學習理論與數(shù)理哲學在數(shù)學教學改革上的應用

陳瑞明

【摘要】數(shù)學的教導與學習一直是教育改革中重要的課題.一個同時考慮數(shù)學本質和學習過程內涵所設計的數(shù)學教學才能有效、準確地將數(shù)學知識傳遞下去，兩者關系可以由教育心理學與數(shù)理哲學來切入探討.本文通過將教育心理學上主要的學習理論：行為主義﹑社會學習理論﹑認知學習理論﹑建構學習理論和數(shù)理哲學的理論派別：形式主義﹑邏輯主義﹑直覺主義﹑實證主義做比對發(fā)現(xiàn)，可將相容部分的理論結合起來，用于說明如何針對不同的數(shù)學科目進行相對應的教學改革內容——主要還是根據(jù)不同數(shù)學科目本身的特殊性，對如何設計個別數(shù)學科目教學課程進行分析，以總結出結合學習理論及數(shù)學哲學的教學及學習方式.由探討的結果可以發(fā)現(xiàn)，形式主義和注重心理結構認知學習理論、邏輯主義和注重行為主義的認知學習理論、直覺主義和建構學習主義理論，及實證論主義和納入環(huán)境要素的社會學習理論有較高的相容性.若能更進一步探討如何將這些理論落實到教學上，使得這些相對應的理論能應用到每一個數(shù)學科目，則在設計數(shù)學教材或數(shù)學講述上，能有效進行數(shù)學知識的傳遞工作.

【關鍵詞】學習理論;數(shù)學哲學;直覺主義;數(shù)學實在論;建構學習主義

一、學習理論與數(shù)學發(fā)展關聯(lián)性概述

（一）學習理論背景知識介紹

學習理論經歷了不同階段，從早期的約翰·華生、弗雷德里克·斯金納的強調S-R（刺激與反應）行為主義學習理論，到納入環(huán)境要素阿爾伯特·班杜拉的社會學習理論，到引入心理結構的認知學習理論，再到皮亞杰由個人已知或已有的學習經驗出發(fā)的建構學習主義理論，這些學習理論的實質內容及具體的主張可以參考葉浩生的《西方心理學的歷史與體系》一書，尤其書中對于（新）行為主義、結構主義及人本主義等理論基礎和哲學思想的來源都有詳細的說明.至于實際上要如何利用這些學習理論進行教學，教師可以參考陳琦的《教育心理學》一書中的詳細介紹說明，這里筆者僅引述陳琦對于學習理論綜合性的看法作為本文的引言，學習理論主要回答以下三方面的問題：（1）學習的實質是什么？（2）學習是一個什么樣的過程？（3）學習有哪些規(guī)律和條件？本文的架構大體上也是從這些問題出發(fā)，探討這些學習理論和數(shù)學哲學思想間的關聯(lián)性及可應用性.以下筆者只針對和本文有關聯(lián)的學習理論部分進行概要性分析、探討與說明.

（二）行為理論與數(shù)學發(fā)展關聯(lián)性介紹

行為主義和社會學習理論的主要差別在于，社會學習理論是社會變量（環(huán)境），探討個人認知、個人行為和環(huán)境三者間的互動關系，因此，除了行為主義的聯(lián)結及強化機制外，尚需考慮和觀察社會環(huán)境，進行復制或強化動作，這個基本上已經開始對應到數(shù)學學科，因為數(shù)學是為其他學科服務的學科，同時數(shù)學學科也可以用來描述數(shù)學家建構數(shù)學的過程.（社會）環(huán)境提供一個動態(tài)的因素，它是數(shù)學家重要素材的來源，即使多位數(shù)學家包含戈特弗里德·威廉·萊布尼茨，稱數(shù)學的經驗是先天的，實際上大部分的數(shù)學發(fā)展還是環(huán)境發(fā)展需要下的產物，例如利用數(shù)學知識可以有效地控制一個國家或一個地區(qū)的經濟活動或掌握人口分布結構等等.有效利用數(shù)學工具便可管控總體經濟，例如貨幣發(fā)行量的多寡及周期，公務人員的薪資額度，加薪或退休金的計算，各式稅率的制定與征收等等，數(shù)學都是不可或缺的分析工具，這些需求當然就間接促進了數(shù)學的發(fā)展，尤其是統(tǒng)計學的統(tǒng)計方法的創(chuàng)建.相反地，個人行為也會對社會環(huán)境造成影響——學習的過程不再是單純、被動地等待刺激，而且刺激的來源也不再是自然或物理反應，人們必須主動地觀察學習所處的環(huán)境狀況.當然，數(shù)學影響世界的發(fā)展更是明顯，世界不但提供一個數(shù)學創(chuàng)作素材的來源，相反地，數(shù)學的研究也豐富了世界的發(fā)展——尤其像目前世界各國正努力發(fā)展的人工智能，背后便需要大量的數(shù)學工具和理論模型等來支持.

