民辦高校轉(zhuǎn)型發(fā)展背景下高等數(shù)學(xué)多元化教學(xué)方法的研究與實(shí)踐

胡容 周江 萬忠義

摘要：在民辦高校轉(zhuǎn)型發(fā)展，為企業(yè)培養(yǎng)優(yōu)質(zhì)實(shí)務(wù)人才、為產(chǎn)業(yè)提供創(chuàng)新技術(shù)服務(wù)的背景下，高等數(shù)學(xué)也被賦予新的任務(wù)與要求。探討在不同板塊內(nèi)容上，采用合適的多元教學(xué)方法達(dá)到教學(xué)目的，完成教學(xué)任務(wù)，并在西南交通大學(xué)希望學(xué)院?？撇窟M(jìn)行實(shí)踐，旨在讓學(xué)生理解高等數(shù)學(xué)，進(jìn)而將高等數(shù)學(xué)運(yùn)用在其所學(xué)專業(yè)。

關(guān)鍵詞：教學(xué)方法;講授法;練習(xí)法;演示法

國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、當(dāng)代高等教育的大眾化等諸多因素導(dǎo)致了民辦院校的產(chǎn)生，民辦院校為高等教育提供更多的資源供給，也為社會(huì)和企業(yè)提供了急需的應(yīng)用型人才。2020年 5月 18日，教育部辦公廳發(fā)布了《關(guān)于加快推進(jìn)獨(dú)立學(xué)院轉(zhuǎn)設(shè)工作的實(shí)施方案》，對(duì)民辦院校的發(fā)展提出新要求。結(jié)合學(xué)校轉(zhuǎn)型發(fā)展，高等數(shù)學(xué)這一課程要求學(xué)生能夠“輕證明、重理解、能運(yùn)用”，而專科部的學(xué)生大部分存在基礎(chǔ)薄弱、學(xué)習(xí)積極性不高、自主學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)諸多問題。作為一門公共基礎(chǔ)課的高等數(shù)學(xué)有必要依據(jù)學(xué)校、學(xué)生以及教材內(nèi)容梳理高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，根據(jù)實(shí)際教學(xué)思考理論教學(xué)，讓學(xué)生理解高等數(shù)學(xué)，將高等數(shù)學(xué)應(yīng)用在他們的專業(yè)領(lǐng)域或者為升學(xué)、科研做進(jìn)一步的準(zhǔn)備。

一、緒論課

作為高等數(shù)學(xué)的第一堂課，很多學(xué)生都是迷糊的狀態(tài)，疑問如下：為什么還要學(xué)數(shù)學(xué)，什么又是“高等”數(shù)學(xué)呢，數(shù)學(xué)底子不好，那還有沒有希望補(bǔ)救等問題，教師要了解學(xué)生、解決疑惑。高等數(shù)學(xué)的緒論課主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用、認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)（主要包括高等數(shù)學(xué)研究的對(duì)象、研究的工具、本學(xué)期學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容）、如何學(xué)好高等數(shù)學(xué)、本門課程與所學(xué)專業(yè)的聯(lián)系以及課程的考核方式。緒論課的教學(xué)內(nèi)容決定了教學(xué)方法以講授法、讀書指導(dǎo)法、問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法相結(jié)合。

比如講授學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用時(shí)，可以分為具體和抽象。抽象的作用比較多，在教學(xué)中，不建議照著念，學(xué)生會(huì)覺得枯燥無味，可以增設(shè)一個(gè)小問題，如提問：一個(gè)農(nóng)夫帶了一只狗，一只兔子和一棵青菜，來到河邊，狗和兔子不會(huì)游泳，他要把這三件東西帶過河去。那兒僅有一只很小的舊船，農(nóng)夫最多只能帶其中的一樣?xùn)|西上船，否則就有沉船的危險(xiǎn)，問農(nóng)夫采取哪些方式可以過河。以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法說明學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)分析能力、思考判斷能力、邏輯思維能力、解決實(shí)際問題的能力的作用。具體的作用可以結(jié)合自身、其他人的職業(yè)發(fā)展或者該專業(yè)相關(guān)的需求來講解。再如準(zhǔn)備講授認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，教師可以充分利用教材已有的知識(shí)，結(jié)合讀書指導(dǎo)法讓學(xué)生完成研究對(duì)象、研究工具，主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生匯總完畢后，再串成一條線給出一個(gè)框架。既充分發(fā)揮了教材的作用，也在慢慢培養(yǎng)學(xué)生精讀與略讀相結(jié)合，讀與思相融合等獨(dú)立閱讀的能力與習(xí)慣。

