軸向氣流中懸臂壁板顫振的理論及風(fēng)洞實驗研究

朱弈嶂， 李 鵬， 梁 森， 楊翊仁

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院， 成都 610031)

引 言

軸向氣流中的壁板結(jié)構(gòu)在實際工程中有著非常廣泛的應(yīng)用，如大型機場、車站等建筑的頂棚均采用壁板(或殼體)設(shè)計。當(dāng)柔性的懸臂薄板狀物體放置在軸向流動的流體中時，壁板會受到持續(xù)的流體擾動。流體速度小于某一臨界值時，擾動會趨于穩(wěn)定而結(jié)構(gòu)則處于穩(wěn)定的靜止?fàn)顟B(tài)；而速度超過某一臨界值，擾動不會消失，這種現(xiàn)象被稱為顫振失穩(wěn)特性(flutter or flapping)[1]。Mechelin和 Doare論述了薄板顫振的現(xiàn)象在壓電晶體能量采集中的運用[2]。

在早期關(guān)于顫振的研究中，Paidoussis[3]進行了軸向氣流中柔軟的閥門的理論與實驗研究，發(fā)現(xiàn)因流速提高后的不穩(wěn)定現(xiàn)象本質(zhì)上是一種Kelvin-Helmholtz失穩(wěn)現(xiàn)象。Zhang等[4]的實驗研究使用了肥皂膜來維持二維特性，觀察到了一種雙穩(wěn)定現(xiàn)象，即當(dāng)給予一個足夠大的擾動時系統(tǒng)將從穩(wěn)定狀態(tài)演化到不穩(wěn)定的響應(yīng)，有靜止與振動兩種穩(wěn)定狀態(tài)。Benjamin等[5]提出了一種流固耦合系統(tǒng)的仿真模型(FSDS)，文中采用3個無量綱的參數(shù)描述了二維板的顫振過程。李晉[6]研究了帶有初始曲率的二維曲壁板的穩(wěn)定性研究。Li和Zhang等[7-11]進行了一系列薄板顫振理論研究，如赫茲接觸式位移約束置于軸向流中懸臂板，壁板顫振失穩(wěn)、分叉現(xiàn)象及極限環(huán)響應(yīng)，以及壁面效應(yīng)對顫振的影響。實驗方面，Watanabe等[12]觀察到了氣流中造紙工業(yè)半成品的顫振現(xiàn)象。Vandenberghe等[13]在風(fēng)洞中進行了有關(guān)壁板穩(wěn)定性的實驗，發(fā)現(xiàn)了薄板顫振的雙穩(wěn)定現(xiàn)象。張德春等[14]對倒置的懸臂板進行了風(fēng)洞實驗，研究了壁板的靜態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象。

本文建立了軸向氣流中薄板結(jié)構(gòu)的顫振失穩(wěn)理論的線性分析模型，采用行波解法獲得了顫振臨界狀態(tài)下各無量綱參數(shù)之間的關(guān)系，并對特定試件的顫振臨界速度進行初步預(yù)測，以指導(dǎo)后續(xù)實驗。同時用迦遼金法，取懸臂梁的前兩階模態(tài)進行穩(wěn)定性計算，結(jié)果與行波解的趨勢一致。在理論工作的基礎(chǔ)上，設(shè)計并制作了用于改善湍流度的整流罩，進行了風(fēng)洞實驗，測得包括鋁板、銅板、ABS板在內(nèi)的多個試件顫振速度與振動信號，最后對實驗數(shù)據(jù)結(jié)果與理論預(yù)測結(jié)果進行對比分析。

1 壁板顫振的理論分析

本文考察的是軸向氣流中放置懸臂式壁板，該壁板前緣受到固支約束而其后緣可自由運動，如圖1所示。流場的均勻速度為U，密度為ρf；板的厚度為h，密度為ρs，長度與寬度分別為L和H。

圖1 懸臂壁板的力學(xué)模型

由于本文目的在于考察系統(tǒng)的顫振失穩(wěn)特性，因此考慮壁板在小變形時的振動方程為[5]：

(1)

其中：EI為壁板的彎曲剛度，ma為流體力的附加系數(shù)，T為由流體粘性而導(dǎo)致的壁板表面上的張力，假設(shè)T遵從布拉佛斯層流邊界層理論[5],則：

(2)

其中，Re為雷諾數(shù)。為便于理論分析，在下文中可取T的最大值，即

T(x)≈T(0)=1.3ρfV2LRe-1/2

(3)

對式(1)進行無量綱化，可得：

(4)

其中的無量綱參數(shù)定義為：

(5)

本文采用行波解法對系統(tǒng)可能發(fā)生顫振失穩(wěn)進行分析以獲得系統(tǒng)的顫振邊界。假設(shè)w=Aekx-ωt[15]并與式(3)一起代入式(4)中可得：

(μ+cm)ω2+(cm-1.3Re-1/2)k2-

KBk4-2cmk=0

(6)