（三）建構學習主義與數(shù)學發(fā)展關聯(lián)性介紹

建構學習主義與行為主義的最大不同點在于對客觀事物與個人知識形成的不同看法.對行為主義者而言，客觀的事物是具體存在于人的意識之外的，客觀事物對人的意識會產生刺激，這種刺激進而形成人的知識.在這個過程中，知識的形成是被動的，是由刺激引起的.以數(shù)學的認知來看，人類從兒時便對簡單的自然數(shù)有反應，這部分是直覺的認知過程，我們可以看成自然數(shù)是依附在客觀存在的事物上，透過人類的視覺受到這些事物的刺激，使人類在意識上便產生了自然數(shù)這個知識.由此我們也可以知道，數(shù)學知識的形成并不是單純靠智慧發(fā)展出來的，有一部分確實是行為下經由外在事物刺激自然產成的.反觀，對于建構學習主義者而言，知識的形成是以學習者本身的背景知識為底，通過學習者對事物的積極認知過程所形成.由于每個人的背景知識不相同，所形成的知識也就不同.實際上，建構學習主義比較逼近真實的學習過程，理由有以下幾個：

1.學習者是人，不是動物，行為主義操作下的機械性生理反應并不足以解釋或適用人的學習經驗，即使是以人當研究客體，也不見得適用大部分的人;

2.學習者本身的既有知識確實會決定他是否能對新的事物形成新的經驗，而不是單純的強化過程，當事物本質有了新的改變，個人知識經驗也應該跟著變動，人相對于其他動物而言，可變性確實高了一些;

3.學習者本身的學習態(tài)度及方式等也決定了他學習的有效性，而非單純是被動接受刺激就會有正確的反應，還是要視個人的心理狀態(tài)及結構而定.

以數(shù)學知識的形成來看，筆者個人認為早期的數(shù)學概念主要是受行為主義的學習認知過程影響，這種影響應該追溯到孩童時代，他們對于外在的世界會產生一個認知，讀者可以參考一下布蘭思福特在《人是如何學習的——大腦，心理，經驗及學?！芬粫刑岬降年P于小孩如何對數(shù)字進行認知、探索的過程的描述（布蘭思福特，2002，P.98-100）.人一旦形成知識，并開始學會使用符號來表述這些概念，這些概念就成為個人的一個數(shù)學經驗，例如李彩紅在《基于三種學習理論整合的數(shù)學概念教學設計》一文中對于“函數(shù)”這個概念的數(shù)學經驗是如何形成的所做的探討（李彩紅，2014，P.19-23）.一旦這個數(shù)學經驗形成，人們就可以去建構新的數(shù)學經驗和知識.到了后期，比較是建構主義式的學習方式.因此以數(shù)學認知的過程來看，學習理論代表的是數(shù)學不同階段的學習方式，而不是說哪一個理論比較好，畢竟沒有種子哪來的果實.以下筆者開始針對不同的數(shù)學哲學觀點，結合相容的學習理論，根據(jù)本人的數(shù)學專業(yè)知識、教育學習過程及教學經驗，來探討不同的數(shù)學科目適用的學習及教學方式.除此之外，我們還必須注意教學化過程的有效性，也就是研究如何利用這些學習理論去有效轉化成學習成果，正如克拉耶夫斯基在《教學過程的理論基礎》一書中所言：“從社會經驗到個人經驗，經歷各種不同層次的活動——這就是教學的行程.”（克拉耶夫斯基，1996，P.10）

