伸縮因子優(yōu)化機(jī)械臂軌跡跟蹤控制的誤差分析

王宏濤， 蔣汶松， 蔣清澤， 張 強(qiáng)， 戴 寧

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

1 引 言

機(jī)械臂軌跡跟蹤控制是運用控制器對機(jī)械臂各關(guān)節(jié)施加控制力矩來實現(xiàn)對關(guān)節(jié)軌跡的跟蹤，使得機(jī)械臂在實際運動過程中的關(guān)節(jié)角位移與控制器發(fā)出的關(guān)節(jié)角位移相吻合，最終使機(jī)械臂末端完成指定的運動軌跡[1]。由于機(jī)械臂自身的物理參數(shù)受負(fù)載變化的影響以及關(guān)節(jié)間的耦合性等，使得建立機(jī)械臂的精確數(shù)學(xué)模型存在不確定性，這在一定程度上明顯影響了機(jī)械臂的實際控制效果[2]。因此，機(jī)械臂軌跡跟蹤控制的目標(biāo)是以較低的偏差對期望關(guān)節(jié)軌跡進(jìn)行跟蹤[3]。

模糊控制方法不依賴被控對象的精確數(shù)學(xué)模型，尤其適合機(jī)械臂軌跡跟蹤控制。在設(shè)計模糊控制器時，導(dǎo)致模糊控制器精度不理想的主要原因是：控制器的自身結(jié)構(gòu)缺乏積分環(huán)節(jié)和控制規(guī)則數(shù)量受控制系統(tǒng)運算量、實時性以及響應(yīng)速度等的限制[4]。為此，相關(guān)學(xué)者提出了2種解決方案：一種是將模糊控制方法與其他智能控制方法、智能算法和數(shù)學(xué)方法相結(jié)合用于解決工程應(yīng)用問題，例如與滑模變結(jié)構(gòu)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、比例-積分-微分(proportion-integral-derivative，PID)控制、遺傳算法、計算力矩控制、小波包變換等等相結(jié)合[5～8]。另一種是進(jìn)一步發(fā)展模糊控制理論，李洪興等提出了變論域模糊控制方法[9，10]。變論域模糊控制算法的核心思想是，通過一組非線性伸縮因子在線調(diào)節(jié)論域，通過論域隨偏差及偏差變化率的變化而變化來減少初始控制規(guī)則的數(shù)量，并使論域劃分在期望控制點附近變得非常精細(xì)，實現(xiàn)自適應(yīng)與高精度的控制目的。由此可見，設(shè)計合適的伸縮因子是變論域模糊控制器設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

伸縮因子的類型主要有比例型、積分型和指數(shù)型[11]，近幾年在機(jī)械工程領(lǐng)域應(yīng)用變論域模糊控制器解決實際問題的代表性工作主要有：龍祖強(qiáng)[12]設(shè)計了作用于雙輸入單輸出論域的指數(shù)型伸縮因子，運用變論域模糊控制方法實現(xiàn)了數(shù)控車床伺服系統(tǒng)的定位控制，提高了工件定位精度；萬敏等[13]則將基于雙輸入單輸出論域的指數(shù)型伸縮因子的變論域模糊控制器首次應(yīng)用于兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制。

本文設(shè)計了一種具有比例-指數(shù)混合型(簡稱混合型)伸縮因子的軌跡跟蹤變論域模糊控制器；基于相平面的離線軌跡規(guī)劃算法獲取了機(jī)械臂笛卡爾空間的期望關(guān)節(jié)軌跡；應(yīng)用所設(shè)計的控制器實現(xiàn)了三關(guān)節(jié)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制仿真；分析了軌跡跟蹤控制的誤差，并與文獻(xiàn)[13]提出的基于指數(shù)型伸縮因子的變論域模糊控制器的控制效果進(jìn)行了對比分析。

2 機(jī)械臂動力學(xué)方程

由文獻(xiàn)[14]可知，忽略摩擦力以及機(jī)械臂末端負(fù)載，機(jī)械臂動力學(xué)方程表達(dá)形式如下：

(1)

機(jī)械臂動力學(xué)方程描述了力矩與各關(guān)節(jié)角度、角速度以及角加速度之間的關(guān)系，根據(jù)動力學(xué)方程完成機(jī)械臂軌跡跟蹤控制算法的設(shè)計，運行該算法獲得各關(guān)節(jié)實時采樣輸出的仿真關(guān)節(jié)角度，并與期望關(guān)節(jié)角度進(jìn)行比較，兩者的差值可以衡量所設(shè)計的軌跡跟蹤控制算法的有效性，并進(jìn)行軌跡跟蹤誤差分析。

3 機(jī)械臂軌跡跟蹤的變論域模糊控制方法

以三關(guān)節(jié)機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制為例，根據(jù)機(jī)械臂動力學(xué)方程，設(shè)計了一種變論域模糊控制方法，其對應(yīng)的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 三關(guān)節(jié)機(jī)械臂變論域模糊控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure draft of variable universe fuzzy control system for three-joint manipulator

