思維導(dǎo)圖視角下的幾何綜合題解題教學(xué)

吳福芳

【摘要】幾何綜合題是每年中考的壓軸題，考察學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力。由于幾何綜合題涉及幾何、代數(shù)、函數(shù)與方程等知識點的交叉，這也是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中的重點、難點題型。為突破幾何綜合題解題困境，本文以2019年廣東中考數(shù)學(xué)24題第（1）問為例，結(jié)合波利亞《怎樣解題》的四個步驟和思維導(dǎo)圖，探討有效的綜合數(shù)學(xué)問題教學(xué)方式。

【關(guān)鍵詞】思維導(dǎo)圖? ?幾何綜合題? ?數(shù)學(xué)教學(xué)

【中圖分類號】G633.6【文獻標(biāo)識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）27-164-02

一、問題提出

在中考評卷中，幾何綜合題的答題存在著這樣的現(xiàn)象：（1）前因后果銜接不上，條理不清。（2）寫滿不得分，答非所問，與所求問題無關(guān)。（3）把猜想當(dāng)條件用，沒有事實依據(jù)。（4）一字不寫，交白卷，徹底放棄。分析這些現(xiàn)象的原因，我們不難發(fā)現(xiàn)是因為學(xué)生審題不清，已知與求證沒有形成邏輯連接，導(dǎo)致學(xué)生在答題時解題思路混亂，條理不清晰，甚至無從下手。 在幾何綜合題教學(xué)中，筆者結(jié)合波利亞《怎樣解題》的四個步驟，引入思維導(dǎo)圖，解決上面的問題，下面進行說明。

二、幾何綜合題的題型特點

幾何綜合題是以幾何知識為主體的綜合題，簡稱幾何綜合題，主要研究圖形中點與線之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，以及特定圖形的判定和性質(zhì)。一般以相似三角形為中心，以圓為重點，常常是圓與三角形、四邊形、相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識的綜合運用。該題型以知識點多，圖形復(fù)雜，需添加輔助線解答三大特點著稱，成功地為難了大部分考生，讓許多考生甚至初三老師在備考時望而生畏。

三、思維導(dǎo)圖在幾何綜合題教學(xué)中的應(yīng)用

1.思維導(dǎo)圖在分析題意中的應(yīng)用

借用思維導(dǎo)圖羅列已知條件，推出結(jié)論，一目了然，讓理解分析題目更有效。以2019年廣東省中考數(shù)學(xué)24題第（1）問為例，說說如何采用思維導(dǎo)圖進行分析題目。題目如下：

24.如24-1圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點C作∠BCD=∠ACB交⊙O于點D，連接AD交BC于點E，延長DC至點F，使CF=AC，連接AF.

（1）求證：ED=EC;

（2）求證：AF是⊙O的切線;

（3）如題24-2圖，若點G是△ACD的內(nèi)心，BC·BE=25，求BG的長。

分析題意，畫出思維導(dǎo)圖如下：

以上簡單的思維導(dǎo)圖，先把題目中的4個已知條件羅列出來，由條件1推理得到結(jié)論1，條件3推理得到結(jié)論2，條件3和條件4共同推理得到結(jié)論3.此時，由于結(jié)論1和2是經(jīng)過邏輯推理得到的，所以可以把它們做為已知條件來運用。因此，條件2和結(jié)論2共同推理得到結(jié)論4，進而結(jié)論1和結(jié)論4共同推理得到結(jié)論5。結(jié)論4還可以推理得出結(jié)論6，進而與結(jié)論3配合共同推理得出結(jié)論7.由已知一步步，層層推理，最終得到結(jié)論：∠ADC=∠BCD和四邊形ABCF是平行四邊形。這樣由已知出發(fā)，畫出思維導(dǎo)圖，一步步向前推理，可以讓學(xué)生很清晰地弄清楚題意，并且從已知推理得出結(jié)論，再把結(jié)論變成新的已知條件，更深層地去推理，最終完成由已知到求證的轉(zhuǎn)變。而像這樣運用思維導(dǎo)圖來理解和分析題意對我們解答題目是最有效的。