從上式可得：

對于本文考察的顫振失穩(wěn)，應(yīng)有Δ<0，即：

(7)

在勢流條件下，根據(jù)Coene(1992)[15]提出的理論cm=ma/ρfL=2/k。因此在給定雷諾數(shù)Re與k后，可通過式(7)獲得系統(tǒng)顫振邊界(KB-μ)。圖2描述了雷諾數(shù)Re=5×105時不同波數(shù)下系統(tǒng)的顫振邊界。由圖2可知，不同k值對應(yīng)的顫振邊界隨質(zhì)量比μ變化表現(xiàn)出類似的變化趨勢，隨著μ的增大，系統(tǒng)的顫振邊界均會增大。圖3給出了系統(tǒng)顫振邊界隨雷諾數(shù)Re的變化規(guī)律，由圖3可知，當(dāng)Re較小時(Re<5000)顫振邊界對雷諾數(shù)變化較為敏感，但當(dāng)Re較大時(Re>5000)其對顫振邊界的影響較小。

圖2 雷諾數(shù)Re=5×105時不同行波波長下的顫振邊界

圖3 行波波長k=2π時不同雷諾數(shù)下的顫振邊界

上文對薄板顫振的預(yù)測是單模態(tài)的，下面對系統(tǒng)可能出現(xiàn)的多模態(tài)耦合顫振現(xiàn)象進行預(yù)測，采用的方法為伽遼金法。離散控制方程中的位移w，采用懸臂梁的前i階模態(tài)，對控制方程進行時空分離：

w(x,t)=∑φi(x)·qi(t)

(8)

φi(x)=cosβix-coshβix+

ξi(sinβix-sinhβix)

(9-a)

(9-b)

其中，式(9-a)和式(9-b)為懸臂梁的第i階模態(tài)表達式，可取前2階模態(tài)進行計算。將式(8)中的每一階模態(tài)代入控制方程中，乘以φj并自0至l作定積分：

(10)

為方便計算，無量綱參數(shù)合并為以下四個：

M=μ+cm,K1=cm-1.3Re-1/2，

K2=KB,C=2cm

(11)

取前兩階模態(tài)，即i,j=1,2, 并將積分后的方程寫成矩陣形式，有：

(12)

式(12)為一個二次特征值問題。若解得特征值的實部為負，則系統(tǒng)的振幅變小、趨于穩(wěn)定；若特征值的實部為正，則系統(tǒng)的振幅不斷變大、系統(tǒng)發(fā)散，顫振失穩(wěn)現(xiàn)象出現(xiàn)。

圖4展示了各雷諾數(shù)下用迦遼金法計算得到的臨界無量綱剛度與質(zhì)量比的關(guān)系。曲線的上部表示穩(wěn)定，而曲線的下方表示失穩(wěn)的狀態(tài)。圖4中可觀察到臨界無量綱剛度隨質(zhì)量比的增加而增加，且在高雷諾數(shù)下粘性的影響對臨界剛度的影響變化不明顯，與圖3展示的行波解結(jié)果一致。

圖4 cm=1/π時的伽遼金解

2 壁板顫振的風(fēng)洞實驗研究

2.1實驗?zāi)Ｐ驮O(shè)計

本實驗采用的是Φ=1.2 m的開口式環(huán)流風(fēng)洞。實驗?zāi)Ｐ腿鐖D5所示。模型中，薄板沿著順流向采用豎直方式放置以減小壁板自重而產(chǎn)生的靜變形的影響。薄板前端預(yù)留60 mm的夾持段，并通過多根螺栓與夾持鋼板連接。壁板模型安裝完畢后，采用錘擊法多次測試模型的固有頻率并相應(yīng)地調(diào)整模型安裝，以保證實驗?zāi)Ｐ驮诩s束實現(xiàn)上與理論模型具有較高的吻合度。

圖5 實驗?zāi)Ｐ褪疽鈭D

由于螺栓凸起及外界數(shù)據(jù)線等會影響流場品質(zhì)，因此設(shè)計整流罩來減小其對流場的影響。整流罩的設(shè)計采用NACA 64-008A AIRFOIL (n64008a-il)的翼型設(shè)計，其在低速條件下具有較好的降低阻力的效果。整流罩以木質(zhì)骨架，上覆輕木板，再覆蓋熱縮膜制成。整流罩剖面如圖6所示。事實上，如表1中的實驗結(jié)果所示，整流罩是很有必要的，其對實驗結(jié)果的影響達到了10%左右。

圖6 整流罩剖面圖

實驗中采用中航電測BE120-3AA-P300應(yīng)變片和DH5908H采集器作為測量裝置。如圖7所示，應(yīng)變片粘貼于距離實驗段前緣30 mm的中間高度處，實時測取該點振動信號，并判定顫振失穩(wěn)狀態(tài)及其對應(yīng)的失穩(wěn)臨界速度。實驗中分別采用風(fēng)速緩慢升高和緩慢降低兩種方式進行吹風(fēng)實驗，以保證實驗結(jié)果的全面性。

