基于數(shù)列極限教學(xué)內(nèi)容的變革與實(shí)踐

程小靜

(陜西理工大學(xué)，陜西 漢中 723099)

極限貫穿高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的始終，其中數(shù)列極限[1]是初學(xué)高等數(shù)學(xué)最難理解而又重要的問題之一，是學(xué)生從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)不得不跨越的門檻，因此，很多課堂創(chuàng)新、教學(xué)模式變革[2]的探索都以數(shù)列極限為例，因此，數(shù)列極限非常重要，相對于數(shù)列極限無窮小數(shù)列就容易理解多了。本文針對這一教學(xué)重難點(diǎn)采取首先引入無窮小數(shù)列的定義與性質(zhì)，再由無窮小數(shù)列的定義給出數(shù)列極限的定義，結(jié)合無窮小數(shù)列的性質(zhì)討論數(shù)列極限的性質(zhì)，來分散難點(diǎn)，是對高等數(shù)學(xué)內(nèi)容嘗試的一種新的教學(xué)模式和變革。

1 無窮小數(shù)列的定義和性質(zhì)

1.1 無窮小數(shù)列的定義

②關(guān)于ε：具有二重性，即任意性、相對固定性。

③關(guān)于N：特定的項(xiàng)數(shù)與ε有關(guān)。

⑥無窮小數(shù)列的幾何意義：任給ε>0，總能找到正整數(shù)N，使從第N+1項(xiàng)開始中的所有項(xiàng)都落在0的ε領(lǐng)域內(nèi)，這表明無窮小數(shù)列從某項(xiàng)起越來越密集在0的任意鄰近，而在這鄰域之外至多有N項(xiàng)：(見圖1)。

圖1 無窮小數(shù)列的幾何意義

1.2 無窮小數(shù)列的性質(zhì)

1.2.1 無窮小數(shù)列必有界

首先，說明數(shù)列有界性的定義。

其次，證明性質(zhì)無窮小數(shù)列必有界。

1.2.2 有限個無窮小數(shù)列的和、差、積仍為無窮小數(shù)列

以兩個無窮小數(shù)列的和仍為無窮小數(shù)列為例證明.

1.2.3 常數(shù)或有界數(shù)列與無窮小數(shù)列的乘積仍為無窮小數(shù)列

以有界數(shù)列與無窮小數(shù)列的乘積仍為無窮小數(shù)列為例證明。

說明有界數(shù)列與無窮小數(shù)列的乘積仍為無窮小數(shù)列，常數(shù)與無窮小數(shù)列的乘積仍為無窮小數(shù)列類似證明。

2 數(shù)列極限的定義和性質(zhì)

2.1 數(shù)列極限的定義

②關(guān)于ε，N同無窮小數(shù)列定義中的相同。

④數(shù)列極限的幾何意義。這里借助無窮小數(shù)列定義的幾何意義完全可以嘗試讓學(xué)生自己總結(jié)數(shù)列極限的幾何意義，注意強(qiáng)調(diào)數(shù)列極限存在與否同樣與數(shù)列的前有限項(xiàng)無關(guān)。

2.2 數(shù)列極限的性質(zhì)

2.2.1 收斂數(shù)列的極限是唯一的

為無窮小數(shù)列，說明A=B故收斂數(shù)列的極限是唯一的。

2.2.2 收斂數(shù)列是有界的

3 解決數(shù)列極限實(shí)際教學(xué)中存在的困難

盡管對于數(shù)列的研究大多是通過算式來表述的，但算式的表述在教學(xué)中有時并不能非常地直觀說明數(shù)列的性質(zhì)，所以，需要借助文字來描述數(shù)列極限，在教學(xué)中做到使學(xué)生可以深入認(rèn)知數(shù)列極限，讓學(xué)生觀察數(shù)列動圖，以求對數(shù)列進(jìn)行定性描述。

如果用語言描述的方法概括數(shù)列極限現(xiàn)象，得到：

對于數(shù)列極限的描述都是從已知到未知進(jìn)行的，在這一過程中伴隨著簡單到復(fù)雜的現(xiàn)象。在教學(xué)實(shí)踐過程中，盡管數(shù)列極限對于學(xué)生來說是一個全新的概念，但在描述數(shù)列極限過程中運(yùn)用到的絕對者不等式卻在較早以前的學(xué)習(xí)中就有涉及到，并不復(fù)雜。絕對值不等式的表示在數(shù)列極限中是一個關(guān)鍵的因素，可以認(rèn)為，數(shù)列極限事實(shí)上就是初級絕對值不等式的實(shí)際應(yīng)用。為排除學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列極限過程中的困難，可以帶領(lǐng)其去認(rèn)知數(shù)列極限和ε-N的演變過程，所以，在教學(xué)實(shí)踐過程中定義數(shù)列極限大致可分為四步，即將數(shù)列極限教學(xué)分為幾個分步驟進(jìn)行，在教學(xué)過程中教師不應(yīng)該直接給出數(shù)列極限的定義，而是通過每一個步驟與學(xué)生共同探索。

