中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的作用

韋玉球 任北上 李智群

[摘 要] 反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有較大的作用，文章介紹了反例的重要性，以及在教學(xué)中構(gòu)造反例的原則和方法。通過論述反例在教學(xué)中的作用，指出合理運(yùn)用反例可加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，很好地培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的思維能力等，并給出了運(yùn)用反例的同時也需要注意的兩個問題。

[關(guān)鍵詞] 思維能力;反例;應(yīng)用

[基金項(xiàng)目] 2018年廣西高等教育本科教改項(xiàng)目（2018JGB372）;2018年度廣州華軟軟件學(xué)院科學(xué)研究、教育教學(xué)研究項(xiàng)目（KY201805）;2019年廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院“質(zhì)量工程”建設(shè)項(xiàng)目（SPGKK201901）

[作者簡介] 韋玉球（1981—），女，廣西都安人，研究生，副教授，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育及課堂有效教學(xué);李智群（通信作者）。

[中圖分類號] G633.6 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）43-0303-04 ? ?[收稿日期] 2020-03-17

一、引言

在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，反例的應(yīng)用占有及其重要的地位[1]。新課標(biāo)的改革也提出了在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用反例教學(xué)的要求也越來越高。數(shù)學(xué)反例是指一個數(shù)學(xué)命題在滿足已知條件情況下不成立的具體例子。在中學(xué)階段，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用是鍛煉中學(xué)生抽象邏輯思維的關(guān)鍵，在現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)和實(shí)踐中常常有這樣一個經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)對一個問題苦思冥想?yún)s難以解決時，可以從另一個方面切入，它往往是取得了成功的驚喜[2]。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是不斷發(fā)現(xiàn)問題并且解決問題的過程，有時候?qū)W生解決數(shù)學(xué)問題時因考慮不周全而容易出錯，可以通過構(gòu)建適當(dāng)?shù)姆蠢寣W(xué)生對知識產(chǎn)生非常深刻的理解，而且依靠實(shí)證和反例能突出知識的真實(shí)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。在數(shù)學(xué)系統(tǒng)研究中，常常會總結(jié)出一系列結(jié)論，當(dāng)結(jié)論錯誤或者不成立時，巧用反例就可以被推翻[3]。在這個階段，學(xué)生的思維能力還處于逐步形成過程，思考問題還不夠全面，學(xué)習(xí)思維不夠活躍難免會出現(xiàn)錯誤的判斷。反例在教學(xué)上的作用可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤并且及時糾正錯誤，達(dá)成積極探索真理、把握數(shù)學(xué)知識科學(xué)性的目標(biāo)。基于新課改要求，重視反例教學(xué)，經(jīng)過對反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的作用的進(jìn)行研究，推廣反例在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂上的廣泛使用。

二、反例的概念及其教學(xué)功能

反例，簡言之就是選擇一個滿足已知條件的例子來說明該命題的結(jié)論不成立[4]。在中學(xué)階段，反例通常用于判斷命題的真假性，學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中辨別真假數(shù)學(xué)命題時，短時間內(nèi)無法根據(jù)原命題定義進(jìn)行驗(yàn)證，可以通過應(yīng)用反例來說明。

（一）深化概念教學(xué)的有效手段

數(shù)學(xué)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中屬于核心內(nèi)容。數(shù)學(xué)概念教學(xué)是一項(xiàng)艱巨的教學(xué)任務(wù)，這就要求教師在繁重的教學(xué)工作中能夠靈活改變教學(xué)方式，采用不同的教學(xué)方法來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠在理解的基礎(chǔ)上加強(qiáng)識記數(shù)學(xué)概念，通過不斷的應(yīng)用進(jìn)一步加深對數(shù)學(xué)概念的理解并且能夠用確切的、簡潔的語言來敘述數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念具備一定的抽象性，只從字面上的含義和正面舉例說明還不足以能夠讓學(xué)生正確地理解數(shù)學(xué)概念，還需要換不同教學(xué)方式或通過舉出反例來加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解并掌握。由于中學(xué)生目前的認(rèn)知水平和思維能力還不能很明確地觀察出概念的本質(zhì)特征。所以在講授數(shù)學(xué)概念時，教師要善于運(yùn)用典型的反例指出學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念時常常會出現(xiàn)的易錯點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生深刻理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征。讓學(xué)生動腦思考，從正、反兩個方面比較和驗(yàn)證形成的數(shù)學(xué)概念，找出對數(shù)學(xué)概念理解不足的地方，強(qiáng)化對概念的深度理解?？偠灾蠢谡n堂上的合理應(yīng)用有助于學(xué)生更加精確地理解和把握概念，掌握概念的實(shí)質(zhì)[5]。

