彈性半空間地基梁的水平動力等效剛度

王 雪, 周鳳璽,2

(1. 蘭州理工大學 土木工程學院, 甘肅 蘭州 730050; 2. 蘭州理工大學 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心, 甘肅 蘭州 730050)

隨著地下空間的不斷開發(fā)和利用，隧道、地鐵等地下結構的抗震設計問題已經成為廣泛關注的重要課題.總體來說，地下結構的抗震分析可分為橫截面抗震分析和縱向整體抗震分析，其中，將隧道等細長形地下結構視為放置在彈性地基上的梁是目前進行整體縱向抗震分析的一種常用計算方法.隧道結構與周圍地基介質的相互作用則通過等效為彈簧和阻尼來反映.因此，地基-結構的動力相互作用，即地基介質的復剛度，包括水平和豎向剛度是地下結構縱向抗震分析中的重點.

楊光[1]采用有限元局部透射邊界方法在頻域內求解了地基動力剛度系數(shù).楊先建[2]由彈性半空間的波動理論,導出天然地基動力剛度系數(shù)理論公式.王四根[3]研究了地基表面在剛性動力荷載作用下的動力反應，提出一個求取地基動力剛度和黏滯系數(shù)的實用化方法，但未獲得顯式的位移和動力剛度解.王軍[4]根據彈性半空間計算模式實用化方法得到地基剛度系數(shù)計算值.蔡袁強等[5]運用Biot動力方程，研究了在豎向簡諧作用力下的飽和地基中埋置剛性圓柱基礎的動力響應問題，得到了等效豎向動力剛度的表達式；發(fā)現(xiàn)隨著基礎埋深的增加，等效豎向動力剛度的實部和虛部值線性增加.胡秀青等[6]考慮基礎側面與地基的相互作用，研究了埋置于單層飽和地基中的有質量的剛性圓柱基礎的豎向振動問題.余文正等[7]提出了地基剛度影響系數(shù)的概念，并運用三維彈性半空間內明德林解，推導出地基剛度影響系數(shù)的計算表達式.巴振寧等[8-9]采用間接邊界元方法 研究了層狀橫觀各向同性地基上明置條形基礎以及埋置條形基礎的動力剛度系數(shù).Dieterman等[10-11]研究了彈性半空間的豎向等效剛度和移動荷載作用下彈性地基梁的臨界速度，并在地基梁和半空間的界面處考慮垂直和剪切應力，研究了彈性半空間與有限寬度梁相互作用時的等效垂直剛度.Anam[12]使用分層介質的動態(tài)剛度矩陣來計算表面位移，進而獲得分層介質表面剛性基礎動態(tài)剛度的近似顯式表達式.Senjuntichai等[13]運用間接邊界積分方程法研究了均勻飽和半空間中埋置對稱剛性基礎在受到簡諧荷載作用下豎向動力響應.Rajapakse等[14]研究了均勻半空間中任意形狀剛性條形基礎動力剛度系數(shù)，發(fā)現(xiàn)剛度系數(shù)實部和虛部的變化均與泊松比有顯著聯(lián)系.Han等[15]運用PIM和MVF結合的方法，并通過傅立葉逆變換求解了層狀各向異性半空間中埋置剛性基礎動力剛度系數(shù).Guha等[16]針對軸向剛度開發(fā)了近似分析方法，通過數(shù)值分析，獲得底部管道的水平和垂直彈性剛度的關系.Liang等[17]運用間接邊界元求解了二維平面內層狀飽和與多孔彈性介質中半圓形基礎動力剛度系數(shù).

可見目前對地基梁的豎向動力剛度有一些研究成果，而針對地下隧道結構縱向抗震設計的水平動力剛度研究甚少.本次研究在彈性梁和彈性半空間動力相互作用的基礎上，通過理論推導得到水平動力等效剛度的解析表達，并進行數(shù)值分析，為實際地下工程抗震分析提供參考.

1 計算模型

考慮彈性梁與彈性半空間之間相互作用的簡化模型如圖1所示.梁的寬度為2a,x軸與梁中線重合，z軸指向半空間內部，半空間表面為z=0.梁的位移以所示方向為正.假設梁受到沿著x軸方向的動荷載，接觸面上的應力沿梁寬度方向均勻分布.

彈性半空間的運動方程為

μ2u+(λ+μ)

(1)

式中：u是彈性半空間的位移矢量；λ、μ是彈性半空間的拉梅常數(shù)；ρ是彈性半空間的質量密度；t是時間.

忽略彈性梁的自重，彈性半空間表面的邊界條件可以表示為

式中：σzz是彈性半空間的正應力；τzx是彈性半空間的剪切應力；F是彈性梁作用于半空間上的單位長度的縱向分布力；U0是彈性梁的水平位移；H(y)是單位階躍函數(shù).