2.思維導(dǎo)圖在擬定方案的應(yīng)用

從求證出發(fā)，層層設(shè)疑推導(dǎo)，逆向分析，找到支撐求證的已知條件。以2019年廣東省中考數(shù)學(xué)24題第（1）問為例，說明在擬定方案時如何借助思維導(dǎo)圖展示解題的思維過程。畫出思維導(dǎo)圖如下：

在擬定解題方案時，我們一般都會根據(jù)已有的解題經(jīng)驗來進行嘗試推理的。本題欲求證ED=EC，根據(jù)經(jīng)驗證同在一個三角形的線段相等轉(zhuǎn)化為證兩個底角相等，再從證角相等，不斷替換目標(biāo)，最后找到了AC=AC，AB=AC，∠BCD=∠ACB三個已知條件做為支撐，完成了整個解題推理過程。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （下轉(zhuǎn)第166頁）（上接第164頁）

3.思維導(dǎo)圖在執(zhí)行方案的應(yīng)用

根據(jù)思維導(dǎo)圖分析推導(dǎo)過程，由下往上書寫解題過程，步驟清晰，不容易寫漏原因。本題的書寫過程可以分三步進行。第一步，先由已知3推導(dǎo)出假設(shè)3成立，再結(jié)合已知2推導(dǎo)出假設(shè)2成立;第二步，由已知1推導(dǎo)出假設(shè)1成立;第三步，結(jié)合假設(shè)1與假設(shè)2共同推導(dǎo)出∠ADC=∠BCD，即可完成證明過程。

4.思維導(dǎo)圖在回顧的應(yīng)用

回顧本題的分析過程，我們不難發(fā)現(xiàn)求證線段相等的一般思路。用思維導(dǎo)圖總結(jié)如下：

四、思維導(dǎo)圖在幾何綜合題教學(xué)中的思考

1.思維導(dǎo)圖讓幾何綜合題解題思路更清晰

在幾何綜合題解題中，借用思維導(dǎo)圖以已知條件為抓手進行題意分析，讓題目分析更深入，條理更清晰;借用思維導(dǎo)圖以求證為主線，通過層層設(shè)疑、推導(dǎo)，采用逆向分析，擬定解題方案，最后找到可以支撐的已知條件（或已被求證的結(jié)論），讓解題步驟更清晰明確。

2.思維導(dǎo)圖讓幾何綜合題的解題推理更有條理性

為了讓學(xué)生能在書寫證明過程時，不出現(xiàn)漏寫，理論依據(jù)不足的情況。運用思維導(dǎo)圖分析題意和擬定方案，會讓邏輯推理過程更加有條理，更加清晰，學(xué)生在書寫時更能清楚地知道先寫什么，后寫什么。怎樣書寫過程才能得分，答題的得分率才會比較高。

3.思維導(dǎo)圖讓解題反思更直觀

解題教學(xué)力求能夠通過一道題幫助學(xué)生解決一類題，因此解題后的回顧反思就更加重要了。而通過思維導(dǎo)圖反思匯總一類題的解題思路，真正起到思維可視化的作用。因此，思維導(dǎo)圖作為一種有效的解題方法，需要貫穿于數(shù)學(xué)解題教學(xué)的整個過程之中，使學(xué)生逐步養(yǎng)成運用思維導(dǎo)圖解決問題的思維模式。

【參考文獻】

[1]【美】G.波利亞 著，涂泓、馮承天 譯.《怎樣解題》——數(shù)學(xué)思維的新方法，

[2]陳建花，王小莉，沈有健，思維導(dǎo)圖在幾何教學(xué)中的應(yīng)用——以“最短路徑”為例，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》下旬，2016（08）：5-6

[3]辛穎.“思維導(dǎo)圖”下的數(shù)學(xué)“解題教學(xué)”初探[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（07）：44-45.