在函數(shù)概念學(xué)習(xí)過程中，教師在課堂上讓學(xué)生驗(yàn)證兩個相應(yīng)集合間的關(guān)系是否構(gòu)成函數(shù)，要善于引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用反例進(jìn)行驗(yàn)證，看學(xué)生是否能準(zhǔn)確掌握函數(shù)概念。如果是函數(shù)則必須嚴(yán)格符合定義，若不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，可引導(dǎo)學(xué)生舉出反例來進(jìn)行說明，如集合A中某元素在集合B中無相對應(yīng)的項(xiàng)或者有多個元素與之對應(yīng)，說明這兩個集合不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。經(jīng)過舉反例這個過程，學(xué)生就能夠更好理解函數(shù)的概念。

（二）反例是鑒別假命題的常用工具

在數(shù)學(xué)命題的教學(xué)中，教會學(xué)生掌握正確判斷命題真假的方法很重要。數(shù)學(xué)命題一般由兩個部分構(gòu)成：條件和結(jié)論。換句話說，如果滿足命題中對應(yīng)的條件，就會得到某些相應(yīng)結(jié)論。在中學(xué)階段，學(xué)生的思維能力還不夠完善，在分析命題時往往會忽略句子中某個關(guān)鍵詞的適用范圍，只是單單記住結(jié)論，這不利于學(xué)生鑒別命題的真與假。教師在教學(xué)過程中，善于引導(dǎo)學(xué)生借助反例這個正確判斷命題真與假的有效工具。

在教學(xué)過程中，讓學(xué)生判斷命題“兩個連續(xù)函數(shù)之積是連續(xù)函數(shù)，那么它的逆命題也一定成立”是真命題還是假命題。遇到這樣一個命題學(xué)生很難從正面判斷它的真假性，這時就可以通過舉反例來說明。例如：

易證明f（x），g（x）在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)處處不連續(xù)，這就說明了兩個連續(xù)函數(shù)之積是連續(xù)函數(shù)的逆命題一定成立是假命題。這樣一個反例教學(xué)過程就可以準(zhǔn)確判斷該命題是假命題，所以在數(shù)學(xué)課堂中引入反例教學(xué)，能提高學(xué)生辨析命題真假性的能力[6]，還能增強(qiáng)學(xué)生解題思路的靈活性和判斷命題真假的準(zhǔn)確性。

（三）反例是糾正錯誤的有效方法

三、在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的構(gòu)造原則和構(gòu)造方法

（一）構(gòu)造原則

構(gòu)建一個反例就是給出一個具體例子，這個例子可以說明命題不成立。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)造反例應(yīng)當(dāng)遵循兩個基本原則：（1）構(gòu)造的例子必須符合命題的條件;（2）結(jié)論與命題結(jié)論相反，即否定性原則。此外，構(gòu)建的反例可以是簡單和直接的，能夠準(zhǔn)確解釋問題，避免復(fù)雜性，或解釋問題不明確[8]。

（二）構(gòu)造方法

1.特例構(gòu)造法。特殊和一般屬于一種對偶關(guān)系，它們彼此相對卻又相互依存?？梢岳脙烧咧g的相關(guān)度構(gòu)造反例，用特殊的例子或者證明來否定一般結(jié)論，這種方式叫做反例的特例構(gòu)造法[9]，在反例的構(gòu)造中持有很重的比例。

例1.無理數(shù)的無理數(shù)次冪還是無理數(shù)，這個命題是否成立？

分析：初看這個問題，很多學(xué)生無從下手，通過構(gòu)造特例可以判斷該命題是否成立。

2.性質(zhì)構(gòu)造法。性質(zhì)構(gòu)造就是根據(jù)反例本身性質(zhì)特征，按一定的數(shù)學(xué)知識技能進(jìn)行反例構(gòu)造。

例2.判斷周期函數(shù)是否一定有最小正周期。

學(xué)生從正面理解有一定的困難，此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例。

如判斷f（x）=1，x是有理數(shù)-1，x是無理數(shù)是否存在最小正周期？

設(shè)T為任意有理數(shù)，當(dāng)x為有理數(shù)時，x+T也為有理數(shù)，x為無理數(shù)時，x+T也為無理數(shù)。則有f（x+T）=1，x+T是有理數(shù)-1，x+T是無理數(shù)

即：f（x）=f（x）+T，則f（x）以任意有理數(shù)T為周期，但有理數(shù)中不存在最小正有理數(shù)，所以f（x）最小正周期不存在[5]31。

3.直觀構(gòu)造法。直觀構(gòu)造法也可看作是形象構(gòu)造法，主要針對的是幾何方面的數(shù)學(xué)問題或數(shù)形結(jié)合問題，它是在聯(lián)系問題的幾何圖形基礎(chǔ)上，結(jié)合圖形的特征構(gòu)造的反例[10]。

