折紙的數(shù)學(xué)教學(xué)價值和實踐探尋

王立成

[摘要] 厘清教材中折紙活動的編排特征，呈現(xiàn)折紙活動思維梯度，可以使得相應(yīng)的教學(xué)活動開展得更加有層次、更加深入。作為一種學(xué)習(xí)手段，折紙活動不僅可以有效溝通教材新舊知識的聯(lián)系，還可以豐富多種知識的學(xué)習(xí)途徑，充實課堂教學(xué)內(nèi)容。

[關(guān)鍵詞] 折紙;教材;教學(xué)價值;教學(xué)探尋

在豐富多彩的折紙活動中，有許多數(shù)學(xué)活動值得我們?nèi)パ芯?。通過折紙活動，分析留在紙張上的折痕以及折痕圍成的圖形，能夠揭示出許多的幾何的對象、性質(zhì)、概念、規(guī)律、圖形與圖形之間的關(guān)系以及數(shù)與圖形之間的關(guān)系，如：軸對稱、中點、對角線、分?jǐn)?shù)的意義等。在這些靈動、具體可視的過程中，彌補了學(xué)生思維的短缺部分，更能符合小學(xué)階段學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知習(xí)慣。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在低、中、高年級都安排了折紙的活動，年級不同，教材上折紙活動的設(shè)計目的也有所差異。教材中折紙活動以怎樣的形式存在？有怎樣的教學(xué)價值？教學(xué)中如何利用好折紙活動更好地為課堂教學(xué)服務(wù)？折紙還有哪些新的開發(fā)價值？本文將對這些內(nèi)容做一些思考與探尋。

一、教材的編排與教學(xué)要義分析

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在12冊書中安排了20次折紙活動，其中以例題呈現(xiàn)或者在例題中涉及折紙操作的有11次。從梳理教材內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，教材中折紙的內(nèi)容有以下特點：

1.折紙的步驟由簡單到復(fù)雜

低年級的折紙操作大部分一步即可完成，隨著年級的增長與折紙經(jīng)驗的積累，折紙的步驟不斷變得復(fù)雜，由初始的一兩步向四五步甚至更多、更復(fù)雜的情況延伸。最初的活動是個體獨立進行，隨著折紙復(fù)雜程度的提升可進行小組合作，如三角形的內(nèi)角和（見下圖）。

2.折紙的思維由低階到高階

低年級的折紙操作比較直觀、簡單，只要按照要求，規(guī)范操作就可以。到了中、高年級，折紙之前要有全面細(xì)致的思考，在折紙的過程中，每一步都有思維的導(dǎo)向，所以折紙過程要求嚴(yán)謹(jǐn)、有序，如：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的探究過程就安排了下面的“折一折”教學(xué)活動。

師：像這樣折一折、涂一涂，并用分?jǐn)?shù)表示涂色部分。你有什么發(fā)現(xiàn)？

3.折紙的要求由感知到建模

教材中對折紙內(nèi)容的要求也有一定的梯度。低年級的要求較低，主要目的是讓學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容從操作層面有具象的感知，為進一步學(xué)習(xí)探究做鋪墊，而對中高年級學(xué)生的要求就會指向數(shù)學(xué)模型的建立。

如：用長方形或者正方形紙折出二分之一，第一次折是為了初步感知和認(rèn)識分?jǐn)?shù)的概念;第二次折是為了比較異分母分?jǐn)?shù)的大小，同時對分?jǐn)?shù)做進一步認(rèn)識;第三次折則是為了掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，突破原有的認(rèn)識。

兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是從懵懂走向清晰，從混亂走向有序，對折紙活動的深刻認(rèn)識實則上是對兒童認(rèn)知規(guī)律的認(rèn)識，體現(xiàn)教師教學(xué)中的學(xué)生本位。每一次折紙，都伴隨著觀察、思考、交流、比較、概括等一系列活動，在這樣立體的折紙活動場域中操作與思維相輔相成、共生共長。

二、折紙的教學(xué)價值

1.折紙呈現(xiàn)概念的形成過程

概念學(xué)習(xí)是小學(xué)階段重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，很多概念的形成都需要數(shù)次數(shù)學(xué)抽象參與，如果教師能通過巧妙的設(shè)計，讓折紙活動滲透兒童概念學(xué)習(xí)的過程中，會讓概念當(dāng)中的抽象部分更加具體和直觀，有利于學(xué)生對其理解和掌握。例如在學(xué)習(xí)軸對稱圖形一課時，學(xué)生對“軸對稱”的概念比較生疏，很多學(xué)生對“軸對稱”和“對稱軸”這些概念容易產(chǎn)生混淆。如果教師能夠借助折紙活動，提供一些學(xué)生熟悉的折紙素材，教學(xué)會取得更加良好的效果。

