多元表征在代數(shù)領(lǐng)域的運(yùn)用思考

馬花

【摘要】表征是一種教學(xué)手段，利用它可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，它存在于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐等各大領(lǐng)域教學(xué)中。在代數(shù)領(lǐng)域中，運(yùn)用圖形表征，對于學(xué)生理解數(shù)的特征、運(yùn)算方法、數(shù)的大小比較等有重要的作用。

【關(guān)鍵詞】圖形表征 ? 模型表征 ?言語表征

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要矛盾是抽象和形象的矛盾，表征是化解這一矛盾的辦法之一。何為“表征”？《站起來的兒童數(shù)學(xué)》一書中指出：“表征是利用某一種形式，將事物或者想法重新表現(xiàn)出來，以達(dá)到溝通的目的。”當(dāng)表征所表示的意思真正掌握以后，可以進(jìn)一步作為生成性資源，從而幫助學(xué)生降低解題難度。

在教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)大多學(xué)生在代數(shù)領(lǐng)域不能夠主動建構(gòu)不同于教學(xué)中最常用的表征。而且還發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績與數(shù)學(xué)表征能力相互影響、促進(jìn)，互為因果。其中，學(xué)有余力的學(xué)生表征方式的特點有方式比較豐富、具有整合性、靈活性，能在較大程度上反映概念的本質(zhì)屬性，比較準(zhǔn)確。而學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生所呈現(xiàn)的表征特征是方式比較單一、具有分散性、僵滯性，反映概念本質(zhì)屬性的程度低，不夠準(zhǔn)確。

表征是一種教學(xué)手段，利用它可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，它存在于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐等各大領(lǐng)域教學(xué)中。在代數(shù)領(lǐng)域中，運(yùn)用圖形表征，對于學(xué)生理解數(shù)的特征、運(yùn)算方法、數(shù)的大小比較等有重要的作用。

一、借助圖形表征，揭開數(shù)特征的面紗

布魯納認(rèn)為，兒童的思維活動依賴外在刺激的程度來決定兒童心智的成長。教材在編排認(rèn)數(shù)的邏輯順序一般是通過實物、圖形等直觀可視的方式來表征抽象的數(shù)，為學(xué)生認(rèn)識、理解數(shù)提供幫助。當(dāng)離開具體物體時，學(xué)生能在心中以具體的形象作為思考的材料并以圖形的形式進(jìn)行展現(xiàn)。這種可視化的闡述拉近了抽象的數(shù)與學(xué)生心理的差距，從而易于學(xué)生理解和接受。

如教學(xué)五年級下冊《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》時，兒童理解分?jǐn)?shù)意義的關(guān)鍵在于對“單位1”的正確認(rèn)識，“單位1”不僅可以表示一個東西或一個計量單位，還可以表示由幾個物體組成的一個整體，所以這節(jié)課的重點與難點都應(yīng)該放在認(rèn)識“單位1”的意義上。通過呈現(xiàn)用實物圖表示的一塊餅、一個長方形、一根1米長的直條和由6個圓組成的一個整體，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示每個圖中的涂色部分，同時讓學(xué)生知道一個物體、一個計量單位或由許多物體組成的一個整體，都可以用自然數(shù)1來表示，并由此引出單位“1”的概念。通過表征，單位“1”變得直觀、可視，這樣的方式使學(xué)生很自然地理解用“自然數(shù)1”來表示單位“1”。

學(xué)生認(rèn)數(shù)的過程中離不開直觀，借助“形”的生動性和直觀性認(rèn)識數(shù)，化抽象為具體，在大量感性材料中學(xué)生感悟數(shù)的內(nèi)涵，建立表象，從而更好地溝通數(shù)的意義、數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系、數(shù)感的培養(yǎng)。如：在數(shù)小棒、搭多邊形中認(rèn)識整數(shù);在等分圖形中認(rèn)識分?jǐn)?shù)和小數(shù);利用交集圖理解公因數(shù)與公倍數(shù);等等。這種可視的表征方式喚起了學(xué)生的生活經(jīng)驗，從而使學(xué)生揭開數(shù)的本質(zhì)。

二、借助模型表征， 回歸意義價值

模型表征是以具體可觸摸的模型取代實物，并保留原物的可操作性。以模型表征數(shù)，使抽象的數(shù)和現(xiàn)實之間的數(shù)量建立聯(lián)系。模型表征的教學(xué)要做到有步驟、有計劃的推進(jìn)，使兒童親身經(jīng)歷表征的全過程。在這種形式化的表征中，學(xué)生可以掌握相對難理解且課本中抽象化水平較高的內(nèi)容。

在小學(xué)階段學(xué)生主要學(xué)習(xí)“行為的分?jǐn)?shù)”。教材中往往以學(xué)生數(shù)學(xué)的日常生活與活動為模型，建立分?jǐn)?shù)的概念。例如：把一個蛋糕平均分成兩份，每份是 ;把一張正方形的紙平均分成四份，其中的一份是 。這僅僅是從面積模型的角度來理解，學(xué)生還可以借助多種模型來理解分?jǐn)?shù)。

