彈丸最大射程落點(diǎn)諸元與彈道系數(shù)和初速關(guān)系經(jīng)驗(yàn)公式

王 朋，王雨時(shí)，聞 泉

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

特定彈丸的阻力特性和初速確定后，最大射程落點(diǎn)彈道諸元包括最大射程、落速、全飛行時(shí)間和最大射程角也就可以確定了。最大射程落點(diǎn)彈道諸元在一定程度上代表了全彈道上各點(diǎn)諸元的極值，對(duì)引信和彈丸的總體論證、初步設(shè)計(jì)以及摸底試驗(yàn)結(jié)果分析和評(píng)估，均有一定意義。文獻(xiàn)[1—4]給出了真空彈道條件下彈道諸元與初速的關(guān)系式。文獻(xiàn)[5]舉例定量分析了特定火炮最大射程落點(diǎn)諸元與初速的關(guān)系。為建立彈丸最大射程落點(diǎn)彈道諸元與彈丸阻力特性和初速之間的顯式函數(shù)經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，本文以文獻(xiàn)[6]報(bào)道的彈丸質(zhì)心外彈道計(jì)算機(jī)求解程序求解出的落點(diǎn)諸元數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，應(yīng)用SPSS軟件和1stOpt軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和擬合。

1 擬合軟件介紹及擬合原始數(shù)據(jù)

1.1 數(shù)據(jù)前處理軟件

SPSS原文為“statistical package for social science”，即“社會(huì)科學(xué)統(tǒng)計(jì)軟件包”。SPSS12.0 for Windows的運(yùn)行管理方式與SPSS以前各版本基本相同。SPSS12.0 for Windows在數(shù)據(jù)整理、數(shù)據(jù)分析方面功能相比前幾個(gè)版本有所增加，包括根據(jù)已知數(shù)據(jù)能夠生成散點(diǎn)圖。散點(diǎn)圖(scatterplots)又稱散布圖或相關(guān)圖，它是以點(diǎn)的分布反映變量之間相關(guān)情況的統(tǒng)計(jì)圖形，根據(jù)圖中的各點(diǎn)分布走向和密集程度，大致可以判斷變量之間協(xié)變關(guān)系的類型[7]。

1.2 擬合軟件

1stOpt(first optimization)是我國(guó)七維高科有限公司獨(dú)立開發(fā)的一套數(shù)學(xué)優(yōu)化分析綜合工具軟件包，主要用于非線性回歸、曲線擬合、非線性復(fù)雜模型參數(shù)估算求解、線性/非線性規(guī)劃等領(lǐng)域。1stOpt軟件不僅操作界面簡(jiǎn)單，而且其核心計(jì)算方法——通用全局優(yōu)化算法(universal global optimization,UGO)克服了當(dāng)今世界上在優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域使用迭代法必須給出合適初始值的難題，即不需要用戶給出參數(shù)初始值，在絕大多數(shù)情況下，僅依靠自身的全局搜索能力，從任意隨機(jī)值出發(fā)，就可求得最優(yōu)解[8]。

1.3 擬合原始數(shù)據(jù)

按常規(guī)彈藥，取彈道系數(shù)數(shù)值范圍c43=0.25～4.0，取初速數(shù)值范圍v0=50～1 400 m/s。以文獻(xiàn)[6]報(bào)道的彈丸質(zhì)心外彈道計(jì)算機(jī)程序?yàn)楣ぞ?，求解上述彈道系?shù)和初速數(shù)值范圍內(nèi)的彈丸質(zhì)心空氣外彈道最大射程落點(diǎn)諸元，結(jié)果分別如表1—表4所列。

表1 彈丸最大射程Xm與彈道系數(shù)c43和初速v0之間的關(guān)系Tab.1 The relationship between the maximum range of a projectile and the ballistic coefficient and the muzzle velocity of the projectile

表2 彈丸最大射程角θmax與彈道系數(shù)c43和彈丸初速v0之間的關(guān)系Tab.2 The relationship between the maximum range angle of the projectile and the ballistic coefficient and the muzzle velocity of the projectile

表3 彈丸全飛行時(shí)間T與彈道系數(shù)c43和彈丸初速v0之間的關(guān)系Tab.3 The relationship between the total flight time and the ballistic coefficient and the muzzle velocity of the projectile

