基于分解多目標進化的橢圓定日鏡場布局

鄧立寶， 吳怡然， 郭 蘇

(1.哈爾濱工業(yè)大學(威海) 信息科學與工程學院，山東 威海 264209； 2.河海大學 能源與電氣學院，江蘇 南京 210098)

0 引言

塔式太陽能發(fā)電是一種具有廣闊發(fā)展前景的新能源技術。在塔式系統(tǒng)中，定日鏡場成本約占總投資成本的40%～50%，其布局方式直接影響到整個鏡場的集熱效率，優(yōu)化定日鏡場布局十分必要。

目前對定日鏡場布局的研究多為單目標，優(yōu)化問題常見的目標函數(shù)有年均加權光學效率、平均能源成本等，然而單目標無法為決策者提供多而優(yōu)的選擇方案。Richter等[1]將發(fā)電量、密度分布、均勻性3個目標函數(shù)聚合轉化為單目標問題求解，然而這種方法要求決策者有足夠的先驗知識。張宏麗等[2]基于多目標遺傳算法將單位能量成本與投資成本作為多目標函數(shù)，得到了兩者之間的關系?？傮w來說，國內(nèi)外缺乏對定日鏡場布局的多目標優(yōu)化研究。

多目標進化算法(multi-objective evolutionary algorithm, MOEA)基于種群進化的并行性，每次迭代能求得一組 Pareto最優(yōu)解集。典型MOEA有非支配排序遺傳算法(NSGA-II)[3]、多目標粒子群算法(MOPSO)、改進的強度帕累托進化算法(SPEAII)[4]以及由張青富等[5]提出的基于分解的多目標進化算法(MOEA/D)。 MOEA/D收斂速度快，解集分布性好，被廣泛應用到工程實際中[6]。近年來許多學者提出了對MOEA/D的改進算法，主要有：1)改進權重生成策略；2)改進子問題分解方法；3)采用效率更高的計算資源分配方法；4)采用不同的進化繁殖策略。

筆者在MOEA/D基礎上對種群初始化、變異交叉因子以及歸一化目標函數(shù)進行改進，并建立橢圓形定日鏡場優(yōu)化模型，提出了基于改進的MOEA/D多目標定日鏡場布局優(yōu)化算法。實驗表明，改進的MOEA/D在定日鏡場布局問題上表現(xiàn)明顯優(yōu)于NSGA-II算法和基本MOEA/D算法。

1 建立定日鏡場模型

1.1 定日鏡場初始布局

ΔRmin=DMcos 30°-h≈DMcos 30°=

(1)

圖1 徑向交錯布局Figure 1 Diagram of radial staggered configuration

第一排定日鏡的半徑R1與塔高Ht的比值通常為0.75。R1確定后，由式(2)可得第一排相鄰定日鏡的角間距Δαz1，根據(jù)式(3)可得區(qū)域一每排定日鏡的數(shù)量Nhel1。

Δαz1=2arcsin[DM/(2R1)]≈DM/R1；

(2)

Nhel1=2π/Δαz1=2πR1/DM。

(3)

同一排相鄰定日鏡的方位間距隨每排半徑的增加而增加，當兩定日鏡間可再放一臺新的定日鏡時，一個區(qū)域布置完成，開始排布下一個新的區(qū)域，因此，第二、第三個區(qū)域第一排相鄰定日鏡的方位角間距分別為：

Δαz2=Δαz1/2≈DM/R2?

R2≈2(DM/Δαz1)=2R1；

(4)

Δαz3=Δαz1/4≈DM/R3?

R3≈4(DM/Δαz1)=4R1。

(5)

每個區(qū)域的定日鏡排數(shù)分別為：

Nrows1=(R2-R1)/ΔRmin≈round(R1/ΔRmin)；

(6)

Nrows2=(R3-R2)/ΔRmin=2·R1/ΔRmin；

(7)

Nrows3=(R4-R3)/ΔRmin=4·R1/ΔRmin。

(8)

本實驗主要算例參數(shù):塔高120 m，第一排半徑為87.5 m，第一區(qū)域共6排，每排放置35臺定日鏡；第二區(qū)域共12排，每排70面定日鏡；第三區(qū)域共25排，每排140面定日鏡。一共4 550臺定日鏡，最大半徑676 m，占地面積為1.435 6×106m2。為了證明所提方法在小型鏡場中同樣有效，補充算例二：塔高80 m，第一排半徑60 m, 第一區(qū)域4排，每排24面定日鏡；第二區(qū)域8排，每排48面定日鏡；第三區(qū)域16排，每排96面定日鏡。一共2 016面定日鏡，最大半徑為444 m,占地面積為6.193 21×105m2。

