從勾股定理到佘弦定理

田載今

三條邊與三個角是構(gòu)成三角形的基本元素，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，是三角形的三邊具有的一般關(guān)系三個內(nèi)角之和等于180°.是三角形的三個角具有的一般關(guān)系，三角形的邊與角之間還有哪些一般關(guān)系呢？

我們先從直角三角形說起，直角三角形的特殊之處是有一個角是直角，正是此特殊性使得它的三邊具有特殊的數(shù)量關(guān)系（勾股定理）：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，勾股定理早在三千年前就被人發(fā)現(xiàn)，并廣泛傳播.在數(shù)學(xué)的發(fā)展中，勾股定理作用巨大，影響深遠(yuǎn).

數(shù)學(xué)命題是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成的.勾股定理的條件是“已知三角形的一個內(nèi)角是直角”，結(jié)論是“斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”，常寫為c²=a²+b².這是直角三角形的一個性質(zhì)定理，式子c²=a²+b²表示的是三邊之間的數(shù)量關(guān)系，但其中隱含了∠C是直角這個不可或缺的題設(shè)，

對于銳角三角形或鈍角三角形，它們的三邊之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系？我們從下面的具體問題開始討論.

例1 如圖1，銳角△ABC中，記∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，∠=45°，試求a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系.

分析：在直角三角形中可用勾股定理表示三邊之間的數(shù)量關(guān)系.這個△ABC雖非直角三角形，但可以在其內(nèi)構(gòu)造直角三角形，為借助勾股定理進行討論創(chuàng)造條件.

例2 如圖3，鈍角△ABC中，記∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，∠C=120°.試求a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系.

分析：雖然∠C是鈍角，但也可以構(gòu)造直角三角形，為借助勾股定理進行討論創(chuàng)造條件，

小結(jié)：上面兩例中，雖然△ABC都不是直角三角形，但適當(dāng)添加輔助線后，都構(gòu)造出了新的直角三角形，由此就可以利用勾股定理討論相關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系了，又由于題目中∠C的大小給定了，于是就能進一步“確切地”求出△ABC的三邊a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系.

回顧例1中的c2=a2+b2_2ab和例2中的c²=a²+b²+2ab，兩式中的b都是自點A向CB邊所在直線引垂線，點C與垂足D之間的線段長.線段CD稱為線段CA在直線CB上的投影，也就是說b是邊CA在邊CB所在直線上的投影長，把這兩式統(tǒng)一起來.可以寫為c²=a²+b²±2ab.

③當(dāng)∠C為銳角時2ab前取“一”號，當(dāng)∠C為鈍角時2ab前取“+”號，③式不僅把銳角三角形與鈍角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系統(tǒng)一了起來，而且也涵蓋了直角三角形的情形.如圖5.當(dāng)∠C為直角時，邊CA在邊CB所在直線上的投影為一個點C（垂足D與點C重合），此時投影長度b=0.所以有c²=a²+b²+2ab =a²+b².這與勾股定理一致.

上面所說的b不是△ABC中的原始邊長，而是邊CA在直線CB上的投影長度，它的大小與兩個因素相關(guān)：一個是選CA的長度b，另一個是∠C的大小.請看圖6，（1）（2）（3）（4）中的CA =b 一樣長.（1）（2）中∠C為銳角，邊CA的投影CD落在邊CB上，∠C越大投影長度b越短;（3）（4）中∠C為鈍角，邊CA的投影CD落在邊CB的反向延長線上，∠C越大投影長度b越長.

如果規(guī)定射線CB為正方向，則射線BC為負(fù)方向.于是，又可以規(guī)定當(dāng)∠C為銳角時，邊CA的投影CD為正值6，即b=b;當(dāng)∠C為鈍角時，邊CA的投影CD為負(fù)值6，即b=-b.當(dāng)∠C的大小為某一定值時，這就是在高中數(shù)學(xué)中要學(xué)習(xí)的余弦定理，它對三角形的邊角計算有重要作用，

由上可知，勾股定理是推導(dǎo)出余弦定理的基礎(chǔ)，同時它又是余弦定理當(dāng)∠C為直角時的特殊情況.由勾股定理到余弦定理，是從特殊三角形到一般三角形的推廣。