2.折紙?zhí)N含數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略

美國著名教育家杜威認(rèn)為：兒童學(xué)習(xí)要在“做中學(xué)”。他認(rèn)為兒童不從活動中，而由聽課和讀書中所獲得的知識是虛緲的。

小學(xué)階段的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，由于其特定的身心特點，所以必須要有“玩”的成分。而折紙的操作活動就是在玩中學(xué)、在做中學(xué)，在折的過程中伴隨著思維的生長。如在學(xué)習(xí)《長方形和正方形的特征》時，折紙完成之后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，從邊和角的角度歸納出長方形和正方形的邊角特點。這里的操作目的不在于“折”，而是為數(shù)學(xué)思維架設(shè)一道橋梁。

3.折紙體現(xiàn)教學(xué)理念和思想

從心理學(xué)角度出發(fā)，小學(xué)階段學(xué)生的思維以具體形象為主，隨著年級和年齡的增長，抽象思維的成分在不斷地增多，而具有折紙操作的內(nèi)容符合學(xué)生的身心發(fā)展的特點和直觀教學(xué)的原則?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確提出“幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)”，而數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是在做中積累起來的。折紙的活動可以使學(xué)生獲得直接的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，在一次次的親歷中理解數(shù)學(xué)、喜愛數(shù)學(xué)。但“折”只是形式，折的過程中所伴隨的數(shù)學(xué)思想才是靈魂。折紙的所有活動都指向數(shù)學(xué)觀察、推理、交流、抽象和歸納，最終建立數(shù)學(xué)模型，促進學(xué)生思維的發(fā)展。折紙就是在“做中學(xué)”，在做中體會數(shù)學(xué)的推理、抽象、概括，感悟數(shù)學(xué)的智慧和美。

三、教學(xué)實踐的思辨與探尋

（一）教材有關(guān)折紙的邏輯順序思辨

蘇聯(lián)教育家維果茨基認(rèn)為：教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一發(fā)展階段的水平，然后在此基礎(chǔ)上進行下一個發(fā)展區(qū)的發(fā)展。

對新知的學(xué)習(xí)應(yīng)該有一定的生活的和思維的經(jīng)驗作為基礎(chǔ)，為了讓學(xué)生達(dá)到“跳一跳，就能夠得著”的目標(biāo)，必須要給學(xué)生提供豐富的思維原材料，折紙同樣如此。為了折紙成功，應(yīng)該在活動之前有一定的數(shù)學(xué)思維活動作基礎(chǔ)，否則折紙的活動就失去數(shù)學(xué)的意義。如在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級教材中，讓學(xué)生在長方形中折一個正方形，這樣的要求在二年級顯然偏高。因為要折出正方形，必須要在學(xué)習(xí)了正方形的邊角特征以及充分認(rèn)識了長方形和正方形之間的關(guān)系之后才可以，而這些內(nèi)容教材上都是安排在三年級系統(tǒng)學(xué)習(xí)，顯然這樣內(nèi)容應(yīng)該后置。

（二）教學(xué)探究與思量

1.建設(shè)好教學(xué)前后的橋梁

折紙教學(xué)的難度是不斷螺旋上升的，若處理得恰到好處，則有利于學(xué)生發(fā)展。折紙對不同年級學(xué)生有著不同的要求，前一年段的學(xué)習(xí)，不僅僅是為了解決本年段的知識性問題，也是為下一年段的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。根據(jù)教材內(nèi)容的編排特點，教學(xué)上應(yīng)該將折紙分為以下三個階段：

（1）初級階段：折得規(guī)范

低年級的折紙操作比較容易，在教學(xué)的過程中，很多老師只關(guān)注學(xué)生折紙的結(jié)果正確與否而忽視了學(xué)生折的過程的規(guī)范性，而當(dāng)折紙的活動越來越復(fù)雜，折紙過程的規(guī)范性就顯得尤為重要。

（2）中級階段：“折思并重”

相較于初級階段的折紙，在中年段無論是折的要求還是折的步驟都要復(fù)雜很多，這就要求提高中年段學(xué)生折紙思維的參與度。折紙之前要思考好每一個環(huán)節(jié)，做到“思在前折在后”;折之后要反思折紙過程是否嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，折紙結(jié)果是否正確合理。一言以蔽之，思維與操作每時每刻都是共同伴隨的。