四、反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

（一）可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)最基本的知識，只有掌握好數(shù)學(xué)概念，才能在后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路上走得更加順暢。概念本身具備著高度的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和抽象性，在教學(xué)過程中教師要讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)概念是如何形成的，將數(shù)學(xué)概念的形成過程放在首位[11]，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度用不同的方法來辨析數(shù)學(xué)概念，適當(dāng)發(fā)揮反例的作用，幫助學(xué)生從不同方位鞏固相關(guān)數(shù)學(xué)概念，從而深化對數(shù)學(xué)概念的理解。

函數(shù)單調(diào)性的概念屬于抽象性數(shù)學(xué)概念，如果教師在授課過程中只是按照教材內(nèi)容單純向?qū)W生灌輸函數(shù)單調(diào)性的概念，卻不注重概念的形成過程，學(xué)生就無法理解這樣形式化的概念是如何形成的。學(xué)生最終將無法做到真正理解函數(shù)單調(diào)性的概念，在解題中容易就會出現(xiàn)混亂，也會對今后的函數(shù)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生影響。必要時，教師可以通過具體的反例來幫助學(xué)生加深對函數(shù)單調(diào)性概念的理解。在正、反例對比中明確函數(shù)單調(diào)性概念的本質(zhì)特征。

五、在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中使用反例應(yīng)注意的問題

（一）注意使用反例的時機(jī)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中合理使用反例教學(xué)的一個前提是學(xué)生對所學(xué)的知識有一定的理解和掌握程度，在學(xué)生能夠靈活掌握正例的基礎(chǔ)上，才能正確地展示反例。才能更好地開展教學(xué)活動。教師在教學(xué)過程中使用反例把握好時機(jī)，能夠有針對性地幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，注意引入反例的合理性，使其用在關(guān)鍵之處[14]。

首先，學(xué)生學(xué)習(xí)比較難掌握的數(shù)學(xué)概念時，常常會因?yàn)楦拍钐橄蠖嫖霾磺逶斐稍诮忸}時容易出現(xiàn)錯誤，此時教師在教學(xué)活動中巧妙使用反例可以使概念特征簡單化，更能讓學(xué)生容易理解。因而在恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)使用反例可以讓學(xué)生減少出錯的概率，提升學(xué)生解題的能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

其次，學(xué)生在思考數(shù)學(xué)問題時，常常認(rèn)為自己的解題思路是非常正確的，苦思冥想也難以發(fā)現(xiàn)其中錯誤。此時，教師就應(yīng)該抓住教育時機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生用一個簡單的反例來發(fā)現(xiàn)錯誤。如在學(xué)習(xí)因式分解后，學(xué)生知道m(xù)（a+b）=ma+mb，那么學(xué)生可能就會理所當(dāng)然認(rèn)為m÷（a+b）=ma+mb也是正確的，這時候可以應(yīng)用簡單的反例來進(jìn)行解釋說明，當(dāng)m=36，a=3，b=9時，顯然m÷（a+b）≠m÷a+m÷b。恰當(dāng)?shù)囊敕蠢M(jìn)行教學(xué)能讓學(xué)生及時發(fā)現(xiàn)錯誤，從而對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識更加印象深刻。

（二）注意使用反例的程度

使用反例教學(xué)不是盲目追求反例能快速解決數(shù)學(xué)問題，而是在施教過程中可以選擇簡單的反例來加深學(xué)生對知識的理解。學(xué)生的思維方式存在差異性，對知識的接受能力不同，教師在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)反例，可能會給學(xué)生帶來心理壓力。而且教師在教學(xué)過程中，總是強(qiáng)調(diào)使用反例，學(xué)生會產(chǎn)生知識錯亂，遇到實(shí)際問題時不知道是該采用什么方法來解決問題比較好。如果學(xué)生無法構(gòu)造反例時，就會片面覺得自己得出結(jié)論都是錯的，也會讓學(xué)生覺得構(gòu)造反例是一個困難又復(fù)雜的過程，從而不愿意將反例應(yīng)用到解決問題中。所以掌握好使用反例的程度，才會取得理想的效果。

六、結(jié)束語

在新課標(biāo)的背景下反例的重要性更加突出，在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中合理的反例應(yīng)用是幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)難題強(qiáng)有力的工具。目前，中學(xué)數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)課堂上使用反例教學(xué)頻率不高，使用反例的作用來組織教學(xué)的意識程度并不強(qiáng)。教師不常利用反例開展教學(xué)是因?yàn)榻處煂Ψ蠢淖饔美斫獠坏轿灰约皩W(xué)生構(gòu)建反例有一定的困難，有時候反例的使用會使學(xué)生更難以理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識。教師在使用反例時必須考慮學(xué)生已有的知識水平程度和數(shù)學(xué)思維建構(gòu)體系，才能很好地運(yùn)用反例。建議教師在教學(xué)過程中結(jié)合實(shí)際設(shè)計(jì)多種多樣的反例融入課堂教學(xué)活動，這樣不僅能在教學(xué)活動中提升教學(xué)效果和教學(xué)水平，還能培養(yǎng)學(xué)生使用反例的意識以及數(shù)學(xué)理解能力。

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