基于自適應(yīng)魯棒控制的測(cè)功機(jī)動(dòng)態(tài)滑移率模擬*

馬瑞海，王麗芳，張俊智，何承坤

（1.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049； 2.中國(guó)科學(xué)院電力電子與電氣驅(qū)動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，電工研究所，北京 100190；3.清華大學(xué)，汽車安全與節(jié)能國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084）

前言

硬件在環(huán)（hardware-in-the-loop，HIL）仿真已成為電力驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)研發(fā)和測(cè)試的成熟技術(shù)［1］。通常，HIL測(cè)試在待測(cè)電力驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)投入使用前于實(shí)驗(yàn)室環(huán)境進(jìn)行；通過(guò)物理硬件與模型仿真的結(jié)合，得到近乎真實(shí)的測(cè)試結(jié)果。與實(shí)物測(cè)試相比，HIL測(cè)試可縮短研發(fā)周期，降低研發(fā)成本，保障測(cè)試人員安全［2］。目前，HIL測(cè)試已廣泛應(yīng)用于飛行器［3］、船舶［4］、汽車［5］、火炮［6］和風(fēng)機(jī)［7］等行業(yè)。特別地，在電動(dòng)汽車測(cè)試領(lǐng)域，典型HIL測(cè)試臺(tái)架將待測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)與測(cè)功機(jī)共軸連接，測(cè)功機(jī)實(shí)時(shí)模擬道路負(fù)載［8］。為滿足多樣化的測(cè)試需求，要求測(cè)功機(jī)不僅能模擬穩(wěn)態(tài)負(fù)載，而且具備高動(dòng)態(tài)加載能力，以開(kāi)展整車舒適性和安全性等方面的測(cè)試。本文中討論了防抱死制動(dòng)工況下測(cè)功機(jī)動(dòng)態(tài)加載控制的問(wèn)題，以期提升臺(tái)架測(cè)試的有效性。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者在機(jī)械負(fù)載模擬方面進(jìn)行了深入的研究，主要通過(guò)逆向模型和前向模型來(lái)實(shí)現(xiàn)［9］?；谀嫦蚰Ｐ偷姆椒ɡ么郎y(cè)機(jī)械系統(tǒng)逆模型或HIL測(cè)試臺(tái)架逆模型計(jì)算期望負(fù)載轉(zhuǎn)矩；但該方法涉及微分項(xiàng)，實(shí)際應(yīng)用受限。另一類方法，又稱前饋跟蹤控制，采用系統(tǒng)前向模型計(jì)算待模擬系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性，并控制測(cè)功機(jī)閉環(huán)跟蹤待模擬系統(tǒng)的響應(yīng)；該方法穩(wěn)定性好，是目前應(yīng)用廣泛的負(fù)載模擬方式［8］。基于速度跟蹤控制的方法中，代表性的測(cè)功機(jī)負(fù)載模擬算法有PI控制［10］、動(dòng)力學(xué)補(bǔ)償器［11］、線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR）［8］、模型預(yù)測(cè)控制（MPC）［12］、基于擾動(dòng)觀測(cè)器的控制［13］、滑模控制（SMC）［8］和智能控制［14］等，它們豐富了測(cè)功機(jī)加載控制理論體系，但在綜合處理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不確定性（參數(shù)不確定）與非結(jié)構(gòu)不確定性（外部干擾等）方面尚存在一定的局限性。經(jīng)典PID控制中，控制參數(shù)常采用試湊法整定，缺乏自適應(yīng)性；且無(wú)法處理系統(tǒng)的不確定性。LQR和MPC依賴系統(tǒng)的精確模型，系統(tǒng)不確定性將直接影響其控制性能。SMC魯棒性強(qiáng)，但不連續(xù)的控制律易誘發(fā)系統(tǒng)抖振，邊界層技術(shù)常用于平滑抖振現(xiàn)象，但無(wú)法保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性［15］。基于擾動(dòng)觀測(cè)器的控制，實(shí)時(shí)估計(jì)系統(tǒng)建模不確定部分并加上前饋補(bǔ)償，魯棒性強(qiáng)；但參數(shù)不確定性將加重觀測(cè)器的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，且當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)嚴(yán)重失配時(shí)，跟蹤性能不理想［16］。因此，仍需進(jìn)一步探索統(tǒng)籌處理系統(tǒng)多源不確定性的測(cè)功機(jī)高性能動(dòng)態(tài)負(fù)載模擬算法。

