帶有負(fù)剛度裝置的超音速壁板穩(wěn)定性分析

楊石芪， 李 鵬， 楊翊仁

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院， 成都 610031)

引 言

負(fù)剛度是指力的增量與位移的增量比值為負(fù)的現(xiàn)象，例如在壓桿穩(wěn)定系統(tǒng)中，當(dāng)軸向力大于歐拉臨界力時(shí)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，此時(shí)橫向力與位移曲線(xiàn)的斜率就是負(fù)的；在彈塑性力學(xué)中，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)塑性變形，結(jié)構(gòu)力位移曲線(xiàn)出現(xiàn)下降段，此時(shí)結(jié)構(gòu)剛度為零或者為負(fù)。

傳統(tǒng)的被動(dòng)線(xiàn)性隔振器，使用小剛度從而獲得小的固有頻率，但是會(huì)出現(xiàn)大的靜態(tài)位移。為了克服這個(gè)問(wèn)題，需要設(shè)計(jì)一種非線(xiàn)性隔振器，具有大的靜態(tài)剛度和小的動(dòng)態(tài)剛度。有很多方法可以獲得這種非線(xiàn)性特性。Le[1]以?xún)蓪?duì)稱(chēng)的NSM裝置并聯(lián)正剛度結(jié)構(gòu)組成隔振系統(tǒng)用于汽車(chē)座椅，用來(lái)改善系統(tǒng)在低頻激勵(lì)下的隔振效果。研究表明，NSM系統(tǒng)對(duì)低頻激勵(lì)有顯著的隔振效果；含NSM裝置的系統(tǒng)的質(zhì)量位移響應(yīng)均方根(RMS)從原來(lái)激勵(lì)的268.5%降低至67.2%。Carrel[2]利用兩根斜彈簧組成NSM與垂直彈簧并聯(lián)組成非線(xiàn)性隔振系統(tǒng)，通過(guò)調(diào)整參數(shù)可以使得系統(tǒng)在靜平衡位置的動(dòng)剛度為零，并使得系統(tǒng)可以在擁有小靜態(tài)變形的同時(shí)具有小剛度的特性。David[3]提出用兩根預(yù)壓桿組成的NSM，可以使得原子力顯微鏡(AFMs)的噪音水平下降2～3倍；可以使AFMs得到更加清晰的圖像；也可以使得AFMs在更加惡劣的環(huán)境中工作。Huang[4]研究了由歐拉桿作為NSM的非線(xiàn)性隔振器。理論研究顯示，系統(tǒng)可以根據(jù)激勵(lì)的賦值大小表現(xiàn)為純軟化、混合軟-硬化、純硬化剛度系統(tǒng)；實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在考慮加速度傳遞率時(shí)，系統(tǒng)有更寬的隔振頻率范圍。在附加阻尼的影響下，系統(tǒng)在高頻段的衰減性能有所下降。Dong[5]研究了由磁負(fù)剛度彈簧(MNSS)并聯(lián)螺旋彎曲彈簧組成的隔振器。理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，MNSS可以降低隔振器的共振頻率；把隔振頻率擴(kuò)寬至低頻范圍。Han[6]對(duì)用弧形彈簧滾柱裝置并聯(lián)豎直彈簧的非線(xiàn)性隔振器進(jìn)行了研究。理論研究顯示提高阻尼比可以降低響應(yīng)峰值；實(shí)驗(yàn)表明非線(xiàn)性隔振系統(tǒng)與線(xiàn)性隔振系統(tǒng)相比有優(yōu)良的低頻隔振性能；對(duì)于某一確定隔振器，限制激勵(lì)賦值和適當(dāng)增加阻尼器可以獲得更好的隔振效果，適當(dāng)過(guò)載可以獲得更低的隔振頻率。

雖然NSM在系統(tǒng)隔振中表現(xiàn)出較好的性能優(yōu)點(diǎn)，但其在超音速壁板流致振動(dòng)的控制中的應(yīng)用還未見(jiàn)相關(guān)報(bào)道。本文以帶有NSM在超音速流作用下的二維壁板為研究對(duì)象，以研究NSM對(duì)壁板臨界失穩(wěn)特性的影響規(guī)律。文中考慮幾何非線(xiàn)性，采用一階活塞氣動(dòng)力模型，應(yīng)用Galerkin離散方法把偏微分方程化為常微分方程，利用Hopf分岔代數(shù)判據(jù)[7]給出系統(tǒng)的臨界流速和顫振頻率，調(diào)整NSM位置考察其對(duì)系統(tǒng)的影響。

1 NSM裝置

本文采用一種較為簡(jiǎn)單的負(fù)剛度結(jié)構(gòu)形式[2,8-9]，如圖1所示。兩水平彈簧剛度為Kh，豎直彈簧剛度為Kv，水平彈簧原長(zhǎng)L，水平彈簧在平衡位置的壓縮量為s，兩連接桿長(zhǎng)度為a。水平彈簧的一端與支座連接在一起，另一端與滑塊連接，滑塊可以在水平方向上自由滑動(dòng)，滑塊的另一端與連接桿鉸接在一起。當(dāng)連接桿處于水平位置時(shí)，豎直彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)，兩水平彈簧的彈簧剛度相同，所以結(jié)構(gòu)在此狀態(tài)下是穩(wěn)定的。

圖1 能實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度的裝置示意圖

當(dāng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生x位移時(shí)，有：

(1)

引入無(wú)量綱參數(shù)：

(2)

