有趣的“雙胞胎”之線段中點(diǎn)和角平分線

江蘇省南京市雨花臺(tái)中學(xué)初一（9）班 楊恒一

線段和角是豐富的幾何世界中最基本的常見圖形，不同的線段（角）之間，蘊(yùn)含著豐富的和差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系，而線段的中點(diǎn)和角的平分線則是有趣又實(shí)用的重點(diǎn)內(nèi)容。在《學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)手冊(cè)》的最后一頁(yè)，有這樣一題引起了我極大的興趣，通過(guò)解題和進(jìn)一步思考，我發(fā)現(xiàn)了線段中點(diǎn)和角平分線中存在很多一致的地方，就像有趣的“雙胞胎”一樣！

【題目（簡(jiǎn)化版）】

（1）已知線段AB=10 cm，在直線AB 上有一點(diǎn)C，點(diǎn)M、N 分別是線段AC 和BC 的中點(diǎn)，求線段MN 的長(zhǎng)度；

（2）已知∠AOB=90°，若射線OC 在∠AOB 的內(nèi)部，射線OM，ON 分別平分∠AOC 和∠BOC，求∠MON 的大?。蝗羯渚€OC 在∠AOB 的外部，其余條件不變，再次計(jì)算∠MON 的大小，你發(fā)現(xiàn)了什么？

【解答（簡(jiǎn)化版）】

【思考與分析】

這兩題一個(gè)求線段，一個(gè)求角，看似涉及的知識(shí)點(diǎn)不同，但細(xì)想之下發(fā)現(xiàn)，卻有以下四點(diǎn)一致：

一、“源頭”一致

“中點(diǎn)” 是將線段平分，“角平分線” 是將角平分。它們都是將一個(gè)大的總體分割成兩個(gè)相等的小部分，本質(zhì)都是在做平分。從概念這個(gè)“源頭”來(lái)說(shuō)，完全一致。

二、“結(jié)構(gòu)”一致

問(wèn)題（1）中，用到了MN=CM+CN 和MN=CM-CN；問(wèn)題（2）中，用到了∠MON=∠COM+∠CON 和∠MON=∠COM-∠CON。對(duì)比兩個(gè)結(jié)構(gòu)，完全一致，都是利用兩個(gè)部分相加或者相減，而這兩個(gè)部分都是利用線段中點(diǎn)或角平分線的概念得出的“一半”。

三、“結(jié)論”一致

四、“思想”一致

兩題都用到了“分類討論”的思想方法，針對(duì)“形內(nèi)”和“形外”分別構(gòu)圖討論。第一題，求線段MN，給的條件是“直線AB 上有一點(diǎn)C”，“直線”二字就意味著點(diǎn)C 可以在線段AB 內(nèi)部或外部延長(zhǎng)線上。同學(xué)們經(jīng)常容易思維定式，構(gòu)圖時(shí)忽略第二種。第二題，為了降低難度，分開提問(wèn)，也是提醒同學(xué)們要注意兩種情況。

同時(shí)，這兩題都用到了“數(shù)形結(jié)合”，雖然是在探索線段的長(zhǎng)度或者角的度數(shù)，但必須借助圖形分析，離開圖形談數(shù)量分析，必然是不可靠的。掌握好這些思想方法，不僅僅對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)有很大的促進(jìn)作用，甚至在分析很多生活中的問(wèn)題時(shí)也很有用！

【延伸與拓展】

“線段中點(diǎn)”和“角平分線”都是對(duì)總體二等分，我們還可以將這種思想延伸到線段的三等分點(diǎn)與角的三等分線來(lái)進(jìn)行改編和探索，是否也能利用同樣的套路分析，得到類似的結(jié)果呢？

通過(guò)對(duì)比線段的中點(diǎn)和角平分線中的四點(diǎn)一致的探索以及進(jìn)一步延伸與拓展，可以加深大家對(duì)這些知識(shí)的理解，能夠更好地把握重點(diǎn)。類比這些“雙胞胎”題的分析方法與套路，可以舉一反三，鍛煉我們的數(shù)學(xué)思維，提高我們的分析能力和探索能力！