（3）高級階段：折出模型

模型是數(shù)學(xué)內(nèi)部世界與外部世界之間的橋梁，模型就是數(shù)學(xué)在解決問題的過程中思維活動的結(jié)果。折紙的重要目標(biāo)之一是幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，模型的建立同樣需要豐富的經(jīng)驗積累。如在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)之前，學(xué)生已經(jīng)有了非常多的折紙經(jīng)驗儲備，分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的教學(xué)其實就是學(xué)生將長方形紙通過折紙的方法，平均分成若干等分，經(jīng)歷觀察、比較、抽象、概括后尋找關(guān)系建立的數(shù)學(xué)模型。

2.賦予折紙新的教學(xué)意義

一種生命力強的教學(xué)策略或者學(xué)習(xí)活動，應(yīng)該具有以下的特點：操作簡單、容易推廣、使用范圍廣，具有科學(xué)性并蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想。折紙具備了上述特點，讓每一個學(xué)生擁有充分參與思維活動的時空。那么折紙除了在教材中的幾何圖形的認(rèn)識及分?jǐn)?shù)等章節(jié)中的重要作用外，還可能有哪些特殊的應(yīng)用呢？筆者在教學(xué)活動中做一些嘗試性的探尋。

（1）折紙——平行四邊形面積的再創(chuàng)造

教學(xué)路徑的展開，有時教師可以獨辟蹊徑，通過不同的角度對教材內(nèi)容進行改編，從而達(dá)到更好的教學(xué)效果。例如，教材中有關(guān)平行四邊形的面積教學(xué)是借助方格紙來展開的，而普通的平行四邊形因為其不具有軸對稱性，在小學(xué)階段折紙的內(nèi)容很少涉及平行四邊形，但是在學(xué)習(xí)平行四邊形面積之前學(xué)生已經(jīng)有了豐富的折紙經(jīng)驗，如果在此處向?qū)W生提供一些通過折紙得出平行四邊面積的方法，不僅豐富了方法的多樣性，還能溝通知識的前后聯(lián)系，豐盈學(xué)生的思維過程，提升學(xué)生思維能力。

（2）折紙——直線位置關(guān)系的好幫手

古人云：“文似看山不喜平?！苯處煹恼n堂也應(yīng)有波瀾起伏，課堂教學(xué)的活動設(shè)計應(yīng)該有動有靜，動靜結(jié)合才能達(dá)到較好的教學(xué)效果。例如，在學(xué)習(xí)直線間的位置關(guān)系時，教材并沒有出現(xiàn)折紙的內(nèi)容，僅僅以平面圖形上線段的形式出現(xiàn)。但是筆者認(rèn)為：給學(xué)生呈現(xiàn)的若只是靜態(tài)的結(jié)果，所蘊含的思維價值是非常有限的。教師可以創(chuàng)設(shè)思維環(huán)境，把靜態(tài)圖形中的線段，加入折紙過程，讓學(xué)生通過參與創(chuàng)造直線平行與垂直，最終理解直線間垂直與平行的關(guān)系及原因。

（3）折紙——數(shù)學(xué)課堂的調(diào)味劑

托爾斯泰說：“成功的教學(xué)所需要的不是強制而是激發(fā)學(xué)生的興趣?！毙W(xué)數(shù)學(xué)的課堂趣味性活動必不可少。由于小學(xué)生知識水平的限制，折紙在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中只發(fā)揮了極小的部分功能，但是數(shù)學(xué)教師可以適時向?qū)W生介紹一些折紙中比較有趣的方法和知識，使數(shù)學(xué)課堂更加豐富、有活力。例如：在學(xué)習(xí)立體圖形時，教師可以介紹如何用正方形紙折出正方體;在學(xué)習(xí)量角時，教師可以介紹30°和60°角的折法，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和思維需求。

根據(jù)教育心理學(xué)家皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論，小學(xué)生的抽象思維水平較低，其思維層次在很大程度上處在形式邏輯思維階段，辯證思維還處在萌芽和初始狀態(tài)。因此，對概念的理解、判斷、推理在很大程度上離不開直觀手段的支撐，折紙讓抽象知識“可視化”。折紙不是最終目的，折紙活動應(yīng)該指向數(shù)學(xué)，應(yīng)該有“數(shù)學(xué)味”，“數(shù)學(xué)味”就是對數(shù)、形的理解，適度抽象，進行更高層次上的“再實驗”，幫助學(xué)生在活動中認(rèn)識并改造自己的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。折紙活動將零散的知識結(jié)構(gòu)化、單一的圖形模型化、抽象的思維顯性化、靜態(tài)的圖形動態(tài)化，便于學(xué)生理解數(shù)學(xué)，建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。折紙活動作為多重價值的復(fù)合體，它在溝通思維與操作之間聯(lián)系扮演著舉足輕重角色，在教學(xué)上有更豐富的價值等待我們?nèi)グl(fā)掘。一張白紙，蘊含無限“紙”慧！

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