金屬材料塑性變形的理論研究

崔藝文，田野

中國直升機設(shè)計研究所

本文對金屬材料的塑性變形行為進行探討，簡化了塑性變形理論?；诮?jīng)典塑性理論，建立了率無關(guān)塑性本構(gòu)方程，通過MATLAB數(shù)值實現(xiàn)，驗證了有限元分析的準確性。本文建立的有限元數(shù)值算法較其他有限元算法更為精確、高效和簡捷，為金屬材料塑性變形研究提供一定的理論基礎(chǔ)。

無人機結(jié)構(gòu)件中有許多金屬材料支架，在使用過程中，如果金屬支架發(fā)生變形和斷裂等情況，將給發(fā)動機和無人機造成災難性后果。金屬支架在受力時，若發(fā)生斷裂，將經(jīng)歷彈性變形、塑性變形和斷裂三個階段。彈性變形階段，卸除施力后，變形完全消失，這種變形稱為彈性變形。金屬材料的彈性變形并不影響發(fā)動機支架的安全性。但在應(yīng)力大于彈性極限后，如再卸除壓力，變形的一部分隨之消失，即彈性變形，但還遺留一部分不能消失的變形，即為塑性變形或殘余變形。金屬在外加載荷作用下,當應(yīng)力達到材料斷裂強度時,發(fā)生斷裂。本文對金屬材料的塑性變形展開研究。

基于泰勒位錯模型，有學者發(fā)展了附有邊界條件和高階應(yīng)力的高階應(yīng)變梯度塑性理論即MSG理論，建立了不含有高階應(yīng)力的低階應(yīng)變梯度塑性理論即CMSG理論。為得到低階應(yīng)變梯度塑性理論，建立了一種新的塑性本構(gòu)方程即率無關(guān)本構(gòu)方程。率無關(guān)本構(gòu)方程將等效參考應(yīng)變率轉(zhuǎn)換成等效應(yīng)變率，降低了計算及應(yīng)用難度，去除了高階應(yīng)力，為建立不含高階應(yīng)力的塑性理論創(chuàng)造了條件。

在有限元軟件平臺的二次開發(fā)中，有一些較為經(jīng)典的研究。例如，有些學者采用ANSYS提供的二次開發(fā)技術(shù)，成功應(yīng)用到斜拉橋恒載索力確定中有關(guān)橋梁問題的求解，該研究為ANSYS在橋梁工程中的普及奠定了良好基礎(chǔ)。針對ABAQUS大型程序，一些學者做了滯回規(guī)則改進、相關(guān)程序開發(fā)以及試驗結(jié)果對比，并通過帶有大跨度輸電實際工程計算，進一步檢驗了相關(guān)程序的可行性、計算精度與現(xiàn)實可靠性。ABAQUS程序被公認為一種功能強大、分析結(jié)果可靠的有限元分析軟件。它包含多元化的單元庫、材料庫，分析過程和范圍涵蓋廣泛，不僅可以模擬簡單的線性問題，更擅長模擬繁復的非線性問題，具有其他商業(yè)軟件無法比擬的優(yōu)勢，且在模擬復雜系統(tǒng)方面尤其可靠。在分析過程中，ABAQUS可自行調(diào)整參數(shù)值以得到精度較高的解，省去了用戶自己定義的繁瑣。

ABAQUS的二次開發(fā)語言為Fortran或Python，這兩種語言各有優(yōu)劣，F(xiàn)ortran一般與不同功能子程序相互作用和結(jié)合，Python一般在開發(fā)ABAQUS的前處理模塊中作用。

UMAT接口主要實現(xiàn)調(diào)用ABAQUS材料庫中所不包含的本構(gòu)關(guān)系模型，進而用于分析模型的力學性能或行為。由于操作簡潔，ABAQUS的UMAT接口功能受到眾多領(lǐng)域的工作者青睞。例如，有學者利用UMAT子程序建立了一種新的考慮應(yīng)力三軸比依賴特性的塑性損傷本構(gòu)模型。一些學者實現(xiàn)并開發(fā)出纖維數(shù)據(jù)的可視化生成程序UMAT，可生成鋼筋、型鋼、以及鋼管混凝土常用截面形式纖維數(shù)據(jù)。ABAQUS的UMAT子程序應(yīng)用已普及，這與其性能有密不可分的聯(lián)系，UMAT子程序具有構(gòu)建本構(gòu)模型的功能，極大擴展了ABAQUS的使用領(lǐng)域。

本文主要分析率無關(guān)塑性本構(gòu)關(guān)系。利用ABAQUS軟件及其用戶子程序，得出基于該本構(gòu)關(guān)系的圓柱體力學行為，分析對比理論解和數(shù)值解，得出結(jié)論。證實了等效模量法建立本構(gòu)關(guān)系，較為精確、快捷、高效。為傳統(tǒng)低階應(yīng)變梯度理論的有限元實現(xiàn)，提供一種更為簡便，準確的有限元算法，并為金屬材料塑性變形研究提供一定的理論基礎(chǔ)。

塑性變形階段的理論推導

單軸拉伸下不含高階應(yīng)力的率無關(guān)本構(gòu)方程推導

其中，μ是剪切模量，K是體積模量。

得到在率無關(guān)本構(gòu)關(guān)系下，單軸壓縮下圓柱體的有限元分析解，如圖3所示。

由圖3分析可知，該塑性模型的曲率隨應(yīng)變的增大而逐漸變小，曲率走向和理論曲線大致相似。

將改變率相關(guān)指數(shù)m的值取為5、10、20進行對比分析，得到圖4。

圖4 ABAQUS模擬m=5、10、20時的單軸拉伸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

由圖4可以看出，隨著m的增大，曲線出現(xiàn)拐點后，也是逐漸增高，但幅度特別小，可近似認為建立的本構(gòu)關(guān)系與“率”的相關(guān)性很小，近似沒有。驗證了本文在ABAQUS子程序中建立的應(yīng)變梯度塑性率無關(guān)本構(gòu)關(guān)系的正確性。

本文討論了率無關(guān)理論以及單軸拉伸情況下率無關(guān)理論的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，以及利用等效模量法通過UMAT子程序建立率無關(guān)理論本構(gòu)關(guān)系并應(yīng)用于有限元分析問題。為比較理論解與模擬解的區(qū)別，將MATLAB中得到的單軸拉伸下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與有限元模擬三維壓縮下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系進行對比，得到圖5。

從圖5可以看出，其走勢相同，理論值略高于模擬值，在彈性階段兩組數(shù)據(jù)重合。驗證了ABAQUS模擬的正確性、本構(gòu)關(guān)系處理的準確性、用戶子程序編寫的可靠性。

圖5 ABAQUS與MATLAB對比圖。

結(jié)論

本文簡化了經(jīng)典塑性理論本構(gòu)關(guān)系，針對單軸拉壓情況，建立了一種新的不含高階應(yīng)力的本構(gòu)方程即率無關(guān)方程，得出如下結(jié)論。

第一，在理論情況及有限元模擬下，對比率相關(guān)指數(shù)不同時的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，對比分析證實了其率無關(guān)性；

第二，通過等效模量的方法建立率無關(guān)本構(gòu)關(guān)系的UMAT子程序；對比分析不同率相關(guān)指數(shù)下微圓柱體的力學行為，驗證了子程序及有限元分析的準確性。

第三，對比其理論解和數(shù)值解，發(fā)現(xiàn)等效模量法較其他模擬方法更為精確、高效、簡便。為傳統(tǒng)低階應(yīng)變梯度理論的有限元實現(xiàn)，提供了一種更為簡捷，準確的有限元算法?！?/p>