棋盤(pán)上的勾股定理

申艷

勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的一個(gè)重要數(shù)學(xué)定理，它也是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的重要工具.勾股定理不僅非常著名，而且有著巨大的實(shí)用價(jià)值，是出鏡率極高的幾何“明星”，下面，我們一起來(lái)看看在棋盤(pán)上如何運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題.

例1 （2018年一臺(tái)灣）嘉嘉參加機(jī)器人設(shè)計(jì)活動(dòng)，需操控機(jī)器人在如圖1所示的5x5的方格棋盤(pán)上從A點(diǎn)行走至B點(diǎn)，每個(gè)小方格皆為邊長(zhǎng)為1的正方形.主辦單位規(guī)定了三條行走路徑R1，R2，R3，其行經(jīng)位置如圖1與表l所示，

已知A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七點(diǎn)皆落在格線的交點(diǎn)（即格點(diǎn)）上，且兩點(diǎn)之間的路徑皆為直線，在無(wú)法使用任何工具測(cè)量的條件下，請(qǐng)判斷R1，R2，R3三條路徑中，最長(zhǎng)與最短的路徑分別為哪條.寫(xiě)出你的答案，并說(shuō)明理由，

分析：網(wǎng)格中隱含直角，運(yùn)用勾股定理可以求出任何一條以格點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度.

易知R3

∴ 路徑R3 （A→G→B）最短，路徑R2（A→E→D→F→B）最長(zhǎng).

例2（2017年·浙江）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，從一個(gè)格點(diǎn)移動(dòng)到與之相距√5的另一個(gè)格點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為一次跳馬變換.例如，在4x4的正方形網(wǎng)格圖形中（圖2），從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)一次跳馬變換可以到達(dá)點(diǎn)B，G，D，E等處，現(xiàn)有20x20的正方形網(wǎng)格圖形（圖3），則從該正方形網(wǎng)格的頂點(diǎn)M經(jīng)過(guò)跳馬變換到達(dá)與其相對(duì)的頂點(diǎn)Ⅳ處，最少需要跳馬變換的次數(shù)是多少次？

分析：由頂點(diǎn)M跳到頂點(diǎn)Ⅳ，需盡可能減少路線中的曲折，且盡量沿直線肘Ⅳ（對(duì)角線）進(jìn)行跳馬交換.據(jù)此，可以發(fā)現(xiàn)圖4所示的路線路程最短：

①M(fèi)→B→C→D→ N;

②M→B1→C1→D1→N;

④M→B1→E→D1→N。

再利用勾股定理計(jì)算最短路線的長(zhǎng)，用最短路線的長(zhǎng)除以√5就是最少需要跳馬交換的次數(shù)，