例析指向思維發(fā)展的“四化”問題設(shè)置策略

周燚

摘要：常見的思維含量低的初中數(shù)學(xué)課堂，往往是因缺乏學(xué)生視角、缺乏思維深度、弱化差異性和缺少延伸性四種教學(xué)問題設(shè)置的缺陷造成的。結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際探究并確立生本化、深入化、差異化、綜合化“四化”問題設(shè)置策略，并具體分析“四化”問題設(shè)置策略在課堂教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：“四化”教學(xué)問題設(shè)置; 數(shù)學(xué)思維;自然思維

筆者將當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂全堂沉寂型、一片蛙鳴型、個(gè)人表演型、反復(fù)操練型等四種常見思維含量低課堂現(xiàn)象，歸因?yàn)槿狈W(xué)生視角、缺乏思維深度、弱化差異性、缺少延伸性四種教學(xué)問題設(shè)置的缺陷。問題是思維的起點(diǎn)，筆者通過調(diào)整問題設(shè)置策略來解決問題，發(fā)展學(xué)生思維。

“四化”問題設(shè)置是指生本化、深入化、差異化、綜合化“四化”方式設(shè)置課堂教學(xué)問題。生本化，重視學(xué)情分析，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)設(shè)置教學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)以生為本，學(xué)為主體，讓思維自然生長(zhǎng);深入化，注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科深度的挖掘，研究直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，總結(jié)發(fā)現(xiàn)具有一般性的規(guī)律和方法，培養(yǎng)深度思維;差異化，數(shù)學(xué)課堂實(shí)現(xiàn)人人有效，面向全體學(xué)生，設(shè)置具有梯度性的問題，因材施教，讓不同程度學(xué)生思維得到發(fā)展;綜合化，問題的解決不是單一的知識(shí)應(yīng)用，而是經(jīng)過對(duì)問題的綜合分析，確定解決問題的策略，進(jìn)而選擇對(duì)應(yīng)知識(shí)解決問題，培養(yǎng)學(xué)生高階思維。以下是“四化”問題設(shè)置法在課堂中的實(shí)際應(yīng)用。

一、生本化——立足認(rèn)知基礎(chǔ)，生長(zhǎng)自然思維

學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)是教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)，教師應(yīng)充分考慮學(xué)情，進(jìn)行有針對(duì)性地教學(xué)。在課堂提問過程中，教師需要使學(xué)生的主體地位得到明確，讓學(xué)生從自我發(fā)展的角度，爭(zhēng)取每一次回答問題的機(jī)會(huì)，最終達(dá)到自主提出問題與解決問題，培養(yǎng)高階思維，實(shí)現(xiàn)自我學(xué)習(xí)。

【例】“平方差公式”教學(xué)引入

引例：請(qǐng)計(jì)算下列多項(xiàng)式的積。

（1）（3x+y）（x-y）

（2）（x+1）（x-1）

（3）（2a+b）（-b+2a）

（4）（a-b）（c-d）

問題1：為什么結(jié)果的項(xiàng)數(shù)會(huì)不一樣呢？

追問1：它是怎么由四項(xiàng)變成兩項(xiàng)的？

追問2：有些結(jié)果是兩項(xiàng)的，是最簡(jiǎn)單最特殊的，相應(yīng)的，算式也是最特殊的，今天我們就來研究像這樣的特殊的多項(xiàng)式相乘的情況（建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，并獲得研究對(duì)象）。

問題2：這類多項(xiàng)式特殊在哪里？

追問1：你能從哪些角度來回答？乘積中的兩項(xiàng)又有什么特點(diǎn)？

追問2：乘積和算式子之間又是怎樣的聯(lián)系？

追問3：能否舉例說明？可以驗(yàn)證嗎？

追問4：你能用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示以上規(guī)律嗎？用文字又該如何描述呢？

思考：基于知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展，通過問題串引導(dǎo)，讓學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)和提出問題，自然對(duì)其中的特例進(jìn)行研究，體會(huì)了從一般到特殊的研究路徑;通過自主觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)、發(fā)現(xiàn)結(jié)果項(xiàng)數(shù)減少、精準(zhǔn)觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)、舉例驗(yàn)證結(jié)論、歸納獲得猜想，積累了公式學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在剛開始分析的時(shí)候是不完整的，但是在老師點(diǎn)評(píng)和學(xué)生互相補(bǔ)充的過程中，學(xué)生看問題的角度變得越來越全面，并能發(fā)現(xiàn)既可以從算式分析，也可以從結(jié)果分析，以及從算式與結(jié)果之間的聯(lián)系分析，同時(shí)既可以從運(yùn)算的角度分析，也可以從項(xiàng)的角度分析。通過學(xué)生可以多層次，多角度的分析等式的結(jié)構(gòu)特征，自然地培養(yǎng)了學(xué)生的概括能力和分析問題的能力。