圖1中：各符號的下標(biāo)n=1，2，3表示機(jī)械臂關(guān)節(jié)數(shù)量；qdn表示機(jī)械臂3個關(guān)節(jié)的期望關(guān)節(jié)角度；qn表示輸出的3個關(guān)節(jié)的仿真關(guān)節(jié)角度；d/dt表示[d(qdn-qn)]/dt。圖中虛線部分表示變論域模糊控制器，常數(shù)Ken和Kvn分別代表偏差和偏差變化率的量化因子；變量en和vn分別代表經(jīng)過量化因子作用后的無量綱的關(guān)節(jié)角度偏差和關(guān)節(jié)角度偏差變化率；α1(en)定義為關(guān)節(jié)角度偏差的伸縮因子，α2(en,vn)定義為偏差變化率的伸縮因子，F(xiàn)(en,vn,un)是用于計算變量un值的函數(shù)；β(un)定義為輸出力矩的伸縮因子；變量un表示無量綱的輸出力矩；常數(shù)Kun稱為變量un的比例因子；τn表示作用于機(jī)械臂3個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)矩。

將三關(guān)節(jié)機(jī)械臂的輸入變量en和vn的模糊集取為{FD，F(xiàn)X，L，ZX，ZD}，即{負(fù)大，負(fù)小，零，正小，正大}；輸出變量un的模糊集取為{FD，F(xiàn)Z，F(xiàn)X，L，ZX，ZZ，ZD}，即{負(fù)大，負(fù)中，負(fù)小，零，正小，正中，正大}；設(shè)計出如表1所示的具有25條控制規(guī)則的變論域模糊控制器規(guī)則表。

表1 模糊規(guī)則表Tab.1 Table of fuzzy rule

輸入變量en、vn與輸出變量un的隸屬函數(shù)取三角形隸屬函數(shù)。取量化因子Ke1=9，Ke2=14，Ke3=4；Kv1=7，Kv2=9，Kv3=3；取比例因子Ku1=7.5，Ku2=6，Ku3=5，采用強(qiáng)度轉(zhuǎn)移模糊推理法和中心平均解模糊法確定模糊控制器表達(dá)式的形式[12]為：

(2)

4 變論域模糊控制器伸縮因子的設(shè)計

(3)

(4)

(5)

式中：E、V分別為輸入變量en和vn的初始論域；U為輸出變量un的初始論域；ρ取值為1左右；參數(shù)ε稱為貼現(xiàn)因子，ε∈(0,1)；δ為充分小的正數(shù)?；旌闲蜕炜s因子相關(guān)參數(shù)值分別?。狠斎胱兞縠n和vn的初始論域E、V和輸出變量un的初始論域U均定義為[-7，7]；ρ=1，ε=0.98，δ=0.002。

5 基于相平面的期望關(guān)節(jié)軌跡的獲取

運用上述設(shè)計的三關(guān)節(jié)機(jī)械臂變論域模糊控制系統(tǒng)進(jìn)行軌跡跟蹤控制仿真時，需要先獲得控制系統(tǒng)的輸入qdn，即3個關(guān)節(jié)的期望關(guān)節(jié)角度。采用基于相平面的時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法獲得期望關(guān)節(jié)角度[15]。

一般情況下，存在不同的曲線方程描述同一條曲線，描述同一條曲線的不同曲線方程由方程間的參數(shù)變換聯(lián)系起來。特別是在笛卡爾空間機(jī)械臂軌跡曲線取自身弧長s為參數(shù)進(jìn)行弧長參數(shù)化后，利用機(jī)械臂的正、逆運動學(xué)分析方法，可以建立機(jī)械臂關(guān)節(jié)角度向量q與弧長s的映射關(guān)系F：

q=F(s)，s∈[0，sn]

(6)

式中：sn是笛卡爾空間機(jī)械臂軌跡曲線的總長度。

對于任意的單調(diào)遞增二階可微函數(shù)F均滿足下述關(guān)系：

(7)

結(jié)合式(1)與(7)，可以得到：

(8)

式中：

(9)

三關(guān)節(jié)機(jī)械臂各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩τn滿足約束條件τn,min≤τn≤τn,max，由式(8)有：

(10)

以3個關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機(jī)械臂為例，其 D-H (Denavit-Hartenberg)參數(shù)見表2。

表2 三關(guān)節(jié)機(jī)械臂的D-H參數(shù)Tab.2 D-H parameters of three-joint manipulator

根據(jù)D-H參數(shù)選取如式(11)所示的笛卡爾空間軌跡，取弧長s為參數(shù)，可以建立如式(12)所示的弧長參數(shù)方程。

(11)

(12)

