基于分解多目標(biāo)進(jìn)化的橢圓定日鏡場(chǎng)布局

鄧立寶， 吳怡然， 郭 蘇

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 威海 264209； 2.河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇 南京 210098)

0 引言

塔式太陽(yáng)能發(fā)電是一種具有廣闊發(fā)展前景的新能源技術(shù)。在塔式系統(tǒng)中，定日鏡場(chǎng)成本約占總投資成本的40%～50%，其布局方式直接影響到整個(gè)鏡場(chǎng)的集熱效率，優(yōu)化定日鏡場(chǎng)布局十分必要。

目前對(duì)定日鏡場(chǎng)布局的研究多為單目標(biāo)，優(yōu)化問(wèn)題常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)有年均加權(quán)光學(xué)效率、平均能源成本等，然而單目標(biāo)無(wú)法為決策者提供多而優(yōu)的選擇方案。Richter等[1]將發(fā)電量、密度分布、均勻性3個(gè)目標(biāo)函數(shù)聚合轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題求解，然而這種方法要求決策者有足夠的先驗(yàn)知識(shí)。張宏麗等[2]基于多目標(biāo)遺傳算法將單位能量成本與投資成本作為多目標(biāo)函數(shù)，得到了兩者之間的關(guān)系?？傮w來(lái)說(shuō)，國(guó)內(nèi)外缺乏對(duì)定日鏡場(chǎng)布局的多目標(biāo)優(yōu)化研究。

多目標(biāo)進(jìn)化算法(multi-objective evolutionary algorithm, MOEA)基于種群進(jìn)化的并行性，每次迭代能求得一組 Pareto最優(yōu)解集。典型MOEA有非支配排序遺傳算法(NSGA-II)[3]、多目標(biāo)粒子群算法(MOPSO)、改進(jìn)的強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法(SPEAII)[4]以及由張青富等[5]提出的基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEA/D)。 MOEA/D收斂速度快，解集分布性好，被廣泛應(yīng)用到工程實(shí)際中[6]。近年來(lái)許多學(xué)者提出了對(duì)MOEA/D的改進(jìn)算法，主要有：1)改進(jìn)權(quán)重生成策略；2)改進(jìn)子問(wèn)題分解方法；3)采用效率更高的計(jì)算資源分配方法；4)采用不同的進(jìn)化繁殖策略。

筆者在MOEA/D基礎(chǔ)上對(duì)種群初始化、變異交叉因子以及歸一化目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，并建立橢圓形定日鏡場(chǎng)優(yōu)化模型，提出了基于改進(jìn)的MOEA/D多目標(biāo)定日鏡場(chǎng)布局優(yōu)化算法。實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)的MOEA/D在定日鏡場(chǎng)布局問(wèn)題上表現(xiàn)明顯優(yōu)于NSGA-II算法和基本MOEA/D算法。

1 建立定日鏡場(chǎng)模型

1.1 定日鏡場(chǎng)初始布局

ΔRmin=DMcos 30°-h≈DMcos 30°=

(1)

圖1 徑向交錯(cuò)布局Figure 1 Diagram of radial staggered configuration

第一排定日鏡的半徑R1與塔高Ht的比值通常為0.75。R1確定后，由式(2)可得第一排相鄰定日鏡的角間距Δαz1，根據(jù)式(3)可得區(qū)域一每排定日鏡的數(shù)量Nhel1。

Δαz1=2arcsin[DM/(2R1)]≈DM/R1；

(2)

Nhel1=2π/Δαz1=2πR1/DM。

(3)

同一排相鄰定日鏡的方位間距隨每排半徑的增加而增加，當(dāng)兩定日鏡間可再放一臺(tái)新的定日鏡時(shí)，一個(gè)區(qū)域布置完成，開(kāi)始排布下一個(gè)新的區(qū)域，因此，第二、第三個(gè)區(qū)域第一排相鄰定日鏡的方位角間距分別為：

Δαz2=Δαz1/2≈DM/R2?

R2≈2(DM/Δαz1)=2R1；

(4)

Δαz3=Δαz1/4≈DM/R3?

