用一次函數(shù)設(shè)計方案

張義

一次函數(shù)刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量之間的變化關(guān)系，不等式則刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量之間的大小關(guān)系，它們聯(lián)袂可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的方案優(yōu)化設(shè)計、投資費(fèi)用評估、生產(chǎn)獲利計算等問題，有關(guān)的試題也備受命題專家青睞，成為中考中一道亮麗的風(fēng)景線.本文選取數(shù)例加以剖析，供大家參考.

例1 某廠現(xiàn)有A種金屬70 t.B種金屬52 t，計劃用這兩種金屬生產(chǎn)M，N兩種型號的合金產(chǎn)品共80 000套，已知生產(chǎn)一套M型號的合金產(chǎn)品需要A種金屬0.6 kg，B種金屬0.9 kg，可獲利潤45元;生產(chǎn)一套Ⅳ型號的合金產(chǎn)品需要A種金屬1.1 kg，B種金屬0.4 kg，可獲利潤50元，設(shè)生產(chǎn)N型號的合金產(chǎn)品x套，用這批金屬生產(chǎn)這兩種型號的合金產(chǎn)品所獲的總利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量x的取值范圍.

（2）在生產(chǎn)這批合金產(chǎn)品時，Ⅳ型號的合金產(chǎn)品生產(chǎn)多少套時該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？

不等式組的解集是40 000 ≤x≤44 000.

∴ y與x的函數(shù)關(guān)系式是

y=5x+3 600 000（40 000≤x≤44 000）.

（2）因k=5>0，故y隨x的增大而增大.

∴當(dāng)x=44 000時，有y最大=3 820 000.

即生產(chǎn)N型號的合金產(chǎn)品44000套時，該廠所獲利潤最大，最大利潤是3 820 000元.

評注：利用一次函數(shù)解決最大利潤問題，一般是根據(jù)題目中提供的條件選取一個與利潤有關(guān)的變量，先列出關(guān)于這個變量的一次函數(shù)關(guān)系式.然后求出這個變量的取值范圍（可以結(jié)合已知條件列出關(guān)于這個變量的不等式組進(jìn)行確定）.雖然一次函數(shù)的圖象是一條直線，但當(dāng)自變量限定在某一范圍內(nèi)時，兩個端點(diǎn)處的函數(shù)值就是其最值.根據(jù)一次函數(shù)的增減性便可確定最大值或最小值.

例 2康樂公司在A.B兩地分別有同型號的機(jī)器17臺和15臺，現(xiàn)要把這些機(jī)器運(yùn)往甲地18臺，運(yùn)往乙地14臺.從A，B兩地運(yùn)往甲、乙兩地的費(fèi)用如下：

（1）如果從A地運(yùn)往甲地x臺，求完成以上調(diào)運(yùn)所需總費(fèi)用y（元）與x（臺）的函數(shù)關(guān)系式.

（2）請你為康樂公司設(shè)計一個最佳調(diào)運(yùn)方案，使總的費(fèi)用最少.最少的費(fèi)用是多少？

解析：本題所提供的信息縱橫交錯.我們可以通過繪制圖1來理清調(diào)運(yùn)機(jī)器臺數(shù)的情況.

（1） y=600x+500（17 -x）+400（18-x）+800（x-3）=500x+13 300.

（2）由（1）知，總運(yùn)費(fèi)y是關(guān)于x的一次函數(shù)，且k=500>0，故y隨x的增大而增大.

∴該公司完成以上調(diào)運(yùn)至少需要14 800元的運(yùn)費(fèi)，最佳的方案是：由A地調(diào)3臺至甲地，14臺至乙地：由B地調(diào)15臺至甲地.

例3 某西瓜產(chǎn)地組織40輛汽車，裝運(yùn)A，B，C三種西瓜共200 t到外地銷售，按計劃，40輛汽車都要裝運(yùn)，每輛汽車只能裝運(yùn)同一種西瓜，且必須裝滿.根據(jù)下表提供的信息，解答后面的問題.

（1）設(shè)裝運(yùn)A種西瓜的車輛數(shù)為戈，裝運(yùn)B種西瓜的車輛數(shù)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）如果裝運(yùn)每種西瓜的車輛數(shù)都不少于10輛，那么車輛的安排方案有幾種？請寫出各種安排方案.

（3）若要使此次銷售獲利達(dá)到25萬元，應(yīng)采取哪個車輛安排方案？

解析：（1）由題意，裝運(yùn)A種西瓜的車輛數(shù)為x，裝運(yùn)B種西瓜的車輛數(shù)為y.則裝運(yùn)C種西瓜的車輛數(shù)為（40-x-y）.于是就有4x+5y+6 （40-x-y）=200，整理得y=40-2x.

（2）由（1）可知，裝運(yùn)A，B，C三種西瓜的車輛數(shù)分別為x，40-2x，x.

由題意得{x≥10. 解得10≤x≤15.

40-2x≥10

∴x的值是10，11，12，13，14，15.安排方案有6種，見表3.

（3）設(shè)銷售利潤為W（百元），則W=4x×16+5 （40-2x）x10+6xx12=2 000+36x.

由已知得2 000+36x≥2 500.故有x≥13 8/ 9

則x=14或x=15，故應(yīng)選方案5或方案6.