將式(1)對(duì)位移求導(dǎo)，并考慮式(2)，則無(wú)量綱剛度與無(wú)量綱位移之間的關(guān)系為：

(3)

圖2～圖4展示了不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)無(wú)量綱力-位移曲線(xiàn)和剛度-位移曲線(xiàn)的影響。

圖2 不同r1的無(wú)量綱力-位移和剛度-位移曲線(xiàn)(r2=1,r=1)

圖3 不同r2的無(wú)量綱力-位移和剛度-位移曲線(xiàn)(r1=0.7,r=1)

圖4 不同r的無(wú)量綱力-位移和剛度-位移曲線(xiàn)(r1=0.7,r2=1)

由圖2可知，當(dāng)r1<0.4時(shí)，系統(tǒng)并不能作為NSM使用；即使當(dāng)r1>0.4時(shí)，系統(tǒng)可作為NSM，但也只是在一定范圍內(nèi)起作用。這一結(jié)論也在圖3中得到了驗(yàn)證，由圖3可知，當(dāng)r2比較小時(shí)，系統(tǒng)可以一直當(dāng)NSM使用，但此時(shí)位移變化的范圍卻較小。圖4表明剛度比r對(duì)系統(tǒng)有顯著影響。當(dāng)r比較小時(shí)，水平彈簧不足以抵消豎直彈簧的能力，此時(shí)系統(tǒng)剛度保持為正值而不能作為NSM使用。

2 帶NSM的超音速二維壁板控制方程

考慮如圖5所示的對(duì)邊簡(jiǎn)支帶有NSM的二維壁板在超音速流作用下的力學(xué)模型，板長(zhǎng)為a，板厚h，板密度為ρ，彈性模量為E，橫向位移為w(x,t)。上表面有沿x方向超音速氣流，其速度為U∞，馬赫數(shù)為M∞，空氣密度為ρ∞。

圖5 帶有NSM的二維壁板在超音速氣流作用下的力學(xué)模型

根據(jù)Hamilton原理，采用修正的一階線(xiàn)性活塞氣動(dòng)力模型[10],得到系統(tǒng)控制方程為：

(4)

取無(wú)量綱參數(shù)：

(5)

將式(5)代入式(4)，得到：

(6)

選擇滿(mǎn)足對(duì)邊簡(jiǎn)支邊界條件的模態(tài)函數(shù)，并采用Galerkin方法對(duì)式(6)進(jìn)行離散，可得：

(7)

3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，對(duì)式(7)取前兩階模態(tài)進(jìn)行理論分析，展開(kāi)得到：

(8)

其中：G=q1sin(πr)+q2sin(2πr)

(9)

顯然(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)為式(9)的平衡點(diǎn)，此平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣對(duì)應(yīng)的特征方程為：

s4+p1s3+p2s2+p3s+p4=0

(10)

其中：

(11)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]的定理1，系統(tǒng)存在一對(duì)純虛根，且其他根具有負(fù)實(shí)部，需Δ3=0,Δ1>0，其中Δi為式(10)的第i階Hurwit行列式。由Δ3=0得到臨界流速為：

(12)

其中：

由文獻(xiàn)[7]中的定理2，得到系統(tǒng)的顫振頻率為：

(13)

4 算例分析及討論

參照文獻(xiàn)[12-14]，選取下面的一組參數(shù)：

E=70 GPa,h=2.5 mm，a=800 mm，ρ=2700 kg/m3，μ=0.3其他無(wú)量綱參數(shù)?。?/p>

Rx=-2.5π，M∞=2，Q=0.02，θ1=20，θ2=15，r1=0.7，r2=0.8。根據(jù)前面的討論，可以得到臨界流速和顫振頻率，見(jiàn)表1。

表1有/無(wú)NSM的壁板顫振臨界流速和顫振頻率比較

由表1的結(jié)果可知，NSM可以起到提高壁板的顫振臨界流速的效果。圖6給出了NSM在板不同位置時(shí)系統(tǒng)顫振臨界流速和顫振頻率的變化曲線(xiàn)。由圖6可知，系統(tǒng)的顫振臨界流速對(duì)NSM的位置較為敏感，其隨著NSM位置的變化呈現(xiàn)單峰值的非線(xiàn)性關(guān)系；NSM位于板的中部位置時(shí)，系統(tǒng)的顫振臨界流速有較大的提高；而在靠近兩端時(shí)，系統(tǒng)顫振臨界流速卻會(huì)有明顯的降低；系統(tǒng)的顫振頻率隨著NSM位置變化也呈現(xiàn)相似的規(guī)律，但其始終要低于沒(méi)有使用NSM的系統(tǒng)。

圖6 NSM在不同位置對(duì)結(jié)構(gòu)的影響

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了帶有NSM的二維壁板在超音速流作用下的穩(wěn)定性，建立了帶有NSM的大變形二維壁板控制方程，利用Hopf分岔代數(shù)判據(jù)得到顫振臨界流速和顫振頻率。結(jié)果表明：NSM可以提高壁板的顫振臨界流速；NSM在板中間部位時(shí)會(huì)提高系統(tǒng)的臨界流速，NSM靠近板的兩端時(shí)會(huì)降低系統(tǒng)的臨界流速；NSM始終會(huì)降低系統(tǒng)的顫振頻率。

需要指出的是，采用本文的NSM雖然可以提高系統(tǒng)顫振臨界流速，但其提高幅度還有待進(jìn)一步加深，這可能需要采用更為復(fù)雜的NSM而實(shí)現(xiàn)，這也是下一步需要開(kāi)展的工作。