關(guān)注核心考點(diǎn) 提升解題策略

文 王 瑞

學(xué)習(xí)了“對(duì)稱(chēng)圖形——圓”這一章之后，同學(xué)們對(duì)圓的有關(guān)性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系以及圓的有關(guān)計(jì)算都有了一定的了解，并能解決一些問(wèn)題。但如何根據(jù)題目的條件正確添加輔助線來(lái)解題，往往困擾著很多同學(xué)。下面老師結(jié)合江蘇省部分中考題與同學(xué)們一起梳理如何在圓中合理地添加輔助線。

一、邊等方向

例1（2020·江蘇南京）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在第一象限，⊙P與x軸、y軸都相切，且經(jīng)過(guò)矩形AOBC的頂點(diǎn)C，與BC相交于點(diǎn)D。若⊙P的半徑是5，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，8），則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）。

A.（9，2） B.（9，3）

C.（10，2） D.（10，3）

【分析】如圖2，設(shè)⊙O與x軸、y軸相切的切點(diǎn)分別是F、E點(diǎn)，連接PE、PF、PD，延長(zhǎng)EP與CD交于點(diǎn)G，則四邊形PEOF為正方形，可求得CG=3，再根據(jù)垂徑定理求得CD=6，進(jìn)而得PG=4，DB=3，便可得D點(diǎn)坐標(biāo)為（9，2）。

【答案】A。

【點(diǎn)評(píng)】遇切點(diǎn)，連接切點(diǎn)和圓心得直角；求弦長(zhǎng)作垂線段，連半徑，利用勾股定理。這些是圓中常見(jiàn)的輔助線，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握。

二、角等方向

例2（2020·江蘇鎮(zhèn)江）如圖3，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點(diǎn)，∠ADC=106°，則∠CAB等于（ ）。

A.10° B.14° C.16° D.26°

【分析】方法1：如圖4，連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，則可計(jì)算出∠BDC=16°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠CAB的度數(shù)。

方法2：如圖5，連接BC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，要求∠CAB的度數(shù)，則只需求∠B的度數(shù)，我們可以根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得。

【答案】C。

【點(diǎn)評(píng)】解決圓中角度的問(wèn)題，通常關(guān)注以下3個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)構(gòu)造輔助線解題：①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，并且等于該弧所對(duì)圓心角的一半；②直徑→90°圓周角，直徑←90°圓周角；③圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)→圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于相鄰角的內(nèi)對(duì)角。

例3（2020·江蘇泰州）如圖6，在⊙O中，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，弦AD、PC互相垂直，垂足為M，BC分別與AD、PD相交于點(diǎn)E、N，連接BD、MN。

（1）求證：N為BE的中點(diǎn)。

（2）若⊙O的半徑為8，的度數(shù)為90°，求線段MN的長(zhǎng)。

【分析】（1）如圖6，根據(jù)圓周角定理得∠ADP=∠BCP，由△CEM與△DNE為一組共頂點(diǎn)的三角形可知∠DNE=∠EMC=90°=∠DNB，最后由等腰三角形的判定和性質(zhì)可得結(jié)論。

（2）如圖7，連接OA、OB、AB、AC，先根據(jù)勾股定理得AB=，再 證明MN是△AEB的中位線，可得MN的長(zhǎng)。

（1）證明：∵AD⊥PC，

∴∠EMC=90°。

∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，

∴∠ADP=∠BCP。

∵∠CEM=∠DEN，

∴∠DNE=∠EMC=90°=∠DNB。

∴∠BDP=∠ADP，

∴∠DEN=∠DBN，

∴DE=DB，

∴EN=BN，

∴N為BE的中點(diǎn)。

（2）解：MN=。（過(guò)程略）

【點(diǎn)評(píng)】由條件“P為的中點(diǎn)”自然聯(lián)想到所對(duì)圓周角相等，要證明“N為中點(diǎn)”這個(gè)結(jié)論，勢(shì)必轉(zhuǎn)化為證“等腰△DEB”。本題的難點(diǎn)在于△CEM與△DNE為一組共頂點(diǎn)的三角形，即我們熟知的“8字”模型，因此同學(xué)們平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)模型的積累。

解決問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們一方面要“由因推果”，另一方面還可以“執(zhí)果索因”。兩種分析問(wèn)題的方法交替思考，才可能提高解題效率。

三、垂直方向

例4（2020·江蘇鹽城）如圖8，⊙O是△ABC的 外 接 圓，AB是⊙O的 直 徑，∠DCA=∠B。

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若DE⊥AB，垂足為E，DE交AC于點(diǎn)F，求證：△DCF是等腰三角形。

【分析】（1）如圖9，連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠A，根據(jù)圓周角定理得到∠BCA=90°，求得OC⊥CD，于是得到結(jié)論。

（2）根據(jù)已知條件得到∠A+∠DCA=90°，得到∠DCA=∠EFA，推出∠DCA=∠DFC，于是得到DC=DF。

【點(diǎn)評(píng)】通常切線的證明分為：①有交點(diǎn)，連半徑、證直角；②無(wú)交點(diǎn)，作垂直、證半徑。通過(guò)審題，我們不難發(fā)現(xiàn)，本題屬于第①類(lèi)，接下來(lái)只要等量代換即可證出直角。

例5（2020·江蘇無(wú)錫）如圖10，已知△ABC是銳角三角形（AC＜AB）。

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作直線l，使l上的各點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等；設(shè)直線l與AB、BC分別交于點(diǎn)M、N，作一個(gè)圓，使得圓心O在線段MN上，且與邊AB、BC相切；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若BM=，BC=2，則⊙O的半徑為_(kāi)_______。

【分析】（1）如圖11，作線段BC的垂直平分線交AB于M，交BC于N；作∠ABC的角平分線交MN于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，ON為半徑作⊙O即可。

（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E。設(shè)OE=ON=r，構(gòu)建方程求解即可。

【答案】（1）如圖11，直線l和⊙O即為所求。

【點(diǎn)評(píng)】尺規(guī)作圖問(wèn)題往往可以根據(jù)條件畫(huà)一個(gè)“草圖”，利用“草圖”倒過(guò)來(lái)想要求作的圖形應(yīng)滿(mǎn)足什么條件，再作圖。作圖問(wèn)題通常利用這種“假設(shè)法”來(lái)思考。

通常求線段長(zhǎng)的方法是：勾股定理，等積法，證明相似，而對(duì)于不能直接求解的還可以構(gòu)造方程求解。

縱觀以上例題，解題無(wú)非“轉(zhuǎn)化”。同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中要將“重要定理”“基本圖形”“基本思想”牢記于心，解題過(guò)程中應(yīng)對(duì)題目的知識(shí)本源進(jìn)行相關(guān)或相近聯(lián)想，通過(guò)解題積累經(jīng)驗(yàn)和策略。