二、數(shù)學實在論與客觀事物存在論

（一）數(shù)學實在論觀點

數(shù)理哲學理論是以唯物主義的物質為第一性、精神為第二性為基礎而發(fā)展的數(shù)學實在論.這個數(shù)學思想是把數(shù)學知識與心智活動分開來看，數(shù)學知識是已經存在的且獨立于人的思想活動，數(shù)學家并不是創(chuàng)造數(shù)學，而是發(fā)現(xiàn)已經存在的數(shù)學知識.這個時期的學派以柏拉圖主義為代表，這個學派的精神如斯圖爾特·夏皮羅在《數(shù)學哲學：對數(shù)學的思考》一書中所言：“在本體論實在論者中，最普通的觀點就是數(shù)學對象是非因果的、永恒的、不能解構的，并且不是時空的一部分”.（夏皮羅，2009，P.25）簡單地說，數(shù)學本身具有絕對性的存在，不因人類思考變動而遷移.這個學派已經發(fā)展幾千年，極致的發(fā)展分支學派是完全柏拉圖主義，本學派主要采用的數(shù)學邏輯是排中律和選擇公理.排中律實際上是二元論下的產物，也就是非黑即白.這個邏輯主導了哲學和數(shù)學的發(fā)展幾千年了，大家也都認為這是萬物運行的準則，實際上這些概念是可以被挑戰(zhàn)的，后面筆者會提到其他不同學派的觀點，這些學派比較靠近唯心主義的主張，也可稱為反數(shù)學實在論學派.

（二）古典數(shù)學與數(shù)學實在論的關聯(lián)性

對于學習理論而言，客觀事物的存在性根據(jù)不同的學習理論而有所不同.對于古典的行為主義者而言，客觀事物是具體獨立存在的，因此我們只能由被動地接受刺激來學習.這種觀點和數(shù)學實在論具有高度相容性，實在論強調的是數(shù)學的整體早已構建完成，我們只不過是被動的學習者，并不是數(shù)學的創(chuàng)造者.數(shù)學既然已經獨立于人的思維且已自行構建完成，我們就可以大膽地說所有數(shù)學命題都有真?zhèn)?，且真?zhèn)卧缫汛嬖谟跀?shù)學家發(fā)現(xiàn)它們之前.因此排中律的假設必然是成立的，當然選擇公理和其他的等價陳述也必然成立，這也是為什么古典邏輯（亞里士多德）能被大部分數(shù)學家采納幾千年.后來，這種思想被數(shù)學的直覺主義學派所取代.這兩種思想是目前數(shù)學證明理論的兩大數(shù)學哲學思想.前者一般稱為古典數(shù)學，后者稱為新古典或直覺主義數(shù)學.

（三）古典數(shù)學與學習理論的關聯(lián)性及應用性

目前，全世界主流的數(shù)學還是以古典數(shù)學為主，主要原因筆者認為是我們受到二元論的主導，當然采用二元論是為了方便行事，在推論上更能容易有效拓展，但是這和客觀事物的存在性關系并不是絕對的.也就是說，對于古典數(shù)學的這個存在性是毋庸置疑的，然而對于新古典數(shù)學家來說，這個存在性是要經過人的經驗來確認的.因此，“毋庸置疑”是一個數(shù)學經驗的過程，不是一個結論.實在論和反實在論的哲學思想主導了人類思維好幾千年，這個辯證思想當然不是要得出正確或唯一的答案，而是借由這個辯證思想不斷地去豐富人類的思考內容及反思，當然這個哲學思想并不僅僅是在數(shù)學這個科目體現(xiàn)，同樣，其他的學科也都深受這些哲學思想的影響.這些哲學思想：實在論與反實在論還是在爭論不休中，由祝楊軍的《對數(shù)學實在論與反實在論之爭的辯證考察》一文就可以清楚地看到彼此的觀點及主張：“一直以來，作為數(shù)學中基礎問題的實在論與反實在論之間的爭論不絕于耳、歷久彌新.它直接關系到數(shù)學是否具有客觀性、確定性與真理性”.（祝楊軍，2014）