R3≈4(DM/Δαz1)=4R1。

(5)

每個(gè)區(qū)域的定日鏡排數(shù)分別為：

Nrows1=(R2-R1)/ΔRmin≈round(R1/ΔRmin)；

(6)

Nrows2=(R3-R2)/ΔRmin=2·R1/ΔRmin；

(7)

Nrows3=(R4-R3)/ΔRmin=4·R1/ΔRmin。

(8)

本實(shí)驗(yàn)主要算例參數(shù):塔高120 m，第一排半徑為87.5 m，第一區(qū)域共6排，每排放置35臺(tái)定日鏡；第二區(qū)域共12排，每排70面定日鏡；第三區(qū)域共25排，每排140面定日鏡。一共4 550臺(tái)定日鏡，最大半徑676 m，占地面積為1.435 6×106m2。為了證明所提方法在小型鏡場(chǎng)中同樣有效，補(bǔ)充算例二：塔高80 m，第一排半徑60 m, 第一區(qū)域4排，每排24面定日鏡；第二區(qū)域8排，每排48面定日鏡；第三區(qū)域16排，每排96面定日鏡。一共2 016面定日鏡，最大半徑為444 m,占地面積為6.193 21×105m2。

1.2 定日鏡場(chǎng)光學(xué)效率模型

任意時(shí)刻每一面定日鏡的光學(xué)效率為：

ηopt=ηcosηatmηrefηintηs&b，

(9)

式中：ηcos為余弦效率，即入射光線(xiàn)與鏡面法線(xiàn)夾角的余弦值;ηatm為大氣衰減效率，由大氣散射與吸收引起，采用Biggs等[8]提出的公式計(jì)算；ηref為鏡面反射率，由定日鏡本身材料結(jié)構(gòu)決定；ηint為攔截效率，是接收器接收到的太陽(yáng)輻射與定日鏡反射太陽(yáng)輻射的比值，與定日鏡跟蹤誤差、太陽(yáng)形狀誤差、像散誤差等有關(guān)，計(jì)算方法參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]；ηs&b為陰影遮擋效率，采用Sassi[10]提出的幾何投影法來(lái)計(jì)算。

定日鏡場(chǎng)年均綜合光學(xué)效率計(jì)算公式如下：

(10)

式中：ts、tr分別為日落和日出時(shí)間。

定日鏡場(chǎng)占地面積計(jì)算公式如下：

Sarea=π×amax×bmax，

(11)

式中：amax、bmax分別代表定日鏡場(chǎng)最外圈橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度。

1.3 多目標(biāo)橢圓定日鏡場(chǎng)優(yōu)化模型

在北半球，接收塔北面的定日鏡余弦效率更高而陰影遮擋損失嚴(yán)重；太陽(yáng)高度角比較小的時(shí)候，靠近東西軸方向的定日鏡陰影遮擋損失更嚴(yán)重。為了提高布局的靈活性，筆者提出橢圓形定日鏡場(chǎng)布局, 每一圈定日鏡在x、y軸方向的增量為：

(12)

式中:xaj,xbj∈[0,3DM]。

圓形是橢圓形布局的一種特例，橢圓布局能夠讓每一面定日鏡更有可能排布在其光學(xué)效率最優(yōu)的位置。多目標(biāo)定日鏡場(chǎng)布局優(yōu)化模型為：

minF=(f1,f2)，

(13)

式中：

f1=Sarea=πamaxbmax；

(14)

(15)

2 基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法

2.1 MOEA/D

基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法MOEA/D 根據(jù)一組預(yù)先生成的均勻權(quán)重向量將多目標(biāo)問(wèn)題分解為一系列單目標(biāo)子問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)于Pareto前沿面上的一個(gè)解。這些單目標(biāo)子問(wèn)題充分利用鄰域子問(wèn)題當(dāng)前解提供的信息，用基于種群的進(jìn)化算法共同迭代進(jìn)化。

分解方法是MOEA/D的核心部分，有權(quán)重聚合法、切比雪夫加權(quán)法、基于懲罰的邊界交叉法[5]。其中，切比雪夫加權(quán)法既能處理Pareto面為凸形又能解決其為凹形的問(wèn)題。采用該方法，每個(gè)待優(yōu)化的子問(wèn)題可以表示為如下形式：

(16)

2.2 改進(jìn)的MOEA/D

2.2.1 初始種群生成策略的改進(jìn)

佳點(diǎn)集法[11]：初始種群的質(zhì)量對(duì)遺傳算法的全局收斂性和算法的搜索效率有直接影響。用基于佳點(diǎn)集理論的取點(diǎn)法代替隨機(jī)法可以使個(gè)體在解空間中更加可靠地均勻分布，提高算法穩(wěn)定性。