圖7 風(fēng)洞實驗安裝示意圖

實驗中獲取的薄板根部的動態(tài)應(yīng)變可用作進一步分析。以銅板實驗為例，測得的信號(經(jīng)處理后)如圖8所示，前部細長的響應(yīng)為給予試件的激勵。當(dāng)風(fēng)速未達到臨界速度時，試件的振幅會迅速耗散；當(dāng)達到臨界速度時(如圖中后部較寬的部分)，試件開始持續(xù)不斷地顫振。此時稍稍減小風(fēng)速，試件仍處于振動狀態(tài)，且振幅穩(wěn)定。繼續(xù)減小風(fēng)速，至恢復(fù)速度時，試件停止振動，振幅為0，停止記錄。處理實驗結(jié)果，截取顫振后較為穩(wěn)定的一段數(shù)據(jù)并作傅里葉變換，即可得到臨界速度時的顫振頻率，如圖9所示。

圖8 典型的實驗信號

圖9 典型的實驗測試結(jié)果

2.2實驗結(jié)果及分析

為實現(xiàn)不同無量綱質(zhì)量比，本文選擇了銅板、鋁板、ABS板等3種材料的薄板進行了實驗，模型的顫振臨界速度的實驗結(jié)果見表1。實驗發(fā)現(xiàn)，模型在風(fēng)速升高及降低兩個測試過程中將出現(xiàn)不同的顫振臨界速度，分別記作：Uin和Ude(表1)。這種有趣的現(xiàn)象可稱為顫振失穩(wěn)的遲滯效應(yīng)。

表1實驗結(jié)果

對表1中每一組試件進行吹風(fēng)實驗，可測得顫振時的參數(shù)KB的值，稱其為顫振邊界值，結(jié)果如圖10中試驗值所示?？紤]選取等截面懸臂梁橫向振動頻率方程的第二、三個特征根及其中間的取值來估算系統(tǒng)的顫振邊界，即k=4.694(≈1.5π),6.28(≈2π),7.854(≈2.5π)，結(jié)果如圖10中本文理論結(jié)果所示。從這些結(jié)果可知，正如理論預(yù)測，實驗中壁板會出現(xiàn)顫振失穩(wěn)現(xiàn)象。實驗中測得的壁板處于顫振失穩(wěn)時典型的振動信號及其功率譜圖分別見圖9，從圖9可知，壁板處于單頻的周期振動，并符合顫振的運動特征，壁板出現(xiàn)了單模態(tài)顫振失穩(wěn)。實驗結(jié)果表明，顫振速度隨著質(zhì)量比的增大呈階梯增長趨勢。圖10中還展示了文獻[16]及文獻[17]的結(jié)果，二者分別基于數(shù)值渦格方法和有限入流非定常氣動力理論，計算了懸臂壁板的顫振失穩(wěn)時的無量綱參數(shù)，顫振邊界也出現(xiàn)了劇烈的增大趨勢，這也與本文的理論和實驗結(jié)果相吻合。事實上，這種現(xiàn)象與顫振模態(tài)的轉(zhuǎn)變密切相關(guān)：當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)量比較小時，系統(tǒng)的失穩(wěn)模態(tài)接近于高階模態(tài)失穩(wěn)；而當(dāng)系統(tǒng)具有較大的質(zhì)量比時，系統(tǒng)的失穩(wěn)模態(tài)卻是以二階模態(tài)為主。這說明，隨著系統(tǒng)質(zhì)量比的增大，系統(tǒng)的顫振失穩(wěn)模態(tài)會發(fā)生跳躍和轉(zhuǎn)變。

圖10 理論與實驗結(jié)果的對比

3 結(jié) 論

本文對軸向氣流中懸臂薄板顫振失穩(wěn)問題進行了理論及實驗研究。首先采用壁板表面的粘性張力研究流體粘性的作用，采用行波解獲得了壁板的顫振失穩(wěn)邊界；然后設(shè)計風(fēng)洞實驗?zāi)Ｐ筒㈤_展了3種材料的顫振實驗。主要的結(jié)論如下：

(1)采用本文的行波解可以預(yù)測系統(tǒng)的失穩(wěn)邊界，但無法給出系統(tǒng)顫振的頻率。

(2)懸臂壁板會發(fā)生單模態(tài)顫振失穩(wěn)，顫振臨界速度隨著質(zhì)量比增大而增加。

(3)系統(tǒng)的失穩(wěn)模態(tài)與質(zhì)量比密切相關(guān)，顫振模態(tài)會隨著質(zhì)量比增大而發(fā)生跳躍現(xiàn)象。

(4)系統(tǒng)的顫振失穩(wěn)存在遲滯現(xiàn)象。

需要指出的是，本文研究中發(fā)現(xiàn)了顫振模態(tài)的跳躍現(xiàn)象及遲滯這兩類有趣的動力學(xué)現(xiàn)象，但針對這些現(xiàn)象的機理尚不清晰，這也是后續(xù)的主要工作。