“無所不能”的合力矩定理

劉小妹 梁擁成

摘 要 基于合力矩定理分解的思想和合力矩定理解析式的應(yīng)用兩個(gè)方面，對(duì)合力矩定理作了一些歸納和總結(jié)，例舉說明了定理在力學(xué)中的“無所不能”的作用：利用其分解的思想直觀方便求力矩，力偶;利用解析式求平面任意力系、空間任意力系、空間平行力系合力的作用線位置。

關(guān)鍵詞 理論力學(xué) 合力矩定理

中圖分類號(hào)：O312.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2020.09.032

Abstract Based on the idea of decomposition of resultant moment theorem and the application of analytical formula of resultant moment theorem， this paper sums up the theorem of resultant moment， and illustrates the omnipotent function of the theorem in Mechanics： it is intuitive and convenient to find moment and couple by using its decomposition thought; and it is used to calculate the resultant force of plane arbitrary force system， spatial arbitrary force system and spatial parallel force system line position.

Keywords theoretical mechanics; theorem of moment of resultant force

0 引言

在理論力學(xué)靜力學(xué)這一大篇中，對(duì)于力系主要研究了合成與平衡兩大問題。關(guān)于合成有合力投影定理和合力矩定理。這兩個(gè)定理在靜力學(xué)中具有重要的作用，比如合力投影定理在匯交力系中，可以求合力的大小和方向。實(shí)際上，合力投影定理適用于任何矢量比如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的速度和加速度。點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)和剛體平面運(yùn)動(dòng)中求速度與加速度矢量合成，本質(zhì)其實(shí)就是合力投影定理的推廣。在任意力系中合力投影定理可以求主矢的大小和方向，但是合力作用線位置，還必須借助于合力矩定理。利用合力矩定理可以求得主矩的大小，進(jìn)而求得合力作用線的位置。這兩個(gè)定理，在匯交力系、平面任意力系、空間任意力系中均分別作了敘述和證明，繁鎖而又重復(fù)。事實(shí)上這兩個(gè)定理 均無需證明， 而可直接由合力的定義得出。[1]平面問題，力對(duì)點(diǎn)之矩，實(shí)際上空間問題中的力對(duì)軸之矩，是一個(gè)代數(shù)量，而在空間問題中，力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)矢量，合力矩定理在兩種情況下都是成立的。因此總的來說合力矩定理是指合力對(duì)任一點(diǎn)之矩矢等于力系中各力對(duì)該點(diǎn)之矩矢的矢量和;合力對(duì)任一軸之矩等于力系中各力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和。

縱觀力學(xué)教學(xué)過程，很多地方都應(yīng)用了合力矩定理。在靜力學(xué)中無論是求力對(duì)點(diǎn)力矩，一般任意力系的合成或是平行力系的合成都經(jīng)常會(huì)用到合力矩定理，因此合力矩定理的應(yīng)用是力學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)該加以重新的認(rèn)識(shí)和重視。剛開始是利用合力矩定理的分解思想純粹求力矩，然后把合力矩定理中的作用點(diǎn)坐標(biāo)看作是力的作用線上的任意一點(diǎn)，可以求任意力系的作用線方程，最后還可以用合力矩定理求平行力系的中心。在教學(xué)過程中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生不斷地對(duì)合力矩定理加以新的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在一步步深入學(xué)習(xí)的過程中，不斷強(qiáng)化理解合力矩定理，學(xué)生自然而然地就掌握了它的意義。本文基于合力矩定理分解的思想和合力矩定理解析式的應(yīng)用兩個(gè)方面，對(duì)合力矩定理作了一些歸納和總結(jié)，通過實(shí)例，說明了該定理在力學(xué)中的“無所不能”的作用。