二、新課導(dǎo)入

伯利納研究表明：在正式教學(xué)之前，提出與學(xué)習(xí)材料有關(guān)的若干問題，以引起學(xué)生的好奇心與思考，是激發(fā)學(xué)生的求知欲和內(nèi)在動(dòng)力的有效途徑。在進(jìn)入新章節(jié)的時(shí)候，使用恰當(dāng)?shù)囊敕椒?，激發(fā)學(xué)生對(duì)本堂課學(xué)習(xí)內(nèi)容的興趣，主動(dòng)去學(xué)習(xí)、解決問題。結(jié)合講授法、談話法、演示法、討論法、發(fā)現(xiàn)法、建構(gòu)主義教學(xué)法、問題式教學(xué)法等，針對(duì)新課的不同內(nèi)容，采用不同的引入方式。

演示法和發(fā)現(xiàn)法在高等數(shù)學(xué)的諸多內(nèi)容可以使用，學(xué)生通過觀察獲取對(duì)事物和現(xiàn)象的感

性知識(shí)，減少學(xué)習(xí)中的困難，更好的掌握知識(shí)。例如：（1）在講解數(shù)列的極限時(shí)，因?yàn)闃O

限是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)概念，貫穿了整本高等數(shù)學(xué)，所以引入的時(shí)候可以采用形象的演示法。如拿著一只粉筆，長(zhǎng)度記為1，第一次將粉筆取一半，剩下1 ，第二次在第一次剩下的基礎(chǔ)上再截取一半，剩下1 ，依次的做下去，那么第n次截取后，粉筆還剩下2n，讓學(xué)生想，隨著截取的次數(shù)無限增大，剩下粉筆的長(zhǎng)度無限的接近多少。這個(gè)例子很直觀地闡述了：隨著自變量的無限增大，數(shù)列的一般項(xiàng)在無限地接近某一個(gè)固定的常數(shù)a，這其實(shí)就是數(shù)列極限的定義。（2）在講解函數(shù)的極限時(shí)，可以將函數(shù)以動(dòng)態(tài)的課件展示出現(xiàn)，讓學(xué)生觀察隨著自變量的改變，函數(shù)圖像的走勢(shì)，來理解函數(shù)極限的概念。還可以將古希臘學(xué)者芝諾提出的“追龜”問題形象化，讓學(xué)生一個(gè)扮演龜，一個(gè)扮演阿基里斯，通過時(shí)間這個(gè)自變量的變化趨勢(shì)，來探討阿基里斯與龜?shù)木嚯x函數(shù)的變化趨勢(shì)。通過演示，促使學(xué)生積極參與，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，課堂也具有趣味性。（3）由于?？茖W(xué)生自身的特點(diǎn)，若采用夾逼準(zhǔn)則和證明來引入兩個(gè)重要極限，顯然會(huì)讓他們不明白?？梢圆捎酶贤瑯拥姆椒ǎ瑢⒌谝恢匾獦O限的函數(shù)sin x/x以圖像的形式展示出來，觀察發(fā)現(xiàn)第一重要極限的結(jié)果。