二、深入化——把握問題本質(zhì)，培養(yǎng)深度思維

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)起點(diǎn)低、落點(diǎn)高往往能吸引學(xué)生注意，層層深入的問題設(shè)置，自然地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次思考，通過問題的解決撥開層層迷霧直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)，抓住最根本的數(shù)學(xué)原理和方法，因此教師設(shè)置具有反思性的問題有效引導(dǎo)學(xué)生深入思考至關(guān)重要。

（一）理清條件，分解基本圖形

問題1：根據(jù)條件，我們能找到哪些基本圖形，得到哪些結(jié)論？

追問：CP⊥AB的條件可以如何運(yùn)用？E是CD的中點(diǎn)的條件可以如何運(yùn)用？

問題2：求銳角三角函數(shù)值的方法是什么？

追問：∠CPE不在直角三角形中怎么辦？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建出兩個(gè)垂徑定理基本圖形（如圖1～3）。

（二）重組圖形，形成解題思路

思路：特殊位置法——當(dāng)C滑動(dòng)至特殊位置，即CD∥AB時(shí)，∠CPE在Rt△CEP中，易得CO=PE，故∠CPE=∠COE，正弦值可得。

問題3：特殊位置的結(jié)論是否能夠代表全體位置？

追問：如何說明在滑動(dòng)中角不變？

設(shè)計(jì)意圖：反思性問題引導(dǎo)學(xué)生深入思考，并發(fā)現(xiàn)變化中的不變性.

思路：轉(zhuǎn)化角度法。具體方法：∠CPE轉(zhuǎn)化到∠COE。

問題4：利用圖1的基本圖形，通過幾何畫板猜想——度量驗(yàn)證，接下來大家能否用邏輯推理的辦法證明∠CPE=∠COE？

解析：通過猜想∠CPE=∠COE，而∠COE不變，只要能夠證明所有位置∠CPE=∠COE都成立即可。由∠CPO+∠CEO=180°可得，四邊形CPOE內(nèi)接于圓，故∠CPE=∠COE.

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)由特殊到一般的研究路徑，讓探究變得自然明確，學(xué)生經(jīng)歷和感受幾何問題猜想—驗(yàn)證—證明的過程。

問題5：利用圖2的基本圖形，大家又有哪些求解方案？

解析：構(gòu)造整圓，如圖7根據(jù)垂徑定理可得PE是△CCD的中位線，故PE∥CD，所以∠CPE=∠C，易證問題3的追問。由于∠C是圓周角，可通過構(gòu)造直徑構(gòu)造半徑的方法來構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而求三角函數(shù)值。

設(shè)計(jì)意圖：突破學(xué)生原有思維模式從半圓拓展至整圓，思路更拓展，思維更深入。

（三）探究本質(zhì)，內(nèi)化提升

問題6：由以上解題思路可得，解決三角函數(shù)問題的一般方法是什么？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)解決三角函數(shù)求值問題基本方法：1.構(gòu)造直角三角形求解;2.轉(zhuǎn)化角至直角三角形中求解。

問題7：如圖，弦CD在一個(gè)以AB為直徑的半圓上滑動(dòng)，E是CD的中點(diǎn)，CP⊥AB，垂足為點(diǎn)P，若CD=? ? ? ? ，AB=4.你還能推導(dǎo)出哪些結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)開放性的問題以激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的思考。

思考：講解此題用了七個(gè)問題進(jìn)行引導(dǎo)，每一個(gè)問題都在激發(fā)學(xué)生深入思考，總結(jié)歸納，包括求解三角函數(shù)的方法、說明和一個(gè)固定角相等來說明角不變、從特殊到一般的研究路徑、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等。讓學(xué)生在解決此題的過程中自然地收獲了更多數(shù)學(xué)的本質(zhì)以及解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，這是數(shù)學(xué)教學(xué)真正的意義，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有趣之處。