結(jié)構(gòu)不確定性與非結(jié)構(gòu)不確定性普遍存在于運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)，使精密的運(yùn)動(dòng)控制變得困難。為抑制系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響，自適應(yīng)控制（adaptive control，AC）得到廣泛應(yīng)用，但AC較難處理系統(tǒng)非結(jié)構(gòu)不確定性；確定的魯棒控制（deterministic robust control，DRC）具有較強(qiáng)的抗擾性能，但并未考慮系統(tǒng)參數(shù)的不確定性［17］。Yao和Tomizuka等結(jié)合自適應(yīng)控制和魯棒控制的優(yōu)勢(shì)，提出了自適應(yīng)魯棒控制（adaptive robust control，ARC）算法［18］。系統(tǒng)控制精度大幅提升，并成功應(yīng)用于機(jī)電伺服系統(tǒng)［15-17，19］。

基于上述分析和文獻(xiàn)［19］～文獻(xiàn)［21］中的內(nèi)容，本文中結(jié)合AC和誤差符號(hào)積分魯棒控制［22］（robust integral of the sign of the error feedback，

RISE），提出了自適應(yīng)積分魯棒控制（adaptive integral robust control，AIRC）的新型測(cè)功機(jī)動(dòng)態(tài)加載算法。以AC處理系統(tǒng)參數(shù)不確定性，而通過(guò)RISE抑制系統(tǒng)非結(jié)構(gòu)不確定性；該方法無(wú)須擾動(dòng)上界的先驗(yàn)知識(shí)，魯棒控制增益在線整定，理論上可連續(xù)控制信號(hào)，保證系統(tǒng)的漸近跟蹤性能。本文旨在改善現(xiàn)有測(cè)功機(jī)加載控制的魯棒性和控制精度，實(shí)現(xiàn)高性能的動(dòng)態(tài)滑移率模擬。

1 系統(tǒng)建模

1.1 HIL臺(tái)架測(cè)試方案

電動(dòng)汽車電制動(dòng)系統(tǒng)臺(tái)架測(cè)試方案如圖1所示。雙電機(jī)系統(tǒng)、車輛實(shí)時(shí)仿真平臺(tái)、制動(dòng)控制單元和負(fù)載模擬控制單元共同組成了HIL臺(tái)架測(cè)試系統(tǒng)。

圖1 電動(dòng)汽車電制動(dòng)系統(tǒng)HIL臺(tái)架測(cè)試方案

車用電機(jī)為永磁同步電機(jī)，負(fù)載電機(jī)為三相異步電機(jī)。車輛實(shí)時(shí)仿真平臺(tái)在線接收車用電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩Tm和制動(dòng)控制器發(fā)出的液壓制動(dòng)轉(zhuǎn)矩命令Thref，據(jù)此計(jì)算整車運(yùn)行狀態(tài)參量。制動(dòng)控制單元實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)仿真平臺(tái)計(jì)算的車輪滑移率λwheel等狀態(tài)參量，依據(jù)制動(dòng)控制算法，計(jì)算車用電機(jī)轉(zhuǎn)矩命令Tmref，控制車用電機(jī)對(duì)車輛進(jìn)行制動(dòng)；車用電機(jī)采用轉(zhuǎn)矩跟蹤控制模式。負(fù)載電機(jī)采用轉(zhuǎn)速跟蹤控制模式，負(fù)載模擬控制單元控制臺(tái)架以實(shí)際轉(zhuǎn)速ωd跟蹤仿真平臺(tái)計(jì)算的轉(zhuǎn)速參考值；轉(zhuǎn)速跟蹤誤差越小，測(cè)功機(jī)負(fù)載模擬性能越好，HIL臺(tái)架測(cè)試越有效。

1.2 臺(tái)架動(dòng)力學(xué)建模

車用電機(jī)與測(cè)功機(jī)剛性共軸連接，雙電機(jī)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型可表示為

