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    判定平行四邊形的思路

    2020-11-06 07:36:52王保全
    關(guān)鍵詞:平分對角對角線

    王保全

    如何根據(jù)平行四邊形的判定條件判定一個四邊形是平行四邊形,是“平行四邊形”一章的重點.判定一個四邊形是平行四邊形大致上有五種方法,這五種判定方法可以劃分為三類.

    1.與四邊形的對邊有關(guān)

    (1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形:

    (2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形:

    (3) -組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

    2.與四邊形的對角有關(guān)

    (4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

    3.與四邊形的對角線有關(guān)

    (5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,

    不難看出,要判定一個四邊形是平行四邊形,可以依據(jù)不同的題設(shè)條件,選擇不同的判定方法.通常,我們都從以下三個方面人手.

    —、從對邊上

    如果在對邊上有已知條件,或者已知條件和對邊有密切聯(lián)系,常考慮使用(1)或(2)或(3).

    例1 如圖1所示,在oABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,CD上的點.BF平分∠ABC交CD于F,DE平分∠CDA交AB干E.M,N分別是DE,BF的中點.求證:四邊形ENFM是平行四邊形,

    解析:由已知條件知△ADE和△CBF都是等腰三角形,從而DF=BE.又因為四邊形ABCD是平行四邊形,則有DF//BE,因此可知四邊形DEBF是平行四邊形.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知DE=BF,DE //BF.又因為M,N分趴是DE,BF的中點,則有ME=NF.于是根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可知四邊形ENFM是平行四邊形.

    點評:上面用的是“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理.也可用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”去證.此時要在證明四邊形DEBF是平行四邊形的基礎(chǔ)上,繼續(xù)證明△DMF≌△BNE.

    二 從對角上

    如果在對角上有已知條件,或者已知條件和對角有密切聯(lián)系,??紤]使用(4).

    例2如圖2所示,在◇ABCD中,若AE.CF分別是∠BAD和∠DCB的平分線,四邊形AFCE是平行四邊形嗎?如果是,請說明理由.

    解析:解題的關(guān)鍵,是設(shè)法根據(jù)已知條件和三角形外角定理證明該四邊形的兩組對角分別相等.

    ∵四邊形ABCD是平行四邊形,

    ∴ ∠B=∠D, ∠BAD= ∠DCB.

    又AE,CF分別平分∠BAD和∠DCB,

    ∴ ∠4=∠3=∠2=∠1.

    又∠AEC=∠B+ ∠3,∠A FC=∠D+∠1,

    ∴ ∠AEC=∠AFC.

    ∴ 四邊形AFCE是平行四邊形(兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形).

    點評:如果題目中的已知條件與角有關(guān),那么我們要充分利用這些條件,盡量考慮用“對角相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理,

    三、 從對角線上

    如果在對角線上有已知條件,或者已知條件和對角線有密切聯(lián)系,應(yīng)優(yōu)先考慮使用(5).

    例3 如圖3所示,在oABCD中,對角線AC與BD交于點O.點E.F分別是AO.CO的中點,求證:四邊形BEDF是平行四邊形.

    解析:∵ 四邊形ABCD是平行四邊形,

    ∴ AO=CO.BO=DO.

    又∵E,F(xiàn)分別是AO,CO的中點,

    ∴ EO=FO.

    ∴ 四邊形BEDF是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形).

    點評:此題中的已知條件與對角線有關(guān),故可從平行四邊形的對角線的性質(zhì)入手,聯(lián)系對角線的特點判定平行四邊形.

    練習 1.在四邊形ABCD中,對角線AC.肋相交于點O.現(xiàn)給出下列四組條件:

    ①AB//CD,AD//BC;

    ②AB=CD,AD=BC;

    ③AO=CO,BO=DO;

    ④AB//CD,AD=BC.

    其中一定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件有(?).

    A.4組 B.3組 C.2組 D.1組

    2.如圖4,在下列條件中,能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是(?).

    A.A B=DC,BC//AD

    B.∠BAD= ∠BCD.∠1=∠2

    C.AB=DC.AO=CO

    D.BC=AD,BC∥AD

    (答案在本期找)

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