在t維空間取佳點(diǎn)的方法如下:

Pn(k)={({r1·k},…,{ri·k},…,{rt·k}),

k=1,2,…,m}，

(17)

(18)

式中:1≤i≤t,1≤k≤m,t是空間的維數(shù)，m是取點(diǎn)數(shù)。

用以上兩種方法在一個(gè)單位二維空間取400個(gè)點(diǎn)。如圖2所示,隨機(jī)法生成的點(diǎn)分布比較雜亂，密度不均勻，并且會(huì)出現(xiàn)多點(diǎn)重合的現(xiàn)象，而用佳點(diǎn)集法沒(méi)有以上問(wèn)題。

圖2 初始種群生成策略比較Figure 2 Comparison between two initial population generation strategies

2.2.2 目標(biāo)函數(shù)值穩(wěn)定歸一化

實(shí)際問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)一般有不同的量綱， 其目標(biāo)值也在不同的數(shù)量級(jí)上。本例中，若采用未歸一化的MOEA/D算法，將總是向最小化占地面積方向進(jìn)化，僅能得到邊界幾個(gè)Pareto解。為了解決這一問(wèn)題，現(xiàn)有研究常采用動(dòng)態(tài)更新參考點(diǎn)的方法，即用每一次迭代得到的目標(biāo)函數(shù)最大值和最小值對(duì)目標(biāo)函數(shù)歸一化。然而這一方法使原目標(biāo)函數(shù)動(dòng)態(tài)變化，算法進(jìn)化不穩(wěn)定。

針對(duì)定日鏡場(chǎng)布局這一具體問(wèn)題，通過(guò)第一部分的分析可知：鏡場(chǎng)在最密布局時(shí)，占地面積最小(算例一：1.435 6×106m2，算例二：6.193 21×105m2)，綜合光學(xué)效率最低(算例一：0.454 8，算例二：0.464 7)。采用簡(jiǎn)單單目標(biāo)優(yōu)化算法得到最高光學(xué)效率,具體過(guò)程不再贅述，得到最大效率值(算例一：0.547 7，算例二：0.589 7)，此時(shí)占地面積算例一：4.599 4×106m2，算例二：2.435 6×106m2。 Pareto前沿各目標(biāo)函數(shù)最小值、最大值為(下式為算例一，算例二類(lèi)似)：

(19)

目標(biāo)函數(shù)穩(wěn)定歸一化表示為：

(20)

2.2.3 動(dòng)態(tài)交叉因子

(21)

(22)

式中:γ為遺傳交叉分布指數(shù)，當(dāng)γ值較大時(shí)，生成的子代離父代較近，反之離父代較遠(yuǎn)。在進(jìn)化初始階段，應(yīng)采用較小的交叉分布指數(shù)，提高種群多樣性；在進(jìn)化后期，應(yīng)縮小搜索范圍，加快收斂速度?；诖怂枷?，筆者采用動(dòng)態(tài)的交叉分布指數(shù)，γ由當(dāng)前代數(shù)決定。計(jì)算公式如下：

γ=γo+ξ·normrnd(μ,σ)，

(23)

式中：初始值γo為2；高斯隨機(jī)函數(shù)的均值μ=1；方差σ=1；ξ是用來(lái)控制隨機(jī)擾動(dòng)幅度的步長(zhǎng)，用S型對(duì)數(shù)函數(shù)確定,

(24)

式中：T為最大迭代次數(shù);t為當(dāng)前代數(shù);k用來(lái)控制變化速率，此處取k=20。

2.3 基于MOEA/D-HFL多目標(biāo)鏡場(chǎng)布局算法

步驟1初始化。

(1)設(shè)置EP=?。初始化迭代次數(shù)Gen=0。采用上文2.2.2部分介紹的方法設(shè)置參考點(diǎn)。

(2)初始化權(quán)重向量。計(jì)算權(quán)重向量之間的歐幾里得距離，距離權(quán)重向量i最近的T個(gè)權(quán)重的索引集記為：B(i)=[i1,…,iT]，則λi1,…,λiT對(duì)應(yīng)為λi的T個(gè)相鄰權(quán)重向量。

(3)生成初始種群。在決策空間利用佳點(diǎn)集生成一個(gè)初始種群Pop1，采用反向?qū)W習(xí)策略生成它的反向種群Pop2，選取適應(yīng)度好的個(gè)體組成算法的初始種群。