式中：x1=ωd表示測(cè)功機(jī)轉(zhuǎn)速；u=Td為測(cè)功機(jī)轉(zhuǎn)矩；θ1和θ2為系統(tǒng)參數(shù)；d表征系統(tǒng)外部擾動(dòng)項(xiàng)。具體表示為

式中：J和b分別為HIL測(cè)試臺(tái)架真實(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)；Jn和bn為參數(shù)標(biāo)稱值；Δθ1和Δθ2表征系統(tǒng)參數(shù)不確定項(xiàng)；Tm為車用電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩。

定義參數(shù)集合θ=[ θ1θ2]T。測(cè)功機(jī)測(cè)試系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)θ、系統(tǒng)擾動(dòng)項(xiàng)d及其1階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均有界，故做以下假設(shè)：

假設(shè)1 不確定參數(shù)θ和外部擾動(dòng)d滿足：

式中：θmin=[ θ1min和θmax=[ θ1maxθ2max]T為已知參數(shù)的最小和最大值，其中θ1min＞0，θ2min＞0；δ1和δ2分別為系統(tǒng)外部擾動(dòng)項(xiàng)和擾動(dòng)1階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的上界，且δ1，δ2＞0。

2 自適應(yīng)積分魯棒控制

為統(tǒng)籌處理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與非結(jié)構(gòu)不確定性，實(shí)現(xiàn)測(cè)功機(jī)高性能滑移率模擬，本文中提出了AIRC的動(dòng)態(tài)負(fù)載模擬算法，見(jiàn)圖2。

圖2 自適應(yīng)積分魯棒控制

AIRC由基于模型的前向補(bǔ)償控制律（此處以不連續(xù)映射構(gòu)建參數(shù)自適應(yīng)律）、線性反饋控制律和基于RISE的非線性積分魯棒反饋控制律（以確保系統(tǒng)的全局漸進(jìn)跟蹤性能）3部分構(gòu)成。

2.1 參數(shù)自適應(yīng)律

式中：i=1，2；·i表征矢量·的第i個(gè)分量，且兩矢量間的運(yùn)算符＞在矢量對(duì)應(yīng)元素間執(zhí)行。

基于上述不連續(xù)映射，設(shè)計(jì)參數(shù)自適應(yīng)律為）

式中：Γ＞0為對(duì)角參數(shù)自適應(yīng)增益矩陣；τ為自適應(yīng)函數(shù)。對(duì)于任一自適應(yīng)函數(shù)τ，不連續(xù)映射式（5）能保證式（6）成立［17］：

2.2 自適應(yīng)魯棒控制器設(shè)計(jì)

首先，定義誤差變量為

式中：z1為系統(tǒng)的跟蹤誤差；x1d為系統(tǒng)的期望轉(zhuǎn)速指令；k1為正的反饋增益；r為輔助誤差變量。由式（1）和式（7）可知，r的擴(kuò)展形式為

式中：ua為基于模型的前向補(bǔ)償控制律；us1為線性反饋控制律；us2為非線性積分魯棒反饋控制律；k2為系統(tǒng)控制增益，k2＞0；k3為非線性積分魯棒反饋控制增益，為k3的估計(jì)值，通過(guò)自適應(yīng)律在線整定，0)≥0；Γk3為參數(shù)自適應(yīng)增益，Γk3＞0。自適應(yīng)函數(shù)τ=r，其中回歸因子φ=[-x1d]T。

將控制律式（9）代入式（8），可得

對(duì)式（10）求導(dǎo)，得輔助變量r的1階導(dǎo)數(shù)為

2.3 穩(wěn)定性分析

首先，定義輔助函數(shù)L(t)：

若積分魯棒反饋控制增益k3滿足：

由于外部擾動(dòng)項(xiàng)d及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)有上邊界δ1和δ2（此處考慮邊界δ1和δ2未知的情況），故一定存在非線性積分魯棒反饋控制的增益k3，它可滿足條件式（13）使式（14）成立。