1.2 定日鏡場光學效率模型

任意時刻每一面定日鏡的光學效率為：

ηopt=ηcosηatmηrefηintηs&b，

(9)

式中：ηcos為余弦效率，即入射光線與鏡面法線夾角的余弦值;ηatm為大氣衰減效率，由大氣散射與吸收引起，采用Biggs等[8]提出的公式計算；ηref為鏡面反射率，由定日鏡本身材料結構決定；ηint為攔截效率，是接收器接收到的太陽輻射與定日鏡反射太陽輻射的比值，與定日鏡跟蹤誤差、太陽形狀誤差、像散誤差等有關，計算方法參見文獻[9]；ηs&b為陰影遮擋效率，采用Sassi[10]提出的幾何投影法來計算。

定日鏡場年均綜合光學效率計算公式如下：

(10)

式中：ts、tr分別為日落和日出時間。

定日鏡場占地面積計算公式如下：

Sarea=π×amax×bmax，

(11)

式中：amax、bmax分別代表定日鏡場最外圈橢圓的長軸和短軸的長度。

1.3 多目標橢圓定日鏡場優(yōu)化模型

在北半球，接收塔北面的定日鏡余弦效率更高而陰影遮擋損失嚴重；太陽高度角比較小的時候，靠近東西軸方向的定日鏡陰影遮擋損失更嚴重。為了提高布局的靈活性，筆者提出橢圓形定日鏡場布局, 每一圈定日鏡在x、y軸方向的增量為：

(12)

式中:xaj,xbj∈[0,3DM]。

圓形是橢圓形布局的一種特例，橢圓布局能夠讓每一面定日鏡更有可能排布在其光學效率最優(yōu)的位置。多目標定日鏡場布局優(yōu)化模型為：

minF=(f1,f2)，

(13)

式中：

f1=Sarea=πamaxbmax；

(14)

(15)

2 基于分解的多目標進化算法

2.1 MOEA/D

基于分解的多目標進化算法MOEA/D 根據(jù)一組預先生成的均勻權重向量將多目標問題分解為一系列單目標子問題，每個子問題的最優(yōu)解對應于Pareto前沿面上的一個解。這些單目標子問題充分利用鄰域子問題當前解提供的信息，用基于種群的進化算法共同迭代進化。

分解方法是MOEA/D的核心部分，有權重聚合法、切比雪夫加權法、基于懲罰的邊界交叉法[5]。其中，切比雪夫加權法既能處理Pareto面為凸形又能解決其為凹形的問題。采用該方法，每個待優(yōu)化的子問題可以表示為如下形式：

(16)

2.2 改進的MOEA/D

2.2.1 初始種群生成策略的改進

佳點集法[11]：初始種群的質量對遺傳算法的全局收斂性和算法的搜索效率有直接影響。用基于佳點集理論的取點法代替隨機法可以使個體在解空間中更加可靠地均勻分布，提高算法穩(wěn)定性。

在t維空間取佳點的方法如下:

Pn(k)={({r1·k},…,{ri·k},…,{rt·k}),

k=1,2,…,m}，

(17)

(18)

式中:1≤i≤t,1≤k≤m,t是空間的維數(shù)，m是取點數(shù)。

用以上兩種方法在一個單位二維空間取400個點。如圖2所示,隨機法生成的點分布比較雜亂，密度不均勻，并且會出現(xiàn)多點重合的現(xiàn)象，而用佳點集法沒有以上問題。

圖2 初始種群生成策略比較Figure 2 Comparison between two initial population generation strategies

2.2.2 目標函數(shù)值穩(wěn)定歸一化

實際問題的目標函數(shù)一般有不同的量綱， 其目標值也在不同的數(shù)量級上。本例中，若采用未歸一化的MOEA/D算法，將總是向最小化占地面積方向進化，僅能得到邊界幾個Pareto解。為了解決這一問題，現(xiàn)有研究常采用動態(tài)更新參考點的方法，即用每一次迭代得到的目標函數(shù)最大值和最小值對目標函數(shù)歸一化。然而這一方法使原目標函數(shù)動態(tài)變化，算法進化不穩(wěn)定。

針對定日鏡場布局這一具體問題，通過第一部分的分析可知：鏡場在最密布局時，占地面積最小(算例一：1.435 6×106m2，算例二：6.193 21×105m2)，綜合光學效率最低(算例一：0.454 8，算例二：0.464 7)。采用簡單單目標優(yōu)化算法得到最高光學效率,具體過程不再贅述，得到最大效率值(算例一：0.547 7，算例二：0.589 7)，此時占地面積算例一：4.599 4×106m2，算例二：2.435 6×106m2。 Pareto前沿各目標函數(shù)最小值、最大值為(下式為算例一，算例二類似)：