步驟2遺傳進(jìn)化。從B(i)中隨機(jī)選取r1,r2，且r1≠r2≠i。根據(jù)式(21)、(22)進(jìn)行模擬二進(jìn)制交叉，其中交叉分布指數(shù)由式(23)、(24)確定。接著進(jìn)行多項(xiàng)式變異。對(duì)變異生成的個(gè)體進(jìn)行范圍修正。

步驟3更新鄰域子問(wèn)題的解，更新外部存檔集。

步驟4判斷迭代停止條件。

步驟5輸出結(jié)果，輸出目標(biāo)值和對(duì)應(yīng)Pareto最優(yōu)解集,并采用模糊隸屬度函數(shù)得到最優(yōu)折中解。

3 實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證提出算法的有效性，對(duì)兩種不同規(guī)模的定日鏡場(chǎng)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化布局。同時(shí)，將所述算法得到的結(jié)果與基本MOEA/D以及NSGA-II算法得到的結(jié)果進(jìn)行比較。本實(shí)驗(yàn)基于多目標(biāo)進(jìn)化PlatEMO平臺(tái)[13]。

3.1 定日鏡場(chǎng)及算法參數(shù)設(shè)置

定日鏡場(chǎng)具體參數(shù)見(jiàn)表1。算法種群大小均為N=100;最大迭代次數(shù)為Gmax=300;MOEA/D鄰域大小T=20; 遺傳算法各控制參數(shù)已在上文指出。其中，基本MOEA/D和NSGA-II的固定遺傳交叉分布指數(shù)為20，參見(jiàn)文獻(xiàn)[3，5]。每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行10次。

表1 定日鏡場(chǎng)參數(shù)Table 1 Parameters of the heliostat field

3.2 算法評(píng)價(jià)指標(biāo)HV

Hypervolume(HV)超體積指標(biāo)由解集中的個(gè)體與參考點(diǎn)在目標(biāo)空間中所圍成的超立方體的體積計(jì)算得到。用HV可以綜合評(píng)價(jià)解集的收斂性與分布性，HV值越大,說(shuō)明算法的綜合性能越好。

(25)

式中：λ代表勒貝格測(cè)度;υi代表參考點(diǎn)和非支配個(gè)體構(gòu)成的超體積;S代表非支配集。

3.3 模糊隸屬度函數(shù)

獲得Pareto解集后，引入模糊隸屬度函數(shù)表示各個(gè)目標(biāo)的滿(mǎn)意度，模糊隸屬度函數(shù)定義如下：

(26)

對(duì)于每個(gè)解，用下式求其標(biāo)準(zhǔn)化滿(mǎn)意度值：

(27)

式中：M為Pareto解集中解的個(gè)數(shù)；Nobj為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)化滿(mǎn)意度最大的解就是最優(yōu)折中解。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

算例一：圖3～5分別是3種算法得到的最接近平均HV時(shí)的Pareto前沿圖。紅色星號(hào)代表最優(yōu)折中解。從橫縱坐標(biāo)所在的范圍看，NSGA-II和基本MOEA/D的Pareto前沿局限于較窄的區(qū)域，說(shuō)明這兩種算法容易陷入局部最優(yōu)，而MOEA/D-HFL得到的Pareto前沿分布更廣，解集兩端的開(kāi)發(fā)性更好，能提供更多且更高質(zhì)量的方案。 MOEA/D算法得到的Pareto前沿均比NSGA-II得到的前沿分布更加均勻。

圖3 算法NSGA-II所得Pareto前沿Figure 3 Pareto front obtained from NSGA-II algorithm

圖4 基本MOEA/D算法所得Pareto前沿Figure 4 Pareto front obtained from basic MOEA/D algorithm

圖5 算法MOEA/D-HFL所得Pareto前沿Figure 5 Pareto front obtained from MOEA/D-HFL algorithm

表2列出了3種算法得到的極端解和最優(yōu)折中解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。對(duì)比可知，在極端解方面，MOEA/D-HFL得到的最大光學(xué)效率和最小占地面積均優(yōu)于另兩種算法,其最大光學(xué)效率為0.546 1，最小占地面積為1.523×106m2。在最優(yōu)折中解方面，MOEA/D-HFL得到的最優(yōu)折中解光學(xué)效率最高，為0.527 4，而占地面積略大于基本MOEA/D。NSGA-II得到的折中解占地面積最大， MOEA/D所得光學(xué)效率最低。綜合比較，MOEA/D-HFL得到的極端解和最優(yōu)折中解質(zhì)量最好。圖6是由MOEA/D-HFL最優(yōu)折中解得到的定日鏡場(chǎng)布局圖。

