基于小波變換和ARIMA模型的高速鐵路軌道不平順研究

趙雋 李林燦 左自輝 殷勇

（1.中國國家鐵路集團有限公司基礎(chǔ)設(shè)施檢測中心，北京 100081；2.中國鐵道科學研究院集團有限公司基礎(chǔ)設(shè)施檢測研究所，北京 100081；3.中國鐵路上海局集團有限公司運輸部，上海 200071）

高速鐵路基礎(chǔ)設(shè)施是列車安全運行的重要保障。我國高速鐵路路網(wǎng)復雜，行車密度高，故障影響范圍大，對高速鐵路基礎(chǔ)設(shè)施服役狀態(tài)提出了更高要求。為提升高速鐵路基礎(chǔ)設(shè)施養(yǎng)護維修質(zhì)量和效率效益，推進“工電供”綜合維修生產(chǎn)一體化改革，中國國家鐵路集團有限公司于2017 年和2018 年對高速鐵路基礎(chǔ)設(shè)施維修體系進行改革創(chuàng)新，于2019 年發(fā)布了《中國鐵路總公司關(guān)于深化高速鐵路綜合維修生產(chǎn)一體化改革的指導意見》，在全路范圍內(nèi)推進高速鐵路綜合維修生產(chǎn)一體化的實施［1］，并在中國鐵路沈陽局集團有限公司成立沈陽高鐵基礎(chǔ)設(shè)施段作為試點。

高速鐵路基礎(chǔ)設(shè)施維護管理主要分為檢測監(jiān)測、日常養(yǎng)護、專業(yè)修理3 種類型［2-3］。目前我國鐵路基礎(chǔ)設(shè)施檢測形成了3層架構(gòu)：鐵路基礎(chǔ)設(shè)施檢測中心、鐵路局集團公司綜合檢測所、檢測分析車間。通過構(gòu)建新體系，確保設(shè)備狀態(tài)安全和運輸效率。高速鐵路軌道系統(tǒng)作為日常養(yǎng)護維修的重點，其科學管理關(guān)系到運輸安全及運營成本。多年研究及實踐經(jīng)驗表明，軌道幾何形位的平順狀態(tài)直接影響輪軌作用、車體振動、乘坐舒適性等。國內(nèi)外軌道幾何平順狀態(tài)通過軌道質(zhì)量指數(shù)（Track Quality Index，TQI）來衡量，TQI 值也是編制線路養(yǎng)護維修計劃的重要依據(jù)。

近年來，國內(nèi)外諸多學者對軌道狀態(tài)變化規(guī)律的預測做了大量研究。曲建軍等［4］認為TQI 序列由惡化的趨勢成分+圍繞趨勢的隨機波動成分組成，并在此基礎(chǔ)上提出了非等間距的灰色模型GM（1，1）對TQI序列進行預測。賈朝龍等［5］將改進的灰色模型GM（1，1）和AR 模型相結(jié)合對軌道不平順狀態(tài)進行預測。靳鵬偉等［6］提出的馬爾可夫殘差修正預測模型，在殘差灰色模型擬合變化趨勢的基礎(chǔ)上，再對得到的隨機波動大的殘差序列進行馬爾可夫預測，從而提高預測精度。

在新的高速鐵路綜合維修生產(chǎn)一體化改革背景下，天窗資源更加寶貴，維修質(zhì)量及安全性要求更高。運用科學的方法探索周期性、非線性的軌道幾何狀態(tài)變化規(guī)律，預測軌道狀態(tài)發(fā)展趨勢，對制定高速鐵路綜合維修計劃、充分合理利用天窗資源、促進線路維修從周期修到狀態(tài)修的轉(zhuǎn)變、保障運輸安全都具有重要意義。

1 模型介紹

1.1 小波變換

小波變換（Wavelet Transform）以窗口化傅里葉變換為基礎(chǔ)，相對于傅里葉變換，小波變換可以進行多尺度變換，對時間序列進行局部化分析，將高、低頻序列分開分析，保留原序列特征并且突出細節(jié)特點，廣泛應(yīng)用于信號和圖像處理領(lǐng)域。

函數(shù)s(t)的連續(xù)小波變換WS(a，b)為

式中：a為小波基函數(shù)ψ(t)進行伸縮的尺度參數(shù)；b為平移參數(shù)。

本研究樣本數(shù)據(jù)是離散型的，因此需要采用離散小波變換。在s(t)的連續(xù)小波變換中令a= 2-r，b=2-rk，其中r，k∈ Z，可以得 到s(t) 的離散小波變換WS(r，k)，即

常用的小波基函數(shù)主要有Daubechies 小波（db）、Haar 小波、Symlet 小波（sym）等。小波變換主要包含信號分解和重構(gòu)2個過程。