三、形式主義與引入心理結構的認知學習理論

（一）形式主義在數(shù)學上的內涵

形式主義以德國數(shù)學家戴維·希爾伯特為代表，強調的是公理系統(tǒng)，將數(shù)學的正確陳述以公理系統(tǒng)來表述.公理化系統(tǒng)可以追溯到歐幾里得的《幾何原本》，例如在蘭紀正等人所譯的《幾何原本》一書中所揭示的公理：兩點間可以畫一條直線、任何直角都相等、彼此能重合的物體是全等的.（蘭紀正，2003，P.3-5）接著歐幾里得就利用他的定義及公理陳述去證明其他命題的真?zhèn)危@便是最早的一個典型的公理化（形式化）過程.很多古代數(shù)學家便是利用這套公理化的系統(tǒng)來理解這個世界或數(shù)學，尤其是幾何學和數(shù)論等科目.近代數(shù)學家希爾伯特也曾經對幾何進行公理化陳述，馮·諾依曼更是直接對量子力學及集合論進行公理化陳述，可見公理化并不是數(shù)學的專利，其他學科，例如經濟學的假設等等，或多或少也是一種公理化形式，只不過不是以數(shù)學那么精簡的形式陳述.還有，假設本身是多樣化的，具有較強的變動性，反之，公理化則不易變動，并具有較高的直覺性.以學習者的角度來看，形式化并不是完全新穎的，在他們自己的專業(yè)上，多少都存在形式化的陳述，這種陳述有時是根據(jù)客觀世界來判定的，有時是數(shù)學家本身的陳述.

（二）形式主義與學習理論的關聯(lián)性及應用性

這個形式主義比較靠近引入心理結構的認知學習理論，考慮的客體是目前實際在使用的數(shù)學系統(tǒng).對于學習者而言，這個理論適用于跨領域學習，原因是，當你將一數(shù)學客體形式化后，即可轉入其他系統(tǒng)中使用或應用，如數(shù)學與電子計算機的跨領域研究及應用.因此數(shù)學科目，如集合論、（非）線性規(guī)劃、最優(yōu)化問題等等，可以強化形式主義的教學理念，把認知學習的對象鎖定為形式主義的客體，透過形式主義可以簡單地將復雜的客體移植到不同的學科，對于跨學科的整合學習是個相當有效率的學習方式.實際上，美國有些金融投資公司聘請的高級技術人員便是搞純數(shù)學的，有些甚至是數(shù)學邏輯學家或集合論學家，這對于沒有接觸過形式主義數(shù)學訓練的人來說是很難理解的.這些公司之所以聘用純數(shù)學的數(shù)學家，主要原因是：一個學問一旦被形式化后，便可以將該學問抽象化、語言化及邏輯化，這樣便容易移植到其他學問中.形式主義除了可以和認知學習結合使用外，它本身也是一個被思考的客體.也就是說，當一個復雜的客體被形式化后，形式化后的認知即被視為一個新的研究客體，例如數(shù)學上的代數(shù)結構、實變函數(shù)、泛函分析等等科目，一旦將數(shù)學實際運算客體形式化成代數(shù)公理系統(tǒng)后，該代數(shù)結構即為研究的新客體，必要時還可以對這些數(shù)學結構再加以形式化，這也對應到認知學習上有關歸納法的使用.這個數(shù)學的認知學習過程能夠將個人的背景知識的干擾降到最低，也就是這個學習過程是帶有機械性的，可驗證性的，好處是經由形式主義學習到的數(shù)學知識嚴謹度相當高，缺點是不易在心里留下數(shù)學的認知經驗過程.目前，有些數(shù)學自動化系統(tǒng)可以依據(jù)所輸入的公理系統(tǒng)自行推導定理及真理，就這種觀點來看，這種學習方式較符合李躍文在《意義學習理論對數(shù)學的啟示》一文中所轉述的戴維·保羅·奧蘇貝爾所謂的機械學習.（李躍文，2000，P.6-8）雖然奧蘇貝爾主張的是有意義的學習，但是當存在的客觀環(huán)境相當復雜或多變，尤其學習者的背景知識也多變時，教授者要去完全理解學習者的知識狀態(tài)是有一定的難度的.因此，部分的機械性學習確實是有必要的，這也是為什么時至今日形式主義的學習方式依舊被大量應用，尤其是在目前高度發(fā)展的機器學習領域.目前，人工智能已經深入到世界的各個領域，與機器直接溝通或通過機器進行溝通已經是不可避免的趨勢，因此要了解一些機器語言，如C語言等.隨著科技的發(fā)展，人的學習方式勢必也要更新，與機器互動的學習方式也無可避免.形式化的數(shù)學學習方式是當初希爾伯特一心想要建構的數(shù)學世界，但歌德后來證明了這樣的數(shù)學世界是不存在的，原因很簡單，任何的公理系統(tǒng)一定會存在該系統(tǒng)無法判別的數(shù)學陳述句.雖然如此，形式主義依舊提供了一個快速的、機械性的、嚴謹性的學習方式，能夠有效地把數(shù)學知識傳遞給下一個學習者.由于人類的知識形成方式并不適用機械性的學習，因此教授者教授形式化的數(shù)學公理系統(tǒng)時應該借由其他輔助工具，如圖、表等，來有效提高學習者的理解能力.當學習者有能力依據(jù)符號做思考時，再將抽象層次提升，進而達到形式化.也就是說，教師一開始可以以自然語言和學者的數(shù)學背景知識出發(fā)，一步一步地進行抽象學習，使學生參與整個形式化的數(shù)學經驗.一旦學生有了這個經驗，對于其他的形式化的學習就相對簡單了，甚至學生自己就能慢慢學會如何抽象及形式化一個數(shù)學系統(tǒng).