(19)

目標函數(shù)穩(wěn)定歸一化表示為：

(20)

2.2.3 動態(tài)交叉因子

(21)

(22)

式中:γ為遺傳交叉分布指數(shù)，當γ值較大時，生成的子代離父代較近，反之離父代較遠。在進化初始階段，應采用較小的交叉分布指數(shù)，提高種群多樣性；在進化后期，應縮小搜索范圍，加快收斂速度。基于此思想，筆者采用動態(tài)的交叉分布指數(shù)，γ由當前代數(shù)決定。計算公式如下：

γ=γo+ξ·normrnd(μ,σ)，

(23)

式中：初始值γo為2；高斯隨機函數(shù)的均值μ=1；方差σ=1；ξ是用來控制隨機擾動幅度的步長，用S型對數(shù)函數(shù)確定,

(24)

式中：T為最大迭代次數(shù);t為當前代數(shù);k用來控制變化速率，此處取k=20。

2.3 基于MOEA/D-HFL多目標鏡場布局算法

步驟1初始化。

(1)設置EP=?。初始化迭代次數(shù)Gen=0。采用上文2.2.2部分介紹的方法設置參考點。

(2)初始化權重向量。計算權重向量之間的歐幾里得距離，距離權重向量i最近的T個權重的索引集記為：B(i)=[i1,…,iT]，則λi1,…,λiT對應為λi的T個相鄰權重向量。

(3)生成初始種群。在決策空間利用佳點集生成一個初始種群Pop1，采用反向學習策略生成它的反向種群Pop2，選取適應度好的個體組成算法的初始種群。

步驟2遺傳進化。從B(i)中隨機選取r1,r2，且r1≠r2≠i。根據(jù)式(21)、(22)進行模擬二進制交叉，其中交叉分布指數(shù)由式(23)、(24)確定。接著進行多項式變異。對變異生成的個體進行范圍修正。

步驟3更新鄰域子問題的解，更新外部存檔集。

步驟4判斷迭代停止條件。

步驟5輸出結果，輸出目標值和對應Pareto最優(yōu)解集,并采用模糊隸屬度函數(shù)得到最優(yōu)折中解。

3 實驗

為驗證提出算法的有效性，對兩種不同規(guī)模的定日鏡場進行多目標優(yōu)化布局。同時，將所述算法得到的結果與基本MOEA/D以及NSGA-II算法得到的結果進行比較。本實驗基于多目標進化PlatEMO平臺[13]。

3.1 定日鏡場及算法參數(shù)設置

定日鏡場具體參數(shù)見表1。算法種群大小均為N=100;最大迭代次數(shù)為Gmax=300;MOEA/D鄰域大小T=20; 遺傳算法各控制參數(shù)已在上文指出。其中，基本MOEA/D和NSGA-II的固定遺傳交叉分布指數(shù)為20，參見文獻[3，5]。每個算法獨立運行10次。

表1 定日鏡場參數(shù)Table 1 Parameters of the heliostat field

3.2 算法評價指標HV

Hypervolume(HV)超體積指標由解集中的個體與參考點在目標空間中所圍成的超立方體的體積計算得到。用HV可以綜合評價解集的收斂性與分布性，HV值越大,說明算法的綜合性能越好。

(25)

式中：λ代表勒貝格測度;υi代表參考點和非支配個體構成的超體積;S代表非支配集。

3.3 模糊隸屬度函數(shù)

獲得Pareto解集后，引入模糊隸屬度函數(shù)表示各個目標的滿意度，模糊隸屬度函數(shù)定義如下：

(26)

對于每個解，用下式求其標準化滿意度值：

(27)

式中：M為Pareto解集中解的個數(shù)；Nobj為目標函數(shù)個數(shù)。標準化滿意度最大的解就是最優(yōu)折中解。

3.4 實驗結果與分析

算例一：圖3～5分別是3種算法得到的最接近平均HV時的Pareto前沿圖。紅色星號代表最優(yōu)折中解。從橫縱坐標所在的范圍看，NSGA-II和基本MOEA/D的Pareto前沿局限于較窄的區(qū)域，說明這兩種算法容易陷入局部最優(yōu)，而MOEA/D-HFL得到的Pareto前沿分布更廣，解集兩端的開發(fā)性更好，能提供更多且更高質量的方案。 MOEA/D算法得到的Pareto前沿均比NSGA-II得到的前沿分布更加均勻。