1 合力矩定理分解的思想的應(yīng)用

求力對(duì)點(diǎn)之矩，聽起來很簡單，但是由于學(xué)生起初學(xué)力矩時(shí)就是用力乘以力作用線到該點(diǎn)的距離，由于先入為主，學(xué)生一遇到求力矩，就想到求距離，但是在理論力學(xué)求力對(duì)點(diǎn)之矩時(shí)，一般距離不太直觀方便，這時(shí)，我們可以依據(jù)合力矩定理先把力分解，分別求每個(gè)分力的矩，然后合成，這不僅適用于平面，也適用于空間，也適用于求力偶矩。例如在圖1中矩形板的A點(diǎn)處作用一力，方向如圖所示，則該力對(duì)點(diǎn)O的矩。如果直接求力的作用線到O點(diǎn)的距離，不太直觀，我們可以先在力作用點(diǎn)處A將力先分解水平和豎直的分力，這樣很容易直觀看出水平和豎直分力到固定點(diǎn)O的距離分別為和，依據(jù)合力矩定理，兩者分別產(chǎn)生的矩的代數(shù)和為。

再例如在空間力系圖2所示立方體，長、寬、高均為3m，沿對(duì)角線O′B有作用力P=10kN，如果要求此力對(duì)、、軸之矩，我們也可以先在作用點(diǎn)處O點(diǎn)把作用力分解成、方向上的分力，然后在求所有分力對(duì)、、軸之矩的代數(shù)和。

2 合力矩定理解析式的應(yīng)用

在平面和空間問題中，都可以利用合力矩定理求合力的作用點(diǎn)或是作用線方程。另外，這些離散的力系很好理解，連續(xù)性的荷載分布如均勻分布或是三角形分布，往往也通過積分的方法利用合力矩定理求得合力的作用線位置。力作用在剛體上的點(diǎn)，如圖3所示。

這也適用于平行力系，得到平行力系的中心，進(jìn)而得到重心，形心的位置。特別地，求形心的位置，與材料力學(xué)當(dāng)中的靜矩之間有內(nèi)在聯(lián)系。材料力學(xué)中物體的靜矩學(xué)生覺得概念比較抽象，但是靜矩叫面積對(duì)軸的一次矩，學(xué)習(xí)的時(shí)候，可以把靜矩和力矩有機(jī)結(jié)合起來。同理可推廣至慣性矩，故而得到了在穩(wěn)定中的慣性半徑的概念，可見面積對(duì)軸的二次矩， 也可視為面積集中于慣性半徑位置處的二次矩，這些分分合合中體現(xiàn)了化繁為簡的重要思想。[2]

3 結(jié)論

在力學(xué)教學(xué)過程中，講解合力矩定理內(nèi)容時(shí)，雖然對(duì)該定理本身的證明，理解一點(diǎn)都不困難，但是發(fā)現(xiàn)他的應(yīng)用還真不少，有時(shí)候要利用其分解的思想來求力矩，力偶，拋棄原有的固定思維求距離，有時(shí)候還可以利用解析式求合力的作用線位置，平行力系中心。很多同學(xué)在一開始學(xué)習(xí)時(shí)，總認(rèn)為求合力，只是其大小和方向，其實(shí)還有一個(gè)很重要的要素就是作用點(diǎn)，或是作用線，這就要發(fā)揮合力矩定理的“無所不能”的作用了。本文對(duì)合力矩定理作了簡要的概括和總結(jié)，其實(shí)合力矩定理還連接了理論力學(xué)和材料力學(xué)的橋梁，那就是截面的靜矩，在教學(xué)過程中，把所學(xué)的內(nèi)容加以歸納總結(jié)，做到知識(shí)的融會(huì)貫通，理解就會(huì)深刻。

參考文獻(xiàn)

[1] 李克安.有關(guān)工程力學(xué)幾個(gè)問題的討論[J]岳陽大學(xué)學(xué)報(bào)，1988（2）：89-93.

[2] 鄒思敏.橫看成嶺側(cè)成峰——淺議合力矩定理在土建工程中的應(yīng)用有關(guān)工程力學(xué)幾個(gè)問題的討論[J].建材發(fā)展導(dǎo)向，2017：393.