談話法、討論法、建構(gòu)主義教學(xué)法、問題式教學(xué)法相結(jié)合在高等數(shù)學(xué)復(fù)雜的概念中可以利用。首先，向?qū)W生提出要解決或者研究的問題，即創(chuàng)設(shè)問題情景;再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)描述事物的內(nèi)在聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式;除了揭示量與量直接的關(guān)系，有的需要求解出答案，最后再檢驗(yàn)。每一步連環(huán)相扣，用已知的來求解未知，滲透數(shù)學(xué)建立模型思想;激發(fā)學(xué)生的思維，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性;易于使學(xué)生集中注意力，培養(yǎng)學(xué)生思考和表達(dá)能力。如：（1）雖然學(xué)生在高中已經(jīng)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，并能夠知道一些基本公式，但是不知道怎么來的。導(dǎo)數(shù)的概念是利用極限工具來研究，并從物理和幾何中提出來的形式，是高等數(shù)學(xué)里難以理解的概念。物理中的實(shí)例變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題，學(xué)生是不會(huì)求解的，但是可以求解某一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，提問學(xué)生在這一段時(shí)間的平均速度跟這一時(shí)間內(nèi)的瞬時(shí)速度有什么聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生思考解決，得出某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度結(jié)論。而幾何中曲線某一點(diǎn)處切線的斜率可以先用動(dòng)畫演示，通過動(dòng)畫提問學(xué)生割線的斜率何時(shí)就變成了切線的斜率，寫出切線斜率的公式?？偨Y(jié)兩個(gè)實(shí)例的結(jié)果，揭露表達(dá)式的實(shí)質(zhì)，得出導(dǎo)數(shù)的概念。（2）定積分的概念是高等數(shù)學(xué)里另一個(gè)難以講解的內(nèi)容，可以通過提問學(xué)生很薄且不規(guī)則的土豆片（或者中國(guó)地圖、或者不規(guī)則的心形等）怎么算出它的面積，提示學(xué)生聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的規(guī)則圖形的面積，自己思考，或者周圍同學(xué)討論、回答。給出解決方案：聯(lián)系生活實(shí)際，可以切成外形跟長(zhǎng)方形接近的小片小片的土豆，用長(zhǎng)方形的面積近似替代小片土豆，那整個(gè)土豆片的面積近似小片土豆的面積之和，最后消除近似即得出結(jié)論。

三、公式的記憶及其運(yùn)用

高等數(shù)學(xué)每一節(jié)新課幾乎會(huì)有公式的出現(xiàn)，它是解決導(dǎo)入問題的關(guān)鍵，也是實(shí)踐問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型，采取對(duì)應(yīng)的知識(shí)跟公式解決的核心。公式的正確記憶并能夠運(yùn)用是高等數(shù)學(xué)對(duì)?？茖W(xué)生基本的教學(xué)要求，故在教學(xué)過程中，抽象的公式用形象的言語(yǔ)解釋和描述能夠使課堂有趣，又能達(dá)到形象理解，正確使用的目的。講解公式如何記憶可以根據(jù)公式自身的特征采取對(duì)應(yīng)的方法，諸如有意記憶、理解記憶、聯(lián)想記憶、順口溜。公式的運(yùn)用則以練習(xí)法為主，在練習(xí)的過程中可以再次檢驗(yàn)公式是否記牢固，相應(yīng)的條件、等式應(yīng)該怎樣建立，培養(yǎng)學(xué)生抽象概況思維能力。

在進(jìn)行“導(dǎo)數(shù)與微分”教學(xué)時(shí)，導(dǎo)數(shù)的公式有16個(gè)，其中有7 對(duì)是類似的，講解記住公式時(shí)，讓學(xué)生成對(duì)記憶，如的導(dǎo)數(shù)為，即正弦的導(dǎo)數(shù)為余弦，的導(dǎo)數(shù)為，即余弦的導(dǎo)數(shù)為負(fù)正弦。類比其他4 對(duì)三角函數(shù)或者反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以得出：“正”或者“反正”三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是“正的”，“余”或者“反余”三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是“負(fù)的”，這是符號(hào)上，其次記住“正”或者“反正”三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，那么“余”或者“反余”三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是類似的規(guī)律。除此之外，在每周上課時(shí)，強(qiáng)調(diào)每周會(huì)聽寫導(dǎo)數(shù)公式，讓學(xué)生引起重視，在后面的微分，積分中可以直接運(yùn)用。