表4 彈丸最大射程落速Vc與彈道系數(shù)c43和初速v0之間的關(guān)系Tab.4 The relationship between the projectile’s maximum range falling velocity and the ballistic coefficient and the muzzle velocity

應(yīng)用該程序的計(jì)算結(jié)果是可信的[6]。表中彈道系數(shù)c43的計(jì)量單位是m2/kg，初速和落速v0的計(jì)量單位是m/s，射程的計(jì)量單位是m，時(shí)間的計(jì)量單位是s。

2 彈丸全飛行時(shí)間、落速、最大射程角和最大射程與彈道系數(shù)和初速關(guān)系式的經(jīng)驗(yàn)擬合

2.1 最大射程與彈道系數(shù)和初速關(guān)系擬合

通過(guò)表1給出的數(shù)據(jù)，由SPSS12.0 for Windows驗(yàn)證彈道系數(shù)和初速與最大射程之間的相關(guān)性，得出彈道系數(shù)和初速的顯著性小于0.001，其中彈道系數(shù)與最大射程是負(fù)相關(guān)，初速與最大射程是正相關(guān)。文獻(xiàn)[5]通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得出火炮最大射程和彈丸初速近似呈線性關(guān)系的結(jié)論。彈道系數(shù)和彈丸初速這兩個(gè)影響因子共同對(duì)火炮最大射程的影響就變得極為復(fù)雜。

由于此模型未知，應(yīng)用1stOpt軟件進(jìn)行自動(dòng)擬合即在函數(shù)庫(kù)中自主選擇擬合公式，算法選擇通用全局優(yōu)化算法和麥夸特法，得到最佳的擬合公式的形式為：

Xm=

(1)

擬合后的曲線如圖1所示。

圖1 彈道系數(shù)和初速與最大射程的擬合曲線Fig.1 The fitted curve for ballistic coefficient and muzzle velocity with maximum range of artillery

當(dāng)c43=0時(shí)，擬合公式為：

Xm=

(2)

取c43=0,同時(shí)取v0分別為50、700、1 400 m/s，得到真空彈道條件下的最大射程值和原有數(shù)據(jù)對(duì)比誤差如表5所列。

表5 最大射程擬合后的公式與原數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差Tab.5 The relative error between the maximum range fitting formula and the original data

2.2 最大射程角與彈道系數(shù)和初速關(guān)系擬合

在空氣彈道中，由于受到外彈道阻力的影響，落角的絕對(duì)值肯定會(huì)比射角大。文獻(xiàn)[5]中得到了在誤差允許的范圍內(nèi)，擬合后彈丸落角與彈丸初速近似呈線性關(guān)系，初速越大，落角絕對(duì)值也越大。

目前未見到有彈道系數(shù)和初速與最大射程角之間的關(guān)系，因而使用1stOpt軟件自帶的自動(dòng)搜索匹配公式的功能進(jìn)行擬合，經(jīng)過(guò)分析對(duì)比選用的擬合公式為：

(3)

擬合后的關(guān)系式為：

θmax=

(4)

擬合后的曲線如圖2所示。

圖2 彈道系數(shù)和初速與最大射程角的擬合曲線Fig.2 The fitted curve for ballistic coefficient and muzzle velocity with the falling angle of maximum range of artillery

當(dāng)c43=0時(shí)，擬合公式為：

(5)

取c43=0,同時(shí)取v0分別為50、700、1 400 m/s，得到真空彈道條件下的最大射程角和原有數(shù)據(jù)對(duì)比誤差如表6所列。

表6 最大射程角擬合后的公式與原數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差Tab.6 The relative error between the maximum range angle fitting formula and the original data

2.3 彈丸全飛行時(shí)間與彈道系數(shù)和初速關(guān)系擬合

根據(jù)表3給出的數(shù)據(jù)，由SPSS12.0 for Windows驗(yàn)證彈道系數(shù)和初速與全飛行時(shí)間的相關(guān)性，得出彈道系數(shù)和初速的顯著性系數(shù)小于0.001，彈道系數(shù)與全飛行時(shí)間呈負(fù)相關(guān)，初速與全飛行時(shí)間呈正相關(guān)。由文獻(xiàn)[5]可知，彈丸全飛行時(shí)間與彈丸初速近似呈線性關(guān)系,從圖3可以清楚地看出彈道系數(shù)和初速與全飛行時(shí)間是多元非線性的關(guān)系。

