文 丁建生
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),我們既要學(xué)好知識,又要重視數(shù)學(xué)思想方法的掌握、能力的提升。知識解決了“是什么(What)”的問題,而數(shù)學(xué)思想方法解決的是“如何辦(How)”“為什么(Why)”的問題。當(dāng)我們站在數(shù)學(xué)思想方法的高度審視問題時,知識就會貫通,問題就會關(guān)聯(lián),問題解決就會快捷、簡便,也就會產(chǎn)生“一覽眾山小”的感覺。同學(xué)們在學(xué)習(xí)“軸對稱圖形”時有這樣的感覺嗎?
例1如圖1,AB=AC,E、D分別在AB、AC上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A的度數(shù)。
【解析】圖中有許多等腰三角形,我們應(yīng)抓住“等邊對等角”。設(shè)∠EBD=x°,根據(jù)條件得∠EDB=∠EBD=x°,∠A=∠DEA=2x°,∠BDC=∠EBD+∠A=3x°,所以∠ABC=∠C=∠BDC=3x°。
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,即2x+3x+3x=180,所以∠A=45°
【反思】解本題的關(guān)鍵是把線段相等關(guān)系轉(zhuǎn)換成角相等的關(guān)系,再利用三角形內(nèi)角和定理建立方程。其實,大量的翻折(軸對稱變換)中折痕等相關(guān)線段長度問題的求解都是通過尋找圖形中線段間的關(guān)系建立方程模型而實現(xiàn)的。請同學(xué)們在后續(xù)學(xué)習(xí)中細(xì)細(xì)體會。
例2如圖2所示,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分線交于O點,過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F。試猜想EF、BE、CF之間有怎樣的關(guān)系并說明理由。
【解析】猜想:EF=BE+CF。
理由:∵∠ABC、∠ACB的平分線交于O點,
∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO,又∵EF∥BC,∴∠CBO=∠BOE,∠BCO=∠COF,∴∠ABO=∠BOE,∠ACO=∠COF,∴BE=EO,CF=FO,∴EF=BE+CF。
【反思】“角平分線+平行”就構(gòu)成了基本模型(圖3),其隱含著角相等、線段相等等結(jié)論。
變式:若將∠ACB的平分線改為∠ACB的外角平分線,其他條件不變,則上述結(jié)論還成立嗎?
例3如圖4所示,AB∥CD,BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB,AD過點P且與AB垂直,若AD=8,則點P到BC的距離是( )。
【解析】由BP平分∠ABC,PA⊥AB,想到過點P作PE⊥BC于點E,所以PA=PE;又∵PA⊥AB,AB∥CD,∴PD⊥CD,而CP平分∠DCB,∴PD=PE。∴PE=PA=PD,又AD=8,∴PE=4。
【反思】無論是“求點P到BC的距離”,還是“P為∠ABC的平分線上的點”,都能促使我們過點P作垂線段PE,這就構(gòu)成了角平分線中的基本模型(圖5),這個模型中有全等三角形、角相等、線段相等。我們在解題過程中既要迅速識別基本模型,也要善于構(gòu)造基本模型。
本題中還有什么結(jié)論?(AB+CD=BC)如果去掉條件“且與AB垂直”,上述結(jié)論還成立嗎?
