楊氏雙縫干涉光程差近似計(jì)算的弱化條件分析

張 勇，牟朝霞，劉存海，柳 葉

（1.山西農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院，山西晉中030800；2.海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001）

楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是光具有波動(dòng)性的重要例證，也是大學(xué)物理課程中波動(dòng)光學(xué)部分的重要內(nèi)容[1-2]。幾乎所有的工科院校大學(xué)物理教材中，都利用該實(shí)驗(yàn)闡述光的分波陣面干涉理論。文獻(xiàn)[3-6]幾乎采用同樣的近似方法得出兩束相干光的光程差。如圖1 所示，各物理量含義如下[7-8]：a、b 代表兩束光的光程；D代表觀察屏與雙縫間垂直距離；d 代表雙縫間距；x代表觀察屏P 點(diǎn)坐標(biāo)，則δ=b-a 為：

圖1 楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)Fig.1 Young’s double-slit interference experiment

該類方法中一般采用了以下3個(gè)近似條件[9-13]：

1）當(dāng)D>>d 時(shí)，δ ≈——BC=d sin θ；

2）θ 很小，tan θ ≈sin θ；

條件1 滿足遠(yuǎn)場干涉條件，條件2 滿足近軸干涉條件；條件2、3在對近軸干涉討論時(shí)存在矛盾，導(dǎo)致當(dāng)x=0 時(shí)，θ ≠0，有δ ≈d sin θ ≠0，與式（1）矛盾。

文獻(xiàn)[14-17]對光程差計(jì)算的近似條件進(jìn)行了討論，給出了代數(shù)法計(jì)算光程差的公式，對公式進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，忽略二階小量同樣得到式（1）的結(jié)論，近似條件仍為D>>d 且x>>d 。以上各種方法在光程差推導(dǎo)上都使用了近似，區(qū)別在于近似的時(shí)機(jī)不同，近似的精度不同，但近似的落腳點(diǎn)都是如何用條紋中心坐標(biāo)x 的多項(xiàng)式來表示光程差。而在具體實(shí)驗(yàn)中，兩束光干涉產(chǎn)生明條紋或暗條紋的光程差由干涉理論唯一確定。即光程差滿足半波長偶數(shù)倍時(shí)，干涉加強(qiáng)，呈明條紋；光程差滿足半波長奇數(shù)倍時(shí)，干涉減弱，呈暗條紋。實(shí)驗(yàn)中并不關(guān)心光程差具體是多少，更關(guān)心的是在光程差取入射光半波長的某一整數(shù)倍時(shí)，條紋中心坐標(biāo)x 的具體數(shù)值。所以，關(guān)鍵不在于計(jì)算光程差，而在于對確定的干涉級次（即光程差確定）準(zhǔn)確計(jì)算條紋中心坐標(biāo)，考察條紋分布圖樣、條紋中心坐標(biāo)理論值與實(shí)驗(yàn)值的偏差。

1 楊氏雙縫干涉條紋中心坐標(biāo)表達(dá)式的推導(dǎo)

如圖1所示，由平面幾何勾股定理可知：

式（2）即為兩束光在P 點(diǎn)相遇光程差的表達(dá)式。該式在計(jì)算過程中未進(jìn)行任何條件近似和修約，是兩束光在P 點(diǎn)光程差的準(zhǔn)確表達(dá)式。式（2）中若滿足D>>d 且x>>d ，利用泰勒展開忽略平方項(xiàng)二次小量[18]化簡可退化為式（1）。

對式（2）進(jìn)行移項(xiàng)平方并進(jìn)行同解變換，得：

式（3）為干涉條紋中心坐標(biāo)方程，也就是給定光程差所對應(yīng)的干涉條紋中心坐標(biāo)位置。對比式（1）和式（3），顯然，只要d>10δ 時(shí)，式（3）可退化為式（1）。即楊氏雙縫干涉光程差的近似計(jì)算不再須要滿足文獻(xiàn)[9-13]中所述的D>>d 、x>>d 和θ 很小的多個(gè)條件，只需滿足相對弱化的條件d>>δ 即可。實(shí)際計(jì)算中，因光程差δ 常以入射光半波長的整數(shù)倍來計(jì)量（δ=kλ/2，k=0,1,2…），當(dāng)入射光波長已知時(shí)，上述近似條件可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為條紋級數(shù)d/λ>>k。

2 楊氏雙縫干涉條紋中心坐標(biāo)表達(dá)式討論

物理學(xué)上，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于符號一般要求2 個(gè)物理量之間相差20～100 倍。實(shí)驗(yàn)室常用楊氏干涉光學(xué)器件一般屏距D>1m ，狹縫間距在10-1mm 量級，滿足D>>d，但可觀察的條紋線寬范圍一般2x<10 mm，并不一定滿足x>>d，只近似滿足θ ≈0。文獻(xiàn)[18]討論了tan θ ≈sin θ 滿足的條件是θ<5°。即文獻(xiàn)[9-13]中3個(gè)近似條件不可能同時(shí)滿足，經(jīng)由3個(gè)近似條件得出的光程差式（1）正確性值得商榷。