四、邏輯主義與行為主義的認知學習理論

（一）邏輯主義在數(shù)學上的內涵

邏輯主義以德國邏輯學家、數(shù)學家戈特洛布·弗雷格為代表，強調的是數(shù)學真理的獲得必須是從定義出發(fā)，并依選定的邏輯公理通過數(shù)學邏輯推理獲得.目前，對于數(shù)學教育并不采用嚴格的邏輯化系統(tǒng)，主要原因是：一方面，大部分公理是由直覺出發(fā)，沒有必要刻意強調;另一方面，邏輯主義易流于形式，對于學習數(shù)學者有機械性操作的感覺. 就這個觀點來看，邏輯主義可以和對應的行為主義學習論來結合，行為主義強調的刺激與反應本身帶有機械性，強調的是刺激（數(shù)學客體）和反應（數(shù)理邏輯系統(tǒng)）的關系.對于學習者而言，這樣的學習方式在數(shù)學科目上的應用可以是數(shù)學建模、數(shù)理邏輯、理論計算、拓撲學等科目.學習者該掌握的學習重點是由數(shù)學客體到邏輯系統(tǒng)的遷移過程，并且能將這一過程加以復制及應用.邏輯主義和形式主義有幾點不同：

1.邏輯主義并不強調形式化，也就是可以憑借人類的自然語言進行數(shù)學知識的積累及推演.

2.形式主義強調的是系統(tǒng)本身的公理化，也就是邏輯部分不見得要公理化，但邏輯系統(tǒng)本身強調的是邏輯的公理化.

3.邏輯主義認為邏輯本身就足以推導整個數(shù)學系統(tǒng)，但實際上還有形式主義等的配合.正如張景中院士在《數(shù)學與哲學》一書中所寫：“邏輯主義本來想用自己的工作論證柏拉圖主義，結果并沒有成功.算術是化歸到集合論了，但集合論的公理系統(tǒng)卻有好幾個，因而不能說是純粹的邏輯了”.（張景中，2008，P.70）

邏輯公理化的結果使我們的認知不再局限于客體事物本身，而是用完全有心理結構的認知來判定.這樣的認知學習方式有個最大的好處，就是可以免于個人情緒或主觀認知差異的干擾.邏輯主義的學習方式從認知心理學的角度來看，具有高度的自我認知學習過程，而且這種認知方式不僅僅是認知心理學一個精神的體現(xiàn)，更重要的是它提出了一個具體的由個人意識主導的數(shù)學學習方式，使用的方法就是數(shù)理邏輯.