彈性梁的縱向振動的運動方程為

(4)

式中：A是彈性梁的截面面積；ρb是彈性梁的質量密度；E是彈性梁的彈性模量.

半空間與梁在接觸處的位移連續(xù)性條件為

U0(x,t)=U(x,0,0,t)

(5)

半無限大彈體的運動方程滿足如下方程[18]

(6)

式中：U、V、W是x、y、z方向的位移.

勢函數(shù)φ和ψ滿足以下兩式

(7)

根據彈性力學基本方程，彈性半空間的正應力和剪應力可以表示為

(8)

2 水平動力等效剛度的計算

Fourier變換存在著如下形式

(9)

將式(9)代入式(7)，得

(10)

將式(9)代入式(8)，并結合式(2)和式(3)，可以得到Fourier域內的邊界條件如下:

(11)

(12)

(13)

(14)

式中:

(15)

式(11)的通解為

(16)

將式(16)代入式(11)中，可得

(17)

求解式(17)，可得

(18)

式中:

將式(9)代入式(6)，可以得到Fourier域內彈性半空間x方向上的位移為

(21)

將式(16)和式(18)代入式(21)，可得到在彈性半空間z=0處的邊界上的位移表達式：

(22)

將式(22)代入式(14)，可得

(23)

式中:

(24)

式(23)為彈性梁在彈性半空間里自由振動的表達式，同時也存在如下形式:

hu(ω,k1)[D(ω,k1)+χ(ω,k1)]=0

(25)

式中:

(26)

式(25)中中括號內的表達式為彈性梁與彈性半空間體系的彌散關系.表達式中的第一項描述了彈性梁的彌散特征，第二項描述了半空間的響應.

Fourier域內Winkler彈性地基梁的方程有如下形式：

(27)

式中：χ0是文克勒常數(shù).

比較式(25,27)可以看出χ(w,k1)為彈性半空間的水平動力等效剛度.因此，彈性半空間上寬度為2a的無限長的彈性梁的水平動力等效剛度由式(26)表示.

3 分析與討論

為了求解水平動力等效剛度，引入如下無量綱參數(shù)：

式中：ξ是y和x方向的波數(shù)比；νph是x方向的相速；βl,t是x方向的相速與P波和S波的波速比；χ*是水平動力等效剛度與拉梅常數(shù)之比.

將無量綱參數(shù)代入式(26)得

(28)

式中：

為了分析彈性半空間與彈性梁的水平動力的相互作用，對水平動力等效剛度式(28)采用數(shù)值積分方法進行計算.當ak1的值分別為0.1、0.2、0.3時，圖2和圖3分別繪出了水平動力等效剛度的實部和虛部隨參數(shù)βt的變化曲線.

由圖2和圖3可以看出，彈性地基梁的水平動力剛度和阻尼不為常數(shù)，而是與梁中傳播的相速度有關.當相速小于Rayleigh波的速度時，水平動力等效剛度的實部等于0，虛部稍大于0，表明此時梁的縱向振動向彈性半空間傳遞能量極小.當相速達到Rayleigh波的速度時，實部和虛部均產生突變達到峰值，表明此時梁的縱向振動向彈性半空間傳遞的能量最大.當相速大于2倍的剪切波的速度時，實部趨近于0，虛部稍大于0，表明此時梁的縱向振動向彈性半空間傳遞的能量較小.水平動力等效剛度與彈性半空間地基梁的頻率和波數(shù)密切相關.波數(shù)增大，水平動力等效剛度的實部和虛部均相應增大.

4 結論

本文用解析法和Fourier積分變換對彈性半空間地基梁的水平動力等效剛度進行了研究.將隧道簡化為放置在彈性地基上無限長的彈性梁，考慮彈性梁和彈性半空間的動力相互作用，基于彈性動力學的基本方程，建立了問題的力學分析模型.利用Fourier積分變換，得到了彈性半空間地基梁的水平動力等效剛度的解析表達式，并通過數(shù)值算例，采用參數(shù)分析了彈性地基梁的水平動力等效剛度及其阻尼的變化情況.結果表明，彈性地基梁的水平動力等效剛度和阻尼不為常數(shù)，而是與梁中傳播的相速度有關.當相速為Rayleigh波的速度時，水平動力等效剛度的實部和虛部均產生突變達到峰值，此時梁的縱向振動向彈性半空間傳遞的能量最大.水平動力等效剛度與彈性地基梁的頻率和波數(shù)密切相關.隨著波數(shù)增大，水平動力等效剛度的實部和虛部均也相應增大.