圖3 彈道系數(shù)和初速與全飛行時(shí)間的散點(diǎn)圖Fig.3 The scatter diagram of ballistic coefficient and muzzle velocity with full flight time

由于此模型未知，應(yīng)用1stOpt軟件進(jìn)行自動(dòng)擬合即在函數(shù)庫(kù)中自主選擇擬合公式，算法選擇通用全局優(yōu)化算法和麥夸特法，得到最佳的擬合公式的形式為：

T=

(6)

擬合后的曲線如圖4所示。

圖4 彈道系數(shù)和初速與全飛行時(shí)間的擬合曲線Fig.4 The fitted curve for ballistic coefficient and muzzle velocity with full flight time

當(dāng)c43=0時(shí)，擬合公式為：

(7)

取c43=0,同時(shí)取v0分別為50、700、1 400 m/s，得到真空彈道條件下的全飛行時(shí)間和原有數(shù)據(jù)對(duì)比誤差如表7所列。

表7 全飛行時(shí)間擬合后的公式與原數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差Tab.7 The relative error between full flight time fitting formula and the original data

2.4 落地速度與彈道系數(shù)和初速關(guān)系擬合

根據(jù)表4給出的數(shù)據(jù)，由SPSS12.0 for Windows驗(yàn)證彈道系數(shù)和初速與落地速度的相關(guān)性，得出彈道系數(shù)和初速的顯著性系數(shù)小于0.001，彈道系數(shù)與落地速度呈負(fù)相關(guān)，初速與落地速度呈正相關(guān)。從圖5可以清楚地看出彈道系數(shù)和初速與落地速度是多元非線性的關(guān)系。

圖5 彈道系數(shù)和初速與落地速度的散點(diǎn)圖Fig.5 The scatter diagram of ballistic coefficient and muzzle velocity with landing speed

由于此模型未知，應(yīng)用1stOpt軟件進(jìn)行自動(dòng)擬合即在函數(shù)庫(kù)中自主選擇擬合公式，算法選擇通用全局優(yōu)化算法和麥夸特法，得到最佳的擬合公式的形式為：

vc=

(8)

擬合后的曲線如圖6所示。

圖6 彈道系數(shù)和初速與落地速度的擬合曲線Fig.6 The fitted curve for ballistic coefficient and muzzle velocity with landing speed

當(dāng)c43=0時(shí)，擬合公式為：

(9)

取c43=0,同時(shí)取v0分別為50、700、1 400 m/s，得到真空彈道條件下的落地速度和原有數(shù)據(jù)對(duì)比誤差如表8所列。

表8 落地速度擬合后的公式與原數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差Tab.8 The relative error between landing speed fitting formula and the original data

3 分析與討論

在擬合彈道系數(shù)和初速與落地速度、全飛行時(shí)間、最大射程和最大射角關(guān)系經(jīng)驗(yàn)擬合公式時(shí)，R方擬合優(yōu)度接近于1。由彈道系數(shù)和初速擬合出來(lái)的公式來(lái)驗(yàn)證其可信度，擬合數(shù)據(jù)結(jié)果如表9所列。

表9 擬合后彈道諸元的數(shù)據(jù)結(jié)果Fig.9 The data result of fitted post-ballistic element

由于要求擬合關(guān)系式的R方擬合度盡量接近于1，所以選取擬合公式較為復(fù)雜。利用SPSS12.0 for Windows和1stOpt來(lái)驗(yàn)證彈道系數(shù)和初速與全飛行時(shí)間、落地速度、最大射程角和最大射程關(guān)系經(jīng)驗(yàn)擬合的相關(guān)性。由于各種火炮的空氣彈道規(guī)律大體上是相同的，所得基本規(guī)律對(duì)于其他火炮同樣適用，應(yīng)該具有普適性，有助于彈藥和引信總體論證、初步設(shè)計(jì)、性能分析和試驗(yàn)評(píng)估的外彈道特性估算參考。