定理1：給定式（1）所描述的系統(tǒng)，滿足假設(shè)1，利用式（9）的參數(shù)自適應(yīng)律，且積分魯棒控制增益k3滿足式（13），通過(guò)適當(dāng)選取反饋控制增益k1和k2使式（15）定義的矩陣Λ為正定矩陣：

則提出的控制律式（9）能保證所有的系統(tǒng)信號(hào)有界；且當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)誤差漸近收斂至0，即t→∞，z1→0。

證明：定義Lyapunov函數(shù)如下：

式中λmin（Λ）為矩陣Λ的最小特征根。由式（20）可知，V∈L∞且W∈L2，故跟蹤誤差變量z和參數(shù)估計(jì)偏差有界；考慮z的動(dòng)態(tài)可知，有界，即W∈L∞，因此W是一致連續(xù)的。由Barbalet引理可知［21］，當(dāng)t→∞時(shí)，W→0，定理1得證。

3 仿真研究

3.1 測(cè)試對(duì)象

為驗(yàn)證本文中設(shè)計(jì)的AIRC滑移率模擬的有效性，首要任務(wù)是引入電動(dòng)汽車防抱死制動(dòng)控制策略作為測(cè)試對(duì)象。以典型的集中式前輪驅(qū)動(dòng)電動(dòng)汽車為例，建立車輛縱向動(dòng)力學(xué)模型和機(jī)電混合防抱死制動(dòng)控制策略［23］，如圖3所示：電機(jī)再生制動(dòng)系統(tǒng)在滑移率PID閉環(huán)控制下提供動(dòng)態(tài)制動(dòng)轉(zhuǎn)矩，調(diào)節(jié)車輪滑移率，使其穩(wěn)定在參考值；電機(jī)不足以提供足夠制動(dòng)力時(shí)，液壓制動(dòng)系統(tǒng)輔助提供穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)矩。

圖3 防抱死制動(dòng)控制

3.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為量化評(píng)價(jià)防抱死制動(dòng)期間測(cè)功機(jī)動(dòng)態(tài)滑移率的模擬性能，采用滑移率模擬誤差平方和ελ作為量化評(píng)價(jià)指標(biāo)［8］，其表達(dá)式為

式中：λwheel為車輛動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算的前輪滑移率；λdyna為測(cè)功機(jī)模擬的滑移率。

式中：u為車輛動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算的車輛速度；r為車輪半徑。

3.3 仿真結(jié)果

在MATLAB平臺(tái)上進(jìn)行了防抱死制動(dòng)期間測(cè)功機(jī)滑移率模擬的仿真。仿真過(guò)程中車輛和臺(tái)架的關(guān)鍵參數(shù)如表1所示。同時(shí)，將本文中設(shè)計(jì)的AIRC與PI、AC和RISE進(jìn)行對(duì)比。仿真過(guò)程控制器關(guān)鍵參數(shù)如下：AIRC控制增益k1＝20和k2＝5，參數(shù)邊界值θmax＝[ 1 1×10-3]T和θmin＝[0.1 1×10-4]T，自適應(yīng)速率Γ＝2×10-51×10-6]T，積分魯棒控制增益自適應(yīng)速率Γk3=15；傳統(tǒng)PID控制閉環(huán)帶寬［24］取50 rad/s；AC包括AIRC中的參數(shù)自適應(yīng)律、基于模型的前向補(bǔ)償項(xiàng)ua和線性反饋控制律us1，控制參數(shù)與AIRC保持一致；RISE不包括AIRC參數(shù)自適應(yīng)律和增益自適應(yīng)律，基于模型的前向補(bǔ)償項(xiàng)ua中參數(shù)設(shè)置為θ=[0.3 1×10-3]T，其余參數(shù)與AIRC相同。

表1 車輛及臺(tái)架關(guān)鍵參數(shù)

仿真工況設(shè)置：低附路面（附著系數(shù)0.2），車輛制動(dòng)初速度為60 km/h，促動(dòng)制動(dòng)踏板并保持主缸壓力為3 MPa，觸發(fā)防抱死制動(dòng)控制。液壓制動(dòng)系統(tǒng)提供穩(wěn)態(tài)制動(dòng)轉(zhuǎn)矩，電機(jī)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)車輪滑移率。仿真結(jié)果如圖4所示，由圖4（a）可以看出，當(dāng)車輪滑移率控制性能較差時(shí)，車輪轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)波動(dòng)，滑移率在穩(wěn)態(tài)值附近振蕩；制動(dòng)期間電機(jī)制動(dòng)轉(zhuǎn)矩見(jiàn)圖4（b）。