三、差異化——設(shè)置梯度問題，發(fā)展不同思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》指出：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人，在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”課堂教學(xué)注重分層，關(guān)注中間兼顧兩端。教師要根據(jù)學(xué)生的不同層次設(shè)計(jì)不同思維程度的問題;引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，以點(diǎn)帶面，共同提高。在課堂教學(xué)中，努力嘗試就一個(gè)內(nèi)容設(shè)計(jì)一系列適合不同層次學(xué)生的問題串，讓各層次的學(xué)生都有思維提升的空間，在解決問題的過程中讓各層次學(xué)生都有機(jī)會(huì)以“問題”為載體進(jìn)行交流，激發(fā)思維，提高課堂效率。

追問：除了用函數(shù)圖像的方法，還有其他方法能夠解決問題嗎？

思考：?jiǎn)栴} 1從草圖出發(fā)，起點(diǎn)低，全體學(xué)生都可參與其中。問題2滲透數(shù)形結(jié)合思想，可用幾何代數(shù)兩個(gè)維度解題，能激發(fā)學(xué)生思維的火花，讓不同層次的學(xué)生表達(dá)相應(yīng)的思考和結(jié)果，互相之間形成課堂資源共享。問題3中的第（1）小題和第（2）小題是一個(gè)問題的兩個(gè)方面。抓住問題的不變性是解決問題的關(guān)鍵。數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)形而言是顯性的、直觀的，對(duì)數(shù)而言是內(nèi)隱的、抽象的，只有經(jīng)歷這種對(duì)比，才能積累認(rèn)知的經(jīng)驗(yàn)。問題3對(duì)于學(xué)生的綜合應(yīng)用能力提出了較高的要求，落點(diǎn)高，能夠給學(xué)優(yōu)生發(fā)展提供思維空間，當(dāng)他們表達(dá)自己思考時(shí)對(duì)其他學(xué)生也是一種學(xué)習(xí)。

四、綜合化——設(shè)置創(chuàng)造性問題，培養(yǎng)高階思維

正如贊科夫所言：“兒童的智力、情感、意志也像肌肉一樣，如果不加鍛煉和給予正常負(fù)擔(dān)，它們反而會(huì)衰退，不僅得不到應(yīng)有的改進(jìn)，有時(shí)還會(huì)變得遲鈍起來。”因此在教學(xué)過程中，教師應(yīng)努力創(chuàng)設(shè)分析問題的條件，通過設(shè)置綜合性問題，為學(xué)生提供分析問題、建立策略、實(shí)施策略、解決問題的機(jī)會(huì)，整個(gè)過程學(xué)生思維得到不斷提升，通過內(nèi)化感悟、外化表達(dá)的交替，形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

思考：從兩個(gè)問題的表達(dá)方式看，問法1指向單一，操作簡(jiǎn)單，都是相似三角形判定和性質(zhì)的直接應(yīng)用，屬于低階思維訓(xùn)練，學(xué)生缺失思考問題的方法和策略，思維的延伸性和碰撞力就弱;問法2需要學(xué)生分析問題，比如將“F離A點(diǎn)最遠(yuǎn)”轉(zhuǎn)化為求AF的最大值，建立解決問題的策略（模型），從而精準(zhǔn)地找到解決問題的方法，再應(yīng)用知識(shí)達(dá)到問題解決的目標(biāo)，屬于分析、抽象、建模等高階思維的訓(xùn)練。因此問法2對(duì)于學(xué)生高階思維的培養(yǎng)更具有價(jià)值。

“四化”問題設(shè)置法在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用可以非常豐富，四種類型的問題設(shè)置可以獨(dú)立存在也可以多種形式呈現(xiàn)，但是對(duì)每位一線教師的教學(xué)意識(shí)和能力水平提出了更高的要求，除了機(jī)械地傳授知識(shí)以外，引導(dǎo)學(xué)生思考，激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考和質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力是通過“四化”問題設(shè)置想要達(dá)到的目標(biāo)。學(xué)生思維能力的培養(yǎng)需要老師改進(jìn)教學(xué)理念、提升數(shù)學(xué)理解、重視問題設(shè)置，用針對(duì)性的問題去引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待問題、用數(shù)學(xué)的思想去思考問題，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 因此一線教師需要在平時(shí)的教學(xué)中實(shí)踐反思再實(shí)踐再反思，不斷提升自己的教學(xué)能力和科研能力，培養(yǎng)學(xué)生思考問題和解決問題的能力，教學(xué)相長(zhǎng)共同進(jìn)步。

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（責(zé)任編輯：奚春皓）