（二）邏輯主義與學習理論的關聯(lián)性及應用性

一般的數(shù)學的教授過程并沒有刻意地去強調所使用的邏輯公理系統(tǒng)，原因主要是公理系統(tǒng)是直覺的一個體現(xiàn)，而且過度依賴邏輯公理系統(tǒng)所得的數(shù)學知識會使學習者的數(shù)學心理活動降低，造成煩瑣的符號操作及演算.試想，如果一個人正在與另一個人交談，而注意力卻主要集中在對方講話的語法結構有沒有問題上，那么這樣的學習方式反而對于學習者內心數(shù)學的建構難于有直覺性的認知.以數(shù)學科目來說，目前應該是數(shù)學邏輯和少數(shù)純數(shù)學科目的學習采用邏輯主義作為學生學習的方式，這些科目也確實有必要直接采用邏輯主義教授，主要是它們的數(shù)學客體就是邏輯本身.目前國內和國外對數(shù)理邏輯這個科目的認知并不相同，對于國外大部分高校而言，數(shù)理邏輯大多是大一數(shù)學科系的必修課程，國內則以其他實用性的數(shù)學科目作為起始點，或者概要性介紹這個科目，兩者對數(shù)學教育的學習效果有待進一步分析.

五、直覺主義與建構學習主義理論的認知學習理論

（一）直覺主義在數(shù)學上的內涵

直覺主義以布勞威爾為代表，這一學派主張的是數(shù)學學習是學習者本身的一個認知過程.當然布勞威爾對數(shù)學知識的主張是比較極端的，他認為數(shù)學就是數(shù)學家個人的思考及內化過程，具有個別性，不具有普遍性.其實他所強調的是，數(shù)學系統(tǒng)不是不可挑戰(zhàn)的，也不是一言堂的，每個人其實都是數(shù)學家.這當然直接沖擊到我們對于數(shù)學具有普遍性的一個認知.由于知識在直覺主義者看來必須有一連串的數(shù)學認知過程及經驗，因此老師和學生的傳統(tǒng)教學方式必須加以修正.也就是說，教授者必須觀察學習的背景知識來做數(shù)學教學.對于數(shù)學實在論者主張的排中律和選擇公理，直覺主義者是堅決反對的，主要是因為排中律和選擇公理對于學習者在學習數(shù)學的過程中沒有認知過程，而是依賴于學習者對數(shù)學實在論的信心，對于直覺主義者而言，這是不合乎數(shù)學學習法則的，因此，也不承認這樣的數(shù)學證明是合法的.然而，這樣的數(shù)學并沒有被大部分的數(shù)學家所采納，如希爾伯特就大力反對布勞威爾的主張，尤其是排中律對于希爾伯特而言是數(shù)學的一大利器，舍棄不用，則數(shù)學發(fā)展必會遇到極大困難.但是從歷史演變來看，希爾伯特的擔心似乎也過了頭.目前，直覺主義者確實在數(shù)學的各個領域都已取得相當程度的進展，而且越來越多的傳統(tǒng)數(shù)學家也開始加入直覺主義行列，國外有些高校的數(shù)學課程甚至直接就采用直覺主義的想法授課，完全丟棄古典數(shù)學.實際上，若要將數(shù)學應用到其他學科中，則直覺主義下的認知過程是相當重要的，包含如何構建一個演算法（這個演算法很可能是新穎的，否則古典數(shù)學家早就采用了）或者如何建構新的數(shù)學系統(tǒng)（直覺主義的采用并不是單純地將古典數(shù)學中的某些邏輯規(guī)則拿掉，如果只是這樣，確實會是希爾伯特擔心的，一堆數(shù)學陳述可能無法證明它的真?zhèn)涡裕?以實用性而言，直覺主義所提供的演算法或證明存在性的方式能有效地轉化到其他學科.例如利用電腦來驗證或使用該演算法，對于教師而言，演算法是視覺化的，甚至可以簡單地用實際例子或電腦方程式加以表達.從這個角度來看，學生應該在心里的接受上對于數(shù)學更加人性化一點，當然要付出的代價是如何去尋找這些演算法或存在的個體，這當然是直覺主義者需要開拓的.在這個開拓的過程中，古典數(shù)學的教授方式肯定也是無法避免的，當然適度的取代排中律或選擇公理，以演算法或找尋存在客體的方式來講述，對于學生的幫助應該會較大.國內由于接觸直覺主義訓練的數(shù)學家及可參考的直覺主義教科書并不多，要全面推廣這樣的教育理念恐怕也不切實際.再則，既然這是哲學思想，自然難得到一致性的看法，也就是有些數(shù)學家會贊同，有些會反對，這在課程統(tǒng)一的前提下也是一大問題.即使教師有心全面采用直覺主義的教學方式，目前有些數(shù)學的學科在直覺主義的發(fā)展下也尚未找到一個最后認定的定義或公理系統(tǒng)來指導這些課程的進行，以國內目前的數(shù)學學習環(huán)境來看，顯然直覺主義的條件尚未形成.但筆者認為，直覺主義的思想還是可以利用的，例如多提供演算法去完成數(shù)學的證明，少用古典數(shù)學的二元邏輯系統(tǒng).筆者相信，隨著世界潮流慢慢的改觀，直覺主義的數(shù)學教學方式慢慢會被重視及正視.