表2 試驗(yàn)結(jié)果(算例一)Table 2 Experimental results (case 1)

圖7為算法在進(jìn)化過(guò)程中HV值變化曲線(xiàn)。NSGA-II在算法搜索前期收斂速度較快，但是后期陷入局部最優(yōu)，最后得到的HV明顯低于MOEA/D-HFL；MOEA/D在收斂速度和解集質(zhì)量方面均不理想；而MOEA/D-HFL最終能夠獲得最高的HV。

表3列出了3種算法獨(dú)立運(yùn)行10次得到的HV平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)比可知，MOEA/D-HFL的HV平均值最大，標(biāo)準(zhǔn)差最小，說(shuō)明其Pareto前沿的收斂性和分布性最好，且算法穩(wěn)定性最佳?；诩腰c(diǎn)集和反向?qū)W習(xí)的初始種群生成策略使得MOEA/D-HFL具有較高的搜索精確度和穩(wěn)定性，目標(biāo)函數(shù)值穩(wěn)定歸一化使其具有更高的魯棒性，交叉分布參數(shù)的動(dòng)態(tài)變化使得進(jìn)化搜索過(guò)程更加高效。 NSGA-II和基本MOEA/D不能獲得理想的Pareto前沿，容易陷入局部最優(yōu)，且參考點(diǎn)動(dòng)態(tài)變化使MOEA/D聚合優(yōu)化函數(shù)動(dòng)態(tài)變化，算法不穩(wěn)定。

表3 3種算法在多目標(biāo)定日鏡場(chǎng)布局優(yōu)化問(wèn)題上的HV平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(算例一)Table 3 Average and standard deviation of the HV by the three algorithms on multi-objective heliostat field layout optimization (case 1)

算例二：表4為算例二中3種算法得到的極端解和最優(yōu)折中解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。對(duì)比可知，在極端解方面，MOEA/D-HFL得到的最大光學(xué)效率和最小占地面積值均優(yōu)于另外兩種算法,其最大光學(xué)效率值為0.587 4，最小占地面積為6.363×105m2。在最優(yōu)折中解方面，MOEA/D-HFL得到的光學(xué)效率最高，為0.562 6。 表5列出了3種算法的HV平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，對(duì)比可知，MOEA/D-HFL的HV平均值最大，標(biāo)準(zhǔn)差最小，因此可以證明該算法具有更好的收斂性、分布性以及穩(wěn)定性。

表4 試驗(yàn)結(jié)果(算例二)Table 4 Experimental results (case 2)

表5 3種算法在多目標(biāo)定日鏡場(chǎng)布局優(yōu)化問(wèn)題上的HV平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(算例二)Table 5 Average and standard deviation of the HV by the three algorithms on multi-objective heliostat field layout optimization (case 2)

綜合對(duì)比考慮，與NSGA-II和基本MOEA/D相比， 筆者提出的MOEA/D-HFL能夠獲得分布性和均勻性更好的Pareto前沿，且極端解和最優(yōu)折中解質(zhì)量更好，能給決策者提供很好的方案。

4 結(jié)論

以定日鏡場(chǎng)年均綜合光學(xué)效率和鏡場(chǎng)占地面積為雙重優(yōu)化目標(biāo)，建立了定日鏡場(chǎng)橢圓布局多目標(biāo)優(yōu)化模型。在求解算法上提出了MOEA/D-HFL算法，該算法采用基于佳點(diǎn)集和反向?qū)W習(xí)的初始種群生成策略提高初始種群的質(zhì)量和穩(wěn)定性；采用穩(wěn)定的目標(biāo)函數(shù)值歸一化方法，并且引入交叉分布指數(shù)動(dòng)態(tài)變化機(jī)制，使得算法更加高效。對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，MOEA/D-HFL求得的Pareto前沿面具有更好的分布性和均勻性，更加接近真實(shí)Pareto前沿，能獲得更高質(zhì)量的極端解和折中解，為定日鏡場(chǎng)布局問(wèn)題提供了良好的解決方案。