在處理多元非線性擬合分析時(shí)，需要先判斷自變量之間是否相關(guān)；若相關(guān)，再分析出相關(guān)自變量的函數(shù)關(guān)系來(lái)降低維數(shù)。由于自變量與因變量之間的函數(shù)關(guān)系未知，本文又是兩個(gè)不相關(guān)自變量與單個(gè)因變量的非線性擬合，采用1stOpt軟件進(jìn)行三維非線性擬合，迭代過(guò)程中以R方擬合優(yōu)度為標(biāo)準(zhǔn)，越接近1，擬合程度越好，設(shè)置迭代的次數(shù)，擬合算法選擇通用全局優(yōu)化算法和麥夸特法(非線性最小二乘法)。擬合算法的選取標(biāo)準(zhǔn)是使迭代過(guò)程中迭代次數(shù)越少且擬合的程度越好。

4 應(yīng)用舉例

為驗(yàn)算由彈道系數(shù)和初速擬合出的經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍和準(zhǔn)確度，用以下三個(gè)算例來(lái)檢驗(yàn)得出的公式。

已知某122 mm榴彈炮普通榴彈初速v0=402 m/s,彈道系數(shù)c43=0.689,最大射程落點(diǎn)諸元的值分別為全飛行時(shí)間T=47.05 s、落地速度vc=269.16 m/s、最大射程角θmax=44°和最大射程Xm=9 720 m/s。將122 mm榴彈炮普通榴彈炮的初速和彈道系數(shù)代入由彈道系數(shù)和初速擬合出的經(jīng)驗(yàn)公式，得出的計(jì)算值與原有值的相對(duì)誤差如表10所列。

表10 122 mm榴彈炮普通榴彈外彈道諸元經(jīng)驗(yàn)公式估算結(jié)果Tab.10 The empirical formula estimation results of the 122 mm howitzer projectile exterior ballistics firing data

已知某120 mm迫擊炮普通榴彈初速v0=272 m/s,彈道系數(shù)c43=0.788 5,最大射程落點(diǎn)諸元的值分別為全飛行時(shí)間T=35.34 s、落地速度vc=214.10 m/s、最大射程角θmax=43°和最大射程Xm=5 889.26 m/s。將120 mm迫擊炮普通榴彈炮的初速和彈道系數(shù)代入由彈道系數(shù)和初速擬合出的經(jīng)驗(yàn)公式，得出的計(jì)算值與原有值的相對(duì)誤差如表11所列。

表11 120 mm迫擊炮普通榴彈外彈道諸元經(jīng)驗(yàn)公式估算結(jié)果Tab.11 The empirical formula estimation results of the 120 mm mortar ordinary grenade exterior ballistics firing data

已知某155 mm加榴炮普通榴彈初速v0=325 m/s,彈道系數(shù)c43=0.6,最大射程落點(diǎn)諸元的值分別為全飛行時(shí)間T=41.68 s，落地速度vc=251.95 m/s，最大射程角θmax=43°和最大射程Xm=8 200 m/s。將155 mm加榴炮普通榴彈炮的初速和彈道系數(shù)代入由彈道系數(shù)和初速擬合出的經(jīng)驗(yàn)公式，得出的計(jì)算值與原有值的相對(duì)誤差如表12所列。

表12 155 mm加榴彈炮普通榴彈外彈道諸元經(jīng)驗(yàn)公式估算結(jié)果Tab.12 The empirical formula estimation results of the 155 mm gun-howitzer projectile exterior ballistics firing data

5 結(jié)論

本文提出了利用SPSS12.0 for Windows和1stOpt分別對(duì)炮彈的彈道系數(shù)，包括初速與全飛行時(shí)間、落地速度、最大射程角和最大射程等進(jìn)行了相關(guān)性分析和經(jīng)驗(yàn)公式擬合，提出了利用擬合函數(shù)關(guān)系得到具有較高精度的快速?gòu)椀乐T元近似預(yù)估值的方法。擬合結(jié)果表明：全飛行時(shí)間、落地速度和最大射程角的均方根誤差比較小，預(yù)測(cè)值跟真實(shí)值接近，得出的函數(shù)關(guān)系式可信；最大射程的均方根誤差較大，預(yù)測(cè)模型描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確度不高，但是R方擬合優(yōu)度最接近于1，擬合趨勢(shì)最接近于真實(shí)的情況；彈道系數(shù)越小，初速越大，彈丸的全飛行時(shí)間就越長(zhǎng)，落地速度、最大射程角和最大射程越大?？稍谛畔⒘科贂r(shí)，用于引信和彈藥初步設(shè)計(jì)、性能和質(zhì)量分析、試驗(yàn)數(shù)據(jù)評(píng)估與鑒別等。