1）原始信號分解

采用一組高通濾波器H和一組低通濾波器L將原始信號A0分解為高頻信號hj和低頻信號lj，其中j=0，1，…，J- 1，這里J為分解的最大階數(shù)。細節(jié)信息主要存在于高頻信號，近似信息主要存在于低頻信號。

2）新信號重構(gòu)

由于每次經(jīng)過小波分解，信號尺度都變?yōu)樵瓉淼囊话?。因此，需要從尺度最小的一層開始，利用L，H的對偶算子L*，H*將分解信號逐層重構(gòu)，得到每層的重構(gòu)信號Dj（j=1，2，···，J），則對原始信號的重構(gòu)信號C為

1.2 ARIMA模型

ARIMA 模型全稱為自回歸移動平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model），是時間序列分析中的一個重要模型，用于描述依賴于時間的隨機變量之間的相關(guān)性和延續(xù)性［7-8］，廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟增長［9］、運量及市場價格變化［10］、人口數(shù)量變化等領(lǐng)域。在ARIMA(p，d，q)模型中，AR 為自回歸模型，p為自回歸項數(shù)；MA 為移動平均模型，q為移動平均項數(shù)；d為將非平穩(wěn)序列變?yōu)槠椒€(wěn)序列所需做的差分階數(shù)。對于非平穩(wěn)時間序列{Xt}，ARIMA(p，d，q)模型的一般形式為［11］

式中：B為差分算子；Φ(B)為模型的自回歸系數(shù)多項式，Φ(B)= 1-φ1B- ···-φpBp，φp為自回歸系數(shù)；Θ(B)為模型的移動平均系數(shù)多項式，Θ(B)= 1-θ1B-···-θqBq，θq為移動平均系數(shù)；εt為零均值白噪聲序列。

軌道狀態(tài)會隨著時間發(fā)生變化，因此一定時間段內(nèi)TQI 值可以看作一組時間序列。傳統(tǒng)ARIMA 模型對時間序列的分析具有一定預測效果，但預測精度不高，需要不斷地通過殘差修正才能提高預測精度，增加了計算量和復雜程度，而且每次殘差修正還會剔除原始數(shù)據(jù)的細節(jié)信息。本文首先利用小波變換，將原始數(shù)據(jù)分解為保留細節(jié)信息的hj和保留原始數(shù)據(jù)特征的lj，然后分別對hj，lj進行 ARIMA 建模處理得到新的高頻信號和低頻信號l'j，再進行小波重構(gòu)。

2 小波分解

2.1 數(shù)據(jù)選取

選取 2018 年 2 月至 2020 年 1 月期間，檢測列車CRH380BJ-0301 在沈陽基礎(chǔ)設(shè)施維修段管轄的盤營高速鐵路下行線K12+600—K12+800 處獲取的TQI 檢測值A(chǔ)(0)為研究對象，見圖1，其中包含71 個檢測值。從序列圖可以初步判斷，A(0)為一組離散信號，整體較為平穩(wěn)，在樣本時間范圍內(nèi)TQI值無較大波動（原因是盤營高速鐵路為無砟軌道，結(jié)構(gòu)比有砟軌道穩(wěn)定）。盤營高速鐵路處于東北地區(qū)，TQI 值在春季的春融時會發(fā)生變化，由圖 1 可以看出，2018 年 2 月至 4 月及2019 年2 月至4 月TQI 值有變大趨勢。離散程度不大的原始數(shù)據(jù)也有助于保證模型擬合的精度。為深入分析TQI時間序列，采用小波變換進行降噪濾波處理，以真實反映軌道平順狀態(tài)，探究潛在規(guī)律。

圖1 TQI檢測值原始序列A0

2.2 TQI序列小波分解

經(jīng)過反復計算，db6，db7，sym6，sym8 等小波基均適用于本TQI 檢測值序列?？紤]到數(shù)據(jù)樣本量，選用db7 小波基。將原始序列A(0)進行db7 小波分解，得到高頻信號hj和低頻信號lj，見圖2?？芍?，高頻信號hj在0值附近震蕩，較為平穩(wěn)；低頻信號lj也較為平穩(wěn)。

圖2 高、低頻信號序列

2.3 高、低頻序列處理

利用單位根檢驗法對高頻信號hj、低頻信號lj序列進行進一步檢驗，若存在單位根，則序列不平穩(wěn)，分析會使序列存在偽回歸。對零假設(shè)“序列存在單位根”檢驗發(fā)現(xiàn)：原低頻信號序列l(wèi)j存在單位根（概率不為0），序列不平穩(wěn)；高頻信號序列hj不存在單位根（概率為0），序列平穩(wěn)（表1）。對lj序列進行一階差分得到序列Δlj，然后利用單位根檢驗法發(fā)現(xiàn)，不存在單位根（表2），表明Δlj序列為平穩(wěn)序列。