多元函數(shù)的極值及其求法中，利用多元函數(shù)極值的充分條件求解極值時(shí)，分成三種情況，每種情況的分類依據(jù)都是根據(jù)AC-B2（其中）與0 的關(guān)系。聯(lián)系類比初中的一元二次方程求根公式中的情況記憶：令=AC-B2，（1）若大于0，函數(shù)在此駐點(diǎn)取得極值，并且當(dāng)A大于0，該駐點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，當(dāng)A小于0，該點(diǎn)是函數(shù)的極大值點(diǎn)。（2）若小于0，該駐點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn)（前面兩種情況跟一元二次函數(shù)的圖像可以結(jié)合記憶：大于0 且A小于0，說明圖像開口向下且有根，根據(jù)圖像得知此駐點(diǎn)為極大值點(diǎn);大于0 且A大于0，說明圖像開口向上且有根，根據(jù)圖像得知此駐點(diǎn)為極小值點(diǎn);若小于0，圖像沒有根，即該駐點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn)）。（3）若等于0，則無法判斷，另做討論。由此，在運(yùn)用時(shí)，每一步要做什么很明確：第一步：求一階偏導(dǎo)數(shù)，令一階偏導(dǎo)數(shù)等于0，解出所有駐點(diǎn)。第二步：對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值。第三步：判斷每個(gè)駐點(diǎn)的與 0的關(guān)系，進(jìn)而得出結(jié)論。

可以看出：公式理解并記住，在運(yùn)用過程中，每一步該做什么，其實(shí)在公式中已經(jīng)告知。學(xué)生在求解過程中，目的明確，邏輯清楚，若在高等數(shù)學(xué)的最初教學(xué)中灌輸這種學(xué)習(xí)方法，學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)過程中采用同樣的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)遷移，逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力和自學(xué)能力。

四、章節(jié)復(fù)習(xí)需進(jìn)行

艾賓浩斯記憶遺忘曲線表明：遺忘的進(jìn)程很快，并且先快后慢，學(xué)得的知識(shí)在一天后，如不抓緊復(fù)習(xí)，就只剩下原來的25%。隨著時(shí)間的推移，遺忘的速度減慢，遺忘的數(shù)量也就減少，所以復(fù)習(xí)是教學(xué)過程中必不可少的環(huán)節(jié)。復(fù)習(xí)的目的主要有兩個(gè)：一是鞏固與加強(qiáng)知識(shí)的記憶，疏通章節(jié)之間的邏輯及聯(lián)系;二是讓學(xué)生改進(jìn)、提高自己的學(xué)習(xí)，進(jìn)而能自我總結(jié)、積累學(xué)習(xí)策略，自我提高學(xué)習(xí)效率。在高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，涉及到講授法、問答法、討論法、練習(xí)法等教學(xué)方法。

首先，復(fù)習(xí)章節(jié)的內(nèi)容明確，重難點(diǎn)清晰。由于高等數(shù)學(xué)的章節(jié)知識(shí)邏輯是“概念—概念相關(guān)性質(zhì)（定理）—求法—運(yùn)用”四個(gè)層次，教學(xué)的重難點(diǎn)一般在“求法”，故在系統(tǒng)整理、建立知識(shí)結(jié)構(gòu)時(shí)，通過問答式法可以讓知識(shí)再現(xiàn)，而利用圖形、提綱、表格組織策略，使知識(shí)呈現(xiàn)更清晰明了，建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)。接著，針對(duì)重難點(diǎn)和學(xué)生平時(shí)經(jīng)常犯錯(cuò)的知識(shí)，“精”選練習(xí)題，題目難度適中，讓不同層次的學(xué)生有對(duì)應(yīng)的收獲。最后，由于復(fù)習(xí)課所選習(xí)題具有代表性，在講解完習(xí)題后，要“評(píng)”：題目怎樣入手、知識(shí)點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)，若將題目變一變，能否解決等。

以上從緒論課、新課導(dǎo)入、公式的記憶及其運(yùn)用和章節(jié)復(fù)習(xí)四部分講解了高等數(shù)學(xué)多元化教學(xué)方法的理論及結(jié)合自身教學(xué)在不同板塊的運(yùn)用。依據(jù)學(xué)校培養(yǎng)方案、學(xué)生基礎(chǔ)和高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，教師應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，在“教”的過程中，也要注重“學(xué)”，讓學(xué)生獲得“漁”，構(gòu)建自己有效的學(xué)習(xí)方式方法，形成雙方溝通、共同探討的良好教學(xué)環(huán)境，以期實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要的、具有實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神的合格人才。

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作者簡(jiǎn)介：

胡容（1992～），女，助教，碩士學(xué)位，主要研究方向?yàn)樽詣?dòng)推理與人工智能。