防抱死制動(dòng)期間測(cè)功機(jī)滑移率模擬效果見(jiàn)圖5和圖6。其中，圖5表示AIRC下動(dòng)態(tài)滑移率模擬性能，圖6分別表示PID、AC、RISE和AIRC下滑移率模擬誤差。由圖5可知，AIRC下，測(cè)功機(jī)滑移率模擬具有較高的瞬態(tài)性能和模擬精度，模擬滑移率緊跟參考值。由圖6可知，傳統(tǒng)PID控制無(wú)法處理系統(tǒng)的不確定性，滑移率模擬誤差幅值最大；傳統(tǒng)AC與RISE分別以不同角度處理系統(tǒng)建模的不確定性，滑移率模擬誤差比傳統(tǒng)PID大幅降低；而且，AIRC統(tǒng)籌處理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與非結(jié)構(gòu)不確定性，滑移率模擬誤差幅值最小，具有最高的模擬精度。另外，對(duì)比AIRC與AC的控制效果，可知積分魯棒控制項(xiàng)us2能有效抑制測(cè)功機(jī)系統(tǒng)非結(jié)構(gòu)不確定性的影響；對(duì)比AIRC與RISE的控制效果，可知自適應(yīng)控制有效補(bǔ)償測(cè)功機(jī)系統(tǒng)參數(shù)的不確定性；AIRC結(jié)合了AC和RISE的優(yōu)勢(shì)，其動(dòng)態(tài)滑移率模擬性能比AC和RISE均有顯著提升，可實(shí)現(xiàn)高性能的動(dòng)態(tài)滑移率模擬。

圖4 防抱死制動(dòng)期間的車輛狀態(tài)

圖5 AIRC滑移率模擬性能

為便于量化分析，取防抱死制動(dòng)過(guò)程起止時(shí)間0～5.5 s，根據(jù)式（21）計(jì)算滑移率模擬誤差平方和ελ，見(jiàn)表2。傳統(tǒng)PID、AC、RISE和AIRC控制下，滑移率模擬量化誤差ελ分別為5.22%、1%、0.79%和0.16%，本文中設(shè)計(jì)的AIRC滑移率模擬誤差比PID、AC和RISE分別降低96.9%、84.0%和79.7%，滑移率模擬量化誤差大幅降低。

圖6 不同策略下滑移率模擬誤差

表2 滑移率模擬誤差平方和

4 結(jié)論

建立了典型電動(dòng)汽車電制動(dòng)系統(tǒng)試驗(yàn)臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型；同時(shí)，提出了統(tǒng)籌處理系統(tǒng)多源不確定性的基于自適應(yīng)積分魯棒控制的測(cè)功機(jī)動(dòng)態(tài)加載算法，以不連續(xù)映射構(gòu)建參數(shù)自適應(yīng)律，主動(dòng)補(bǔ)償測(cè)功機(jī)系統(tǒng)參數(shù)不確定性，同時(shí)采用誤差符號(hào)積分魯棒反饋控制律處理系統(tǒng)非結(jié)構(gòu)不確定性。該方法無(wú)需擾動(dòng)上界的先驗(yàn)知識(shí)，且魯棒控制增益在線自整定，理論上可以連續(xù)控制輸入實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)漸近跟蹤性能。開(kāi)展了防抱死制動(dòng)期間滑移率模擬的仿真研究，結(jié)果表明：提出的方法可以有效處理測(cè)功機(jī)系統(tǒng)多源不確定性，具有很強(qiáng)的魯棒性；滑移率模擬誤差較傳統(tǒng)PID、AC和RISE分別降低96.9%、84.0%和79.7%，滑移率模擬誤差大幅降低，從而確保電動(dòng)汽車防抱死制動(dòng)控制策略臺(tái)架測(cè)試的有效性。