以機(jī)械臂末端走完式(12)軌跡所花時間最短為優(yōu)化目標(biāo)，最終得出三關(guān)節(jié)機(jī)械臂各個關(guān)節(jié)的軌跡。由于所獲得的3個關(guān)節(jié)的軌跡是無法顯式表達(dá)的非線性函數(shù)，所以可根據(jù)得出的各個關(guān)節(jié)的軌跡獲取時間-關(guān)節(jié)角度序列，選取0.02 s的時間間隔進(jìn)行一次采樣，則每一個采樣時間對應(yīng)輸出機(jī)械臂的一組3個關(guān)節(jié)的期望關(guān)節(jié)角度值，亦即為機(jī)械臂變論域模糊控制系統(tǒng)的輸入qdn。

6 仿真與誤差結(jié)果分析

運用MATLAB/Simulink仿真環(huán)境搭建了三關(guān)節(jié)機(jī)械臂變論域模糊控制仿真系統(tǒng)。設(shè)置仿真步長t=0.02 s，仿真總時長為0.4 s時，則機(jī)械臂各個關(guān)節(jié)均可獲取21個采樣時間-期望關(guān)節(jié)角度序列，因而亦可獲得21個采樣時間-笛卡爾空間軌跡點坐標(biāo)序列，見表3。當(dāng)設(shè)置仿真總時長為1.2 s時，可獲得60個采樣時間-笛卡爾空間軌跡點坐標(biāo)序列，實現(xiàn)跟蹤式(11)所表示的三關(guān)節(jié)機(jī)械臂笛卡爾空間軌跡的理想整圓。

為驗證所提出的基于比例-指數(shù)混合型伸縮因子的變論域模糊控制器的控制效果，運用2個實驗進(jìn)行了對比分析。

表3 笛卡爾空間軌跡誤差值Tab.3 Trajectory error value in cartesian space

實驗1：將本文提出的比例-指數(shù)混合型伸縮因子與文獻(xiàn)[13]提出的指數(shù)型伸縮因子的變論域模糊控制器分別應(yīng)用于三關(guān)節(jié)機(jī)械臂關(guān)節(jié)角度軌跡跟蹤控制仿真，得到如圖2所示的關(guān)節(jié)角度輸出響應(yīng)曲線。圖2(a)是關(guān)節(jié)1分別使用混合型伸縮因子與指數(shù)型伸縮因子的變論域模糊控制器跟蹤機(jī)械臂期望關(guān)節(jié)軌跡所獲得的關(guān)節(jié)角度的對比圖；圖2(b)、圖2(c)分別為關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的關(guān)節(jié)角度對比圖。由圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)可見，與文獻(xiàn)[13]基于指數(shù)型伸縮因子的變論域模糊控制器相比，使用本文所設(shè)計的混合型伸縮因子的變論域模糊控制器，機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角度輸出均無超調(diào)，響應(yīng)速度更快。進(jìn)一步將仿真步長取為t=0.002 s，使得使用指數(shù)型伸縮因子與混合型伸縮因子的控制器仿真控制機(jī)械臂從理想圓內(nèi)某起始點開始能跟蹤理想完整圓軌跡，所獲得的笛卡爾空間仿真軌跡分別如圖3(a)、圖3(b)所示，顯而易見在軌跡跟蹤起始階段，指數(shù)型伸縮因子的變論域模糊控制器的超調(diào)較大。

圖2 關(guān)節(jié)角度輸出響應(yīng)曲線Fig.2 Response diagram of three joint angle output

圖3 笛卡爾空間圓擬合軌跡Fig.3 Fitting cycle trajectory in cartesian space

圖4 笛卡爾空間軌跡誤差Fig.4 Trajectory error diagram in cartesian space

表3列出了分別使用指數(shù)型伸縮因子和混合型伸縮因子的變論域模糊控制方法進(jìn)行機(jī)械臂軌跡跟蹤控制時，前21個采樣點的笛卡爾空間軌跡跟蹤誤差值。由圖4和表3可見，與基于指數(shù)型伸縮因子的變論域模糊控制方法相比，本文所設(shè)計的基于混合型伸縮因子的變論域模糊控制方法具有更小的控制誤差。

以上2個實驗的結(jié)果表明:提出的基于比例-指數(shù)混合型伸縮因子的變論域模糊控制方法，使得機(jī)械臂的關(guān)節(jié)空間和笛卡爾空間的軌跡跟蹤控制均具有更好的控制效果。

7 結(jié) 論

變論域模糊控制方法是在模糊控制的基礎(chǔ)上引入變論域思想，通過對輸入、輸出變量加入伸縮因子的方式來實現(xiàn)一種基于比例-指數(shù)型的混合伸縮因子的變論域模糊控制方法，并將該方法應(yīng)用于三關(guān)節(jié)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制。仿真結(jié)果表明：選取比例-指數(shù)型混合伸縮因子，相比于指數(shù)型伸縮因子，控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)快，穩(wěn)態(tài)精度高，具有更好的控制效果。