如：分?jǐn)?shù)的集合模型表征。

分?jǐn)?shù)的集合模型需要學(xué)生有更高層次的抽象能力，它的核心是把“多個”看作“整體1”，其優(yōu)點是有利于比較抽象的數(shù)值形式表示“比”與“百分比”。“整體1”可以分為以下6種情況（以“ ”為例）：

①1個物體，比如，一個“正方形”平均分為6份，取其中的1份;

②6個物體，比如，“6支鉛筆”其中的“1支”占“6支”的 ;

③6個以上但是6的倍數(shù)，比如，“12塊餅干”平均分為6份，取其中的1份;

④比1個多但比6少，比如，“2塊糖”作為整體;

⑤比6個多但不能被6整除，比如，“7個蘋果”作為“整體”;

⑥一個單獨(dú)物體的一部分的六分之一，比如，1米的五分之四的六分之一。

用這些材料進(jìn)行表征可幫學(xué)生建立“單位”“位值”等概念，為他們進(jìn)行有意義的運(yùn)算打下基礎(chǔ)。

再如：分?jǐn)?shù)的數(shù)軸模型表征。

數(shù)軸上點與數(shù)的對應(yīng)——數(shù)形結(jié)合的思想，這種思想第一次進(jìn)入學(xué)生的頭腦，應(yīng)該說這是數(shù)學(xué)思想方法上的一次飛躍，一次革命。數(shù)軸學(xué)習(xí)的過程，就是溝通數(shù)與直線的聯(lián)系的過程。數(shù)軸的原型是溫度計和行程路線圖，首先由溫度計、行程路線圖提煉出數(shù)軸的幾何結(jié)構(gòu)，然后建立分?jǐn)?shù)、小數(shù)、整數(shù)以及今后學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)與直線上點的對應(yīng)，這就得出了數(shù)軸。而這個數(shù)軸作為橋梁就把看上去無關(guān)的兩個無窮集合建立聯(lián)系，一方面數(shù)的性質(zhì)可以直觀地表示在圖形上，另一方面在圖形上又可以形象而具體地研究數(shù)的性質(zhì)。

例：在直線上畫出表示各分?jǐn)?shù)的點，看看表示真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的點各在直線的哪一段上。

通過觀察數(shù)軸上表示各個分?jǐn)?shù)的點的位置，學(xué)生會有三點發(fā)現(xiàn)：第一，表示真分?jǐn)?shù)的點在0和1之間，因此真分?jǐn)?shù)都比1小;表示假分?jǐn)?shù)的點在1或1的右邊，因此假分?jǐn)?shù)等于或者大于1。第二，每條數(shù)軸上的同分母分?jǐn)?shù)從左往右逐漸變大，這是因為它們含有分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)增多。第三，表示“ ?、 、 ”的點都與表示1的點重合，表示“ ?、 、 ” ?的點都與表示2的點重合，表示二分之六的點則與表示3的點重合，這就表明上述假分?jǐn)?shù)中較為特殊的一類，它們都可以化成整數(shù)。利用數(shù)軸的直觀性表征進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生對于真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)等之間的區(qū)別和聯(lián)系有了更加可視化的表征，可以取得事半功倍的效果。

三、借助言語表征，完善結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

言語表征是語言材料所負(fù)載的信息在頭腦中的存在方式，是一種相對圖形表征來說較為高級的表征方式。言語表征是符號性表征中的一種，它是儲存于頭腦中的“概念意向”在特定的時候被激活，適時描摹對象并用口語加以描述，其他個體可結(jié)合語言來勾畫具象的過程。

例如：把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)時，關(guān)鍵要引導(dǎo)學(xué)生找到相應(yīng)的整數(shù)和真分?jǐn)?shù)，理解“可以用除法計算”的道理。有的同學(xué)會聯(lián)系圖來描述，“ ” 里有“11個 ”，其中的“8個 ”可以看作2，其余的“3個 ”是“ ”，“2與 ”合起來是“ ”。

又如：在進(jìn)行分?jǐn)?shù)與小數(shù)比較大小時，有的學(xué)生借助已有的知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗來描述：0.5米是1米的一半， 超過了1米的一半，所以“0.5> ”;有的同學(xué)運(yùn)用自己的策略與方法進(jìn)行比較，在比較中自主探索把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的方法：把“ ”轉(zhuǎn)化成小數(shù)0.75。以言語符號進(jìn)行表征的兒童，他們的思維活動不再依賴實物或圖像的操作，僅以口語這一符號來反映個體的心智活動，故抽象思考性較高。

在教學(xué)過程中，教師的教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多元表征，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷自我建構(gòu)、自我生成的過程。

【參考文獻(xiàn)】

1、教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2、王林.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究與實踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

3、莊惠芬.站起來的兒童數(shù)學(xué)[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015.

4、陳曦.借助直觀表征培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2016（9）.