（二）直覺主義與學習理論的關聯(lián)性及應用性

直覺主義的主張可以直接對應到學習理論的建構學習主義理論，學習必須是以學習者本身出發(fā)，進行一連串的心智過程而獲得，數(shù)學理論的發(fā)展應該考慮這樣的一個認知過程.以數(shù)學科目來說，離散數(shù)學的離散性提供了一個高度的直覺性，也易于學習者本身完成有限的數(shù)學經驗——學習者可以通過有限的步驟完成數(shù)學學習經驗，這是有別于實數(shù)系的數(shù)學（連續(xù)）.以直覺主義者的觀點，實數(shù)系并不是一個已經構建完成的數(shù)學客體，而是一個尚在構建中的數(shù)學體系，且這個構建過程應該是從自然數(shù)出發(fā)，這和我們傳統(tǒng)學的數(shù)學相當不同.傳統(tǒng)的學習方式是直接引入實數(shù)線，對學生說明這就是實數(shù)，咋看好像這就是實數(shù)，但當學生進一步提問：這條線為什么就對應到所有的實數(shù)，教師大概就難以回答學生的問題了.原因是學生并沒有實數(shù)的建構過程，也就是說這個數(shù)學經驗完全消失了（實際上這個數(shù)學經驗應該由自然數(shù)出發(fā)，利用自然數(shù)去構建整數(shù)，再由整數(shù)去構建有理數(shù)，最后由有理數(shù)去構建實數(shù).當這個構建過程完成后，教師再把構建完的實數(shù)系去和實數(shù)線做對應.也就是說，實數(shù)線的性質是后來推出來的，不是完全視覺上的一條線決定的），對于這個數(shù)學客體當然無法在心智上產生對應的建構體.除了離散數(shù)學外，數(shù)論、統(tǒng)計概率、解析幾何等也都適用這個主義下的學習方法，具體的學習方式是以學生已知的背景知識出發(fā)，教師適度引導學生，由學生自己完成數(shù)學學習的經驗，也就是建構者就是學生本身，教師只不過是一個輔助的角色.這個想法確實很好，有因材施教之效.但是，實際的教學方式必須視學生的資質和背景知識而定，必要時應該進行能力或傾向性的分班，以針對個別學生的能力背景設計出適合他的數(shù)學學習方式，包括哪個單元先教等等.

六、實證論主義與納入環(huán)境要素的社會學習理論

（一）實證論主義在數(shù)學上的內涵

實證論主義數(shù)學理論的主要代表者是奧曼·蒯因，他強調的是數(shù)學應該同其他學科一樣，必須有實證上的價值.換個角度來看，數(shù)學主體本身必須具有實用性及應用性，并且對于它客體的選擇必須由實證來決定，也就是說一個數(shù)學理論必須跟其他學科一樣具有高度的實用性.我們從現(xiàn)在大學生的學習態(tài)度來看，就可以知道其中的道理，正如閔蘭在《高等數(shù)學教學改革的幾點思考》一文中提到的，“現(xiàn)在的大學生普遍有這樣一種困惑：高等數(shù)學那么難，那么抽象，它對將來的工作和生活有什么作用？”（閔蘭，2012，P.139-141）這也是很多數(shù)學學習者，甚至是教授者深藏內心的一個疑惑.