3.1 對數(shù)列的特點(diǎn)進(jìn)行觀察

在向?qū)W生示例上述算式以后，開始引導(dǎo)其從前所學(xué)過的數(shù)列知識，最早的數(shù)列學(xué)習(xí)可以回溯到初中數(shù)學(xué)，但初中數(shù)學(xué)中的數(shù)列學(xué)習(xí)只涉及到數(shù)列的首項(xiàng)、尾項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)，為初級的等差數(shù)列、等比數(shù)列等。而在本次學(xué)習(xí)的數(shù)列極限中，更關(guān)注的是數(shù)列的變化趨勢，通過這樣的引導(dǎo)使學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)一些數(shù)列極限的規(guī)律，對于數(shù)列知識較為扎實(shí)的學(xué)生來說，可以很容易發(fā)現(xiàn)有的數(shù)列極限存在越來越大的變化趨勢，有的數(shù)列極限處于擺動狀態(tài)，而有的數(shù)列存在趨近于某一常數(shù)的現(xiàn)象。為更加直觀地引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)分析，教師可以通過數(shù)軸將數(shù)列標(biāo)注出來，同時，教師需要對學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行及時地總結(jié)概括：部分?jǐn)?shù)列存在一致的現(xiàn)象，例如，隨著n的數(shù)值不斷增加，數(shù)值會與常數(shù)1越來越接近，此時學(xué)生會意識到數(shù)列極限的這種現(xiàn)象與曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性、函數(shù)周期性極為相似，將數(shù)列極限與函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行對比，可以發(fā)現(xiàn)隨著n的無限增大，數(shù)列值會與某一常數(shù)無限接近。

3.2 引用學(xué)過知識并及時予以糾正

教師需要糾正學(xué)生在數(shù)列極限中不可以用“無限增大”“無限接近”等非專業(yè)用語，再一次引導(dǎo)學(xué)生回憶初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)單調(diào)性，對于函數(shù)單調(diào)性的描述為“隨著自變量的變化，函數(shù)值也隨之變化”，在高中數(shù)學(xué)中，將函數(shù)值的變化描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，即定義區(qū)域內(nèi)的某區(qū)間任意點(diǎn)x1，x2，若x1＜x2，則存在f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，即將定義過程進(jìn)行直觀描述。由此可以做出如下定義：對于數(shù)列和常數(shù)A，任意指定正數(shù)ε，終有一個時刻恒成立。

3.3 證明數(shù)列極限

3.4 深化概念

前三步對于數(shù)列極限的定義還僅局限于概念層面，為使學(xué)生可以更進(jìn)一步地了解數(shù)列極限的本質(zhì)屬性，需要通過以下幾方面強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)列極限認(rèn)知：

(2)在進(jìn)行數(shù)列極限解析過程中，要求教師重點(diǎn)分析定義中的關(guān)鍵詞，并使學(xué)生清楚了解定義中每個字在定義中的意義，尤其要重點(diǎn)解釋ε的雙重性、絕對值的穩(wěn)定性或相對穩(wěn)定性，以及N對于ε的依賴性。

(3)教師還可以通過變式教學(xué)清楚地表示數(shù)列極限的個本質(zhì)屬性，同時，配合數(shù)列舉例，再配合沒有極限的發(fā)散例子，以反襯的方式通過非本質(zhì)屬性表現(xiàn)數(shù)列極限的本質(zhì)屬性，使學(xué)生更加清晰、形象地了解數(shù)列極限的本質(zhì)屬性，加深印象。

4 結(jié)論

通過引入無窮小數(shù)列的定義和性質(zhì)為數(shù)列極限提供了一個新的教學(xué)模式與思路，通過具體的無窮小數(shù)列引導(dǎo)學(xué)生深刻理解任意小正數(shù)，進(jìn)而理解任意小正數(shù)與正整數(shù)的依賴關(guān)系。甚至利用無窮小數(shù)列學(xué)生可以自己總結(jié)數(shù)列極限定義的幾何意義，完全可以嘗試?yán)脽o窮小數(shù)列的性質(zhì)來證明數(shù)列極限的性質(zhì)。這一新的教學(xué)模式不但使學(xué)生更容易掌握數(shù)列極限的深層內(nèi)涵，增加師生間的雙向互動，而且對于強(qiáng)化學(xué)生自身學(xué)習(xí)能力，增加學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，都是傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容無法比較的。