例4在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(3,-3)、P是坐標(biāo)軸上一點,則使△AOP為等腰三角形的點P共有( )個。
【解析】點P可以在x軸或y軸上,三角形的腰和底未確定,需要討論(圖略)。
當(dāng)以∠P為頂角,即PA=PO時,作線段AO的垂直平分線,與坐標(biāo)軸有2個交點;當(dāng)以∠A為頂角,即AO=AP時,以A為圓心、AO長為半徑畫圓,與坐標(biāo)軸有2個交點;當(dāng)以∠O為頂角,即OA=OP時,以O(shè)為圓心、OA長為半徑畫圓,與坐標(biāo)軸有4個交點。故點P共有8個。
【反思】解決本題的關(guān)鍵是確定分類討論的方向。分類討論就是“化整為零,各個擊破”,討論時要確定一個“標(biāo)準(zhǔn)”進(jìn)行,既不能重復(fù),也不能遺漏。有時還要進(jìn)行二次分類,如:一個三角形可被剖分成兩個等腰三角形,原三角形的一個內(nèi)角為36°,求原三角形最大內(nèi)角的可能性。請同學(xué)們嘗試著解決。
例5如圖6所示,點O是等邊△ABC內(nèi)一點,將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,連接OD。已知∠AOB=110°。
(1)求證:△COD是等邊三角形;(2)當(dāng)∠BOC=150°時,試判斷△AOD的形狀,并說明理由;(3)探究:當(dāng)∠BOC為多少度時,△AOD是等腰三角形。
【解析】(1)由旋轉(zhuǎn)不變性,得△BOC≌△ADC?!郈O=CD,又∵∠DCO=60°,∴△COD是等邊三角形。
(2)∵∠BOC=∠ADC=150°,∠ODC=60°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°,
∴△AOD是直角三角形。
(3)設(shè)∠BOC=x°,又∠DOC=∠CDO=60°,∠AOB=110°,則∠ADO=x°-60°,∠AOD=190°-x°,當(dāng)OA=OD時,190-x+2(x-60)=180,所以x=110;當(dāng)AO=AD時,190-x=x-60,所以x=125;當(dāng)DA=DO時,2(190-x)+x-60=180,所以x=140。
【反思】本題中三個小問題的解決都不需要等邊△ABC這一條件,只要BC=AC,結(jié)論仍然成立。在第(3)問的解決中,就是以哪個角為頂角展開討論的。根據(jù)∠ADO和∠AOD的表達(dá)式即知其和為定值130°,則∠DAO=50°,以此為基礎(chǔ)來討論就很簡單。
例6如圖7所示,在四邊形ABCD中,∠BAD=110°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找出一點M、N,使△AMN的周長最小,此時∠AMN+∠ANM的度數(shù)為 。
【解析】要使△AMN的周長(即AM+MN+AN)最小,我們聯(lián)想到“兩點之間線段最短”。
由∠B=∠D=90°,分別作A關(guān)于BM、DN的對稱點P、Q,連接PM、QN,由對稱性得AM=PM、AN=QN,∴AM+MN+AN=PM+MN+QN,顯然當(dāng)P、M、N、Q共線,即M、N在線段PQ上時,PM+MN+QN取最小值。這時∠AMN=2∠PAM,∠ANM=2∠QAN,又∠AMN+∠ANM+∠MAN=180°,∠PAM+∠MAN+∠NAQ=110°,所 以 ∠AMN+∠ANM=140°。
【反思】本題的思路是:欲求兩角的和,必須先求出使AM+MN+AN最小的“狀態(tài)”。求線段和的最小值,一般是將其轉(zhuǎn)化為一條線段的長度,即“化折為直”。如何轉(zhuǎn)化?用軸對稱變換。通過對稱點的轉(zhuǎn)化作出圖形。整個解題過程就是不斷轉(zhuǎn)化問題的過程。
例7如圖8,已知等腰三角形ABC的底邊BC上有一個動點P,PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB。
(1)求證:PD+PE=CF;
(2)若點P運(yùn)動到BC的延長線上,那么PD、PE和CF有什么數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想并加以證明。
【解析】(1)方法一(截長):過點P作PM⊥CF于 M,∵PD⊥AB,CF⊥AB,∴四邊形PDFM為矩形,∴PD=FM,又∵△ABC中AB=AC,∴∠B=∠ACB,而 PM∥AB,∴ ∠B=∠MPC,∴∠MPC=∠ACB,又∵∠PMC=∠CEP,PC=PC,∴△PMC≌△CEP,∴PE=CM,∴PD+PE=CF。
方法二(補(bǔ)短):延長DP至N,使PN=PE,連接CN,易證明△PEC≌△PNC,DN=FC,所以PD+PE=CF。
【注】方法二中的輔助線的另一種做法是:將△PEC沿PC翻折至△PNC處。
(2)圖略。觀察并猜想:PD-PE=CF。證明留給同學(xué)們自行探索。
【反思】要證明線段和、差問題,常常是通過“截長、補(bǔ)短”將問題轉(zhuǎn)化成證明線段相等。本題也可以連接AP,這時三條線段PE、PD、CF的“角色”發(fā)生了轉(zhuǎn)變,可看成是三個三角形的高,用面積關(guān)系來證明會更簡潔。
數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是高層次的學(xué)習(xí)。同學(xué)們在學(xué)習(xí)每一個知識點時要挖掘其隱含的數(shù)學(xué)思想;在學(xué)習(xí)每一章節(jié)時要及時發(fā)現(xiàn)、歸納其中的數(shù)學(xué)方法;在解決每一個問題時,要善于運(yùn)用、反思其中的數(shù)學(xué)思想方法。