一道常見作圖題的探究

江蘇省揚(yáng)州市甘泉小學(xué) (225123) 趙元翔

一、發(fā)現(xiàn)問題，提出猜想

在區(qū)里的一節(jié)復(fù)習(xí)公開課上，老師提出:如何在一個(gè)長(zhǎng)20厘米，寬15厘米的長(zhǎng)方形中畫一個(gè)最大的半圓?結(jié)論是：當(dāng)寬大于或等于長(zhǎng)的一半時(shí)，以長(zhǎng)為直徑畫出的半圓是長(zhǎng)方形中最大的半圓.像這樣畫最大半圓的作圖題經(jīng)常出現(xiàn)在各式各樣的練習(xí)中，許多老師對(duì)此深信不疑.可是，如果我們帶著探究的眼光重新思考這個(gè)問題，那么會(huì)不會(huì)存在一條更長(zhǎng)的直徑？

二、靈活調(diào)整，嘗試驗(yàn)證

在長(zhǎng)方形中，當(dāng)寬正好是長(zhǎng)的一半時(shí)，以長(zhǎng)為直徑的半圓確實(shí)是最大的.但是當(dāng)寬大于長(zhǎng)的一半時(shí)，給人感覺是還有“伸展”空間.

首先我們會(huì)想到以對(duì)角線為直徑的半圓(圖1)，顯然超出了長(zhǎng)方形內(nèi)部.

圖1 圖2 圖3

調(diào)整1：如圖2，將點(diǎn)B向上移動(dòng)得到點(diǎn)B′，斜邊AB′同樣大于長(zhǎng)AB，但是半圓和線段AD相交，不完全在長(zhǎng)方形的內(nèi)部.

調(diào)整2：如圖3，如果將點(diǎn)A向右移動(dòng)，讓出一些距離得到點(diǎn)A′，以A′B′為直徑的半圓是可以在長(zhǎng)方形內(nèi)部的，并且如果B′C固定，AA′越短，則A′B′越長(zhǎng)；AA′固定，B′C越短，同樣A′B′會(huì)越長(zhǎng).

按照上面的分析，我們可以進(jìn)行一些初步的嘗試，準(zhǔn)備一個(gè)長(zhǎng)20厘米，寬15厘米的長(zhǎng)方形紙片和一個(gè)直徑21厘米的半圓紙片，通過擺一擺、放一放，不難發(fā)現(xiàn)半圓是可以完全置于長(zhǎng)方形內(nèi)部的.

三、深入思考，得出結(jié)論

筆者經(jīng)過進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)了一個(gè)優(yōu)美、統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)論：

圖4

四、回顧反思，經(jīng)驗(yàn)升華

當(dāng)a=20cm,b=15cm時(shí)，最大半圓的直徑為

中學(xué)老師時(shí)常提到小學(xué)教錯(cuò)了，工作幾年以來，筆者也一直在思考“如何才能教對(duì)數(shù)學(xué)課”，這個(gè)“對(duì)”不僅指知識(shí)本身的對(duì)與錯(cuò)，同樣也指教學(xué)行為的對(duì)與錯(cuò).為什么許多學(xué)生從小就覺得數(shù)學(xué)困難？為什么班上智力好的同學(xué)也缺少刻苦鉆研的精神？我想不在于學(xué)生的“學(xué)”，更多的是在于教師的“教”.教師應(yīng)帶著批判的眼光去思考教學(xué)觀念、去分析教學(xué)內(nèi)容、去研究教學(xué)方法，通過強(qiáng)化自身的批判精神喚醒學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和敢于挑戰(zhàn)的創(chuàng)新精神.