ≤＜0+，E(x*,y*)漸近穩(wěn)定；對任意的＞0+，E(x*,y*)不穩(wěn)定；

3.如果A+D=0,對任意的≥0，E(x*,y*)不穩(wěn)定。

證明：此時（7）式只有ω2+＞0 ，即λ只有一個虛根的虛部為正數(shù)ω+。

2.如果A+D＜0 ，

若DetJ=AD-BC＜0 ，對任意的≥0，E(x*,y*)不穩(wěn)定。

若DetJ=AD-BC＞0 ，因TrJ=A+D＜0 ，所以當(dāng)=0 時，E(x*,y*)漸近穩(wěn)定，則由引理得當(dāng)0 ≤＜0+時，E(x*,y*)漸近穩(wěn)定；當(dāng)＞0+時，E(x*,y*)不穩(wěn)定。

3.如果A+D=0,

若AD＞BC，則DetJ＜0 ，對 任 意 的≥0 ，E(x*,y*)不穩(wěn)定；

若AD＞BC，則ω2±=AD-BC＞0 對 任意的≥0 ，此 時 Reλ=0 。 而即當(dāng)＞0時，λ的實部是正的，所以E(x*,y*)不穩(wěn)定。

定理3：假設(shè)|AD|=-BC，則

1.若AD=-BC，當(dāng)＞0 時，E(x*,y*)是穩(wěn)定的。

2.若AD=BC，記則當(dāng)＞*時，E(x*,y*)是不穩(wěn)定的。

2.記特征方程（5）的左邊為L（λ,）=λ2-（A+D）λ+AD-BCe-2λ，則L（0,）=AD-BC=0，

故分別存在一個正數(shù)和負(fù)數(shù)M1,M2，使得當(dāng)λ＞M1和λ＜M2時，有L（λ,）＞0 成立。

當(dāng)λ∈(0,δ1())時，L(λ,)＜0。由零點(diǎn)定理得至少存在一個λ*∈(δ1(),M1)，使得L(λ*,)=0，意味著特征方程（5）至少有一個正實根，則E(x*,y*)不穩(wěn)定。

4 小 結(jié)

泛函微分方程理論在捕食與被捕食系統(tǒng)研究中的應(yīng)用非常廣泛，特別是時滯參數(shù)的變化對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有很大的影響，利用解析法是研究零解一種非常重要的方法，但僅僅利用特征方程的根去分析有其局限性。例如定理3 第二種情形，當(dāng)＜*時，很難判定特征方程存在正實部的根或者全部根都具有負(fù)實部，因此零解的穩(wěn)定性難以判定。此外可以利用中心流行定理、幾何理論等成果研究周期解的存在性和穩(wěn)定性、Hopf分支等問題。