表1 hj單位根檢驗結(jié)果

表2 Δlj單位根檢驗結(jié)果

對小波分解后的高頻信號hj和一階差分后的低頻信號Δlj進行分析得到：原始序列A(0)經(jīng)過小波分解后得到的近似信號lj相對平緩順滑，趨勢更加明顯，更便于分析軌道狀態(tài)變化情況；高頻信號hj和一階差分后的低頻信號Δlj滿足平穩(wěn)性，表明軌道狀態(tài)變化確實存在規(guī)律，蘊含不可忽視的信息，可以對其建立時間序列相關(guān)模型。

3 ARIMA模型建立

建立ARIMA模型，對經(jīng)過小波分解后的平穩(wěn)序列高頻信號hj和一階差分后的低頻信號Δlj進行擬合。根據(jù)模型的擬合優(yōu)度檢驗、殘差的白噪聲檢驗、貝葉斯信息準則（BIC），分別確定hjARIMA(p，d，q) 和ΔljARIMA(p，d，q)模型中較優(yōu)的p，q取值，最后選擇最優(yōu)模型ΔhjARIMA（1，0，1）和ljARIMA（1，1，1）。

以ΔhjARIMA（1，0，1）和ljARIMA（1，1，1）擬合的序列h'j，l'j為新的高頻、低頻信號，對h'j，l'j進行小波重構(gòu)，得到擬合值。比較擬合值與實際值（圖3）可以看出，擬合的趨勢與實際趨勢基本一致。模型的平均相對誤差、均方根誤差分別為0.89%，1.12%，表明模型預測效果良好。

圖3 擬合值與實際值比較

4 模型擬合結(jié)果分析

根據(jù)模型擬合結(jié)果，判定軌道不平順狀態(tài)是可以進行預測分析的，且小波分解后的高頻序列和低頻序列均呈現(xiàn)出平穩(wěn)性，表明軌道不平順狀態(tài)是有規(guī)律的變化，這也與軌道狀態(tài)實際變化情況一致。軌道幾何平順狀態(tài)隨著列車動載的反復作用，軌道的軌距、水平、方向、高低、三角坑等幾何形位會發(fā)生變化，形成軌道不平順。由于鋼軌接頭、焊縫、軌枕這些很可能造成TQI 大值點的因素本身就是間隔一定距離布置的，具有間歇效應(yīng)，因此軌道不平順狀態(tài)具有周期性變換的特征［12-13］。

初步分析得到，樣本和擬合值中的非平穩(wěn)序列是軌道幾何狀態(tài)離散不平順和隨機性不平順的體現(xiàn)。輪軌作用過程中，比較常見的離散不平順因素包括岔區(qū)、鋼軌擦傷、鋼軌軌縫等，這些因素會造成軌道幾何尺寸突變甚至超限，且不能通過函數(shù)進行描述或?qū)ふ乙?guī)律，完全是隨機的，只能通過日常巡檢發(fā)現(xiàn)，屬于偶然離散不平順。由于鋼軌波長和波幅是隨機變量，從極窄時域的角度看軌道幾何狀態(tài)變化本身就是隨機的，小波變換本身是將全時域的傅里葉變換窗口化，保留了傅里葉變換平均掉的峰值、突變點等細節(jié)信息。

經(jīng)過小波分解和重構(gòu)再進行ARIMA 擬合的新序列保留了原序列中的突變信號等隨機的信息。若這些隨機信息確實是由故障點造成的，僅進行傳統(tǒng)的分析預測只能發(fā)現(xiàn)軌道幾何狀態(tài)變化大致趨勢，這些細節(jié)變化的故障點會在數(shù)據(jù)處理過程中被剔除，對列車運行安全造成隱患。

5 結(jié)語

沈陽高速鐵路基礎(chǔ)設(shè)施段作為綜合維修改革的試點段，其在新模式下的設(shè)備設(shè)施維修保養(yǎng)質(zhì)量都是值得分析研究的。從本文的數(shù)據(jù)分析來看，所選擇樣本盤營高速鐵路下行線某區(qū)段TQI 值存在一定規(guī)律；從ARIMA 模型擬合結(jié)果來看，預測效果良好。基于小波變換的ARIMA模型，提高了傳統(tǒng)分析預測模型的精度和靈敏度，在預測軌道幾何狀態(tài)變化趨勢的同時保留了細節(jié)信息，可以及時地對發(fā)現(xiàn)的故障點進行整改，避免故障檢測遺留。本文的研究可以為軌道幾何狀態(tài)研究以及ARIMA 模型的改進提供例據(jù)，推動優(yōu)化高速鐵路綜合維修計劃，提高天窗資源利用效率和運輸效率。