圖3 算法NSGA-II所得Pareto前沿Figure 3 Pareto front obtained from NSGA-II algorithm

圖4 基本MOEA/D算法所得Pareto前沿Figure 4 Pareto front obtained from basic MOEA/D algorithm

圖5 算法MOEA/D-HFL所得Pareto前沿Figure 5 Pareto front obtained from MOEA/D-HFL algorithm

表2列出了3種算法得到的極端解和最優(yōu)折中解對應的目標函數(shù)值。對比可知，在極端解方面，MOEA/D-HFL得到的最大光學效率和最小占地面積均優(yōu)于另兩種算法,其最大光學效率為0.546 1，最小占地面積為1.523×106m2。在最優(yōu)折中解方面，MOEA/D-HFL得到的最優(yōu)折中解光學效率最高，為0.527 4，而占地面積略大于基本MOEA/D。NSGA-II得到的折中解占地面積最大， MOEA/D所得光學效率最低。綜合比較，MOEA/D-HFL得到的極端解和最優(yōu)折中解質量最好。圖6是由MOEA/D-HFL最優(yōu)折中解得到的定日鏡場布局圖。

表2 試驗結果(算例一)Table 2 Experimental results (case 1)

圖7為算法在進化過程中HV值變化曲線。NSGA-II在算法搜索前期收斂速度較快，但是后期陷入局部最優(yōu)，最后得到的HV明顯低于MOEA/D-HFL；MOEA/D在收斂速度和解集質量方面均不理想；而MOEA/D-HFL最終能夠獲得最高的HV。

表3列出了3種算法獨立運行10次得到的HV平均值和標準差。對比可知，MOEA/D-HFL的HV平均值最大，標準差最小，說明其Pareto前沿的收斂性和分布性最好，且算法穩(wěn)定性最佳。基于佳點集和反向學習的初始種群生成策略使得MOEA/D-HFL具有較高的搜索精確度和穩(wěn)定性，目標函數(shù)值穩(wěn)定歸一化使其具有更高的魯棒性，交叉分布參數(shù)的動態(tài)變化使得進化搜索過程更加高效。 NSGA-II和基本MOEA/D不能獲得理想的Pareto前沿，容易陷入局部最優(yōu)，且參考點動態(tài)變化使MOEA/D聚合優(yōu)化函數(shù)動態(tài)變化，算法不穩(wěn)定。

表3 3種算法在多目標定日鏡場布局優(yōu)化問題上的HV平均值和標準差(算例一)Table 3 Average and standard deviation of the HV by the three algorithms on multi-objective heliostat field layout optimization (case 1)

算例二：表4為算例二中3種算法得到的極端解和最優(yōu)折中解對應的目標函數(shù)值。對比可知，在極端解方面，MOEA/D-HFL得到的最大光學效率和最小占地面積值均優(yōu)于另外兩種算法,其最大光學效率值為0.587 4，最小占地面積為6.363×105m2。在最優(yōu)折中解方面，MOEA/D-HFL得到的光學效率最高，為0.562 6。 表5列出了3種算法的HV平均值和標準差，對比可知，MOEA/D-HFL的HV平均值最大，標準差最小，因此可以證明該算法具有更好的收斂性、分布性以及穩(wěn)定性。

表4 試驗結果(算例二)Table 4 Experimental results (case 2)

表5 3種算法在多目標定日鏡場布局優(yōu)化問題上的HV平均值和標準差(算例二)Table 5 Average and standard deviation of the HV by the three algorithms on multi-objective heliostat field layout optimization (case 2)

綜合對比考慮，與NSGA-II和基本MOEA/D相比， 筆者提出的MOEA/D-HFL能夠獲得分布性和均勻性更好的Pareto前沿，且極端解和最優(yōu)折中解質量更好，能給決策者提供很好的方案。

4 結論

以定日鏡場年均綜合光學效率和鏡場占地面積為雙重優(yōu)化目標，建立了定日鏡場橢圓布局多目標優(yōu)化模型。在求解算法上提出了MOEA/D-HFL算法，該算法采用基于佳點集和反向學習的初始種群生成策略提高初始種群的質量和穩(wěn)定性；采用穩(wěn)定的目標函數(shù)值歸一化方法，并且引入交叉分布指數(shù)動態(tài)變化機制，使得算法更加高效。對比實驗結果表明，MOEA/D-HFL求得的Pareto前沿面具有更好的分布性和均勻性，更加接近真實Pareto前沿，能獲得更高質量的極端解和折中解，為定日鏡場布局問題提供了良好的解決方案。