（二）實證主義與學習理論的關聯(lián)性及應用性

實證主義對應于學習理論的納入環(huán)境要素的社會學習理論，也就是對于知識本身的價值必須多元化思考，凡是對知識的形成有影響的，都應該納入考慮范圍.實際上實證論主義是早期數(shù)學發(fā)展的一個歷程，早期數(shù)學的發(fā)展確實是為了解決實際的自然或社會問題，可以看出數(shù)學是服務于其他具體問題的工具學科.隨著數(shù)學本身抽象化的發(fā)展，這個趨勢并沒有改變.適用的數(shù)學科目種類很多，如物理數(shù)學發(fā)展下對于微分方程、復變函數(shù)論、泛函分析等科目已自行發(fā)展成一個數(shù)學分支;（計量、動態(tài)、時間數(shù)列）經濟數(shù)學對于統(tǒng)計模型理論及應用的促進發(fā)展——例如賽局理論也自行發(fā)展成一個數(shù)學分支;統(tǒng)計學對于實數(shù)函數(shù)理論的進一步發(fā)展等等，這些都體現(xiàn)出其他社會學科對數(shù)學發(fā)展的貢獻.教師必須針對學生的專業(yè)特別強調他們所學的數(shù)學，例如高等數(shù)學的實用性.對非數(shù)學專業(yè)的學生而言，數(shù)學是一門服務的學科，幫助他們理解本身專業(yè)的詞匯，以實用性來說就是一門工具學科.同時，教師可以引入該學生的專業(yè)的數(shù)學軟件，解決他們專業(yè)上具體的問題.教師最好能在課上引入具體的實例，以增加數(shù)學的實證性，從而提高學生學習的積極性.

七、結?語

本文針對不同的學習理論，與數(shù)學哲學的不同理論進行結合與相容性研究.教師通過本研究可以進一步提升對數(shù)學發(fā)展和教育心理學及教育學發(fā)展的認知.不同的數(shù)學科目，可以依據(jù)適當?shù)臄?shù)學哲學理論，搭配相容的教育學習理論進行數(shù)學的教學改革.數(shù)學教學改革的一致性是相當重要的，若數(shù)學教材或教法和數(shù)學理論及學習理論相抵觸，則很可能在教學上或傳遞數(shù)學知識的過程中造成學生理解上的困難，甚至是無法理解.本文從學習理論的觀點及學習進程來搭配適合的數(shù)學哲學理論及系統(tǒng).隨著時代的發(fā)展，數(shù)學已經不再是一個單一不變的學科，如同其他學科一樣，它是有與時俱進的需要的.一部分原因是來自數(shù)學哲學的影響，一部分原因是來自數(shù)學與其他學科互動的影響.

我們通過本文的研究可以知道，形式主義和注重心理結構認知學習理論具有較高的相容性，邏輯主義和注重行為主義的認知學習理論搭配較合適，直覺主義和建構學習主義理論有強烈的互動關聯(lián)，實證論主義和納入環(huán)境要素的社會學習理論有較高的相容性.對這些理論的理解有助于教師建構一個一致性的數(shù)學知識傳遞方式.文中也充分提到數(shù)學學習的實質是什么，更揭示了數(shù)學學習的過程及數(shù)學學習的規(guī)律性和發(fā)展條件.如果教師能將這些理論有效地落實到實際的數(shù)學教學上，并把根據(jù)相對應的理論應用到每一個數(shù)學科目上，那么教師就能夠有效地進行數(shù)學知識的傳遞工作.

八、致謝

本文受“百色學院校級教學改革工程項目”底下一個子項目（項目編號為2019JG47，項目名稱為《數(shù)理哲學下的本科數(shù)學課程內容設計與人才培養(yǎng)方式》）所贊助與支持，筆者表示由衷的感謝.

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