由式（3）可得：

結(jié)論1：當(dāng)δ=0 時(shí)，x=0，即中央明紋，與式（1）結(jié)論相同。

結(jié)論2：對于同一光程差δ，同級條紋對稱分布在中央明紋兩側(cè)，且2個(gè)同級條紋到中央明紋距離相等，與式（1）結(jié)論相同。

式（3）中，由 圖1 所 示 幾 何 關(guān) 系，很 明 顯d>a-b=δ 恒成立，對于確定的光程差，利用式（1）和式（3），分別取坐標(biāo)為x1和x3，計(jì)算2種方法得出的條紋中心坐標(biāo)平方差值為：

結(jié)論3：式（4）表明，當(dāng)δ ≠0，即非中央明紋條件下，用式（3）計(jì)算的條紋中心坐標(biāo)恒大于式（1）計(jì)算的坐標(biāo)值，即實(shí)際條紋中心比式（1）計(jì)算結(jié)果靠外側(cè)。

考察干涉加強(qiáng)位置（明紋），用δ=kλ 代入式（3）并對k 求導(dǎo)，得：

結(jié)論4：由式（5）可知，干涉條紋不等間距，將δ=(2k-1)λ/2 代入，同樣可求得暗紋間距表達(dá)式，干涉暗紋間距亦不等。隨著x 坐標(biāo)增大，條紋間距變寬，且同級明紋間距大于暗紋間距。當(dāng)干涉級次k 越大，即x 偏離主軸線越遠(yuǎn)，光程差δ 越大，在近似條件d>>λ 時(shí)，式（5）可退化為dx/dk=Dλ/d，符合經(jīng)典算法中楊氏干涉條紋間距公式，可認(rèn)為條紋間距相等。

式（1）和式（3）表述的條紋中心坐標(biāo)相對誤差記為：

式（6）利用泰勒展開，當(dāng)D>>d ，d>>δ 時(shí)，即滿足遠(yuǎn)場干涉條件時(shí)，忽略二級小量，可得其相對誤差近似計(jì)算結(jié)果f′(δ)：

結(jié)論5：式（7）表明，當(dāng)d>>δ 時(shí)，d2-δ2≈d2，利用式（1）和式（3）計(jì)算條紋中心坐標(biāo)相對誤差與光程差δ2成一次函數(shù)關(guān)系，曲線斜率近似為1/d2。即光程差越大，誤差值越大。

取文獻(xiàn)[3]中例2 所列數(shù)據(jù)：D=1m，d=0.2 mm，λ=500 nm，取δ=kλ，k 為干涉明紋級次。依據(jù)式（1）和式（3）分別計(jì)算不同級別明紋坐標(biāo)x1和x3，利用式（6）計(jì)算其明紋坐標(biāo)相對誤差f(δ)，結(jié)果見表1。

由表1可見，前23級明紋似式（1）和準(zhǔn)確式（3）計(jì)算結(jié)果誤差發(fā)生在0.01 mm 位，相對誤差小于0.2%；24～50級明紋近似式（1）和準(zhǔn)確式（3）計(jì)算結(jié)果誤差發(fā)生在0.1 mm 位，相對誤差小于0.8%；繼續(xù)計(jì)算可得在干涉級次在51～100級時(shí)，式（1）和式（3）計(jì)算結(jié)果發(fā)生在1 mm 位，相對誤差不超過3.5%。

表1 干涉明紋坐標(biāo)2種計(jì)算方法對比Tab.1 Comparison of two methods for calculating the coordinate of interference fringe

續(xù)表1 k x1/mm x3/mm f(δ)/% k x1/mm x3/mm f(δ)/%k891 0 k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 x1/mm 20.0 22.5 25.0 27.5 30.0 32.5 35.0 37.5 40.0 42.5 45.0 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 x3/mm 20.004 22.506 25.008 27.510 30.014 32.517 35.021 37.526 40.032 42.538 45.046 47.554 50.063 52.573 55.083 57.595 60.108 62.622 f(δ)/%0.020 0.025 0.031 0.038 0.045 0.053 0.061 0.070 0.080 0.090 0.101 0.113 0.125 0.138 0.152 0.166 0.180 0.196 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 x1/mm 82.5 85.0 87.5 90.0 92.5 95.0 97.5 100.0 102.5 105.0 107.5 110.0 112.5 115.0 117.5 120.0 122.5 125.0 x3/mm 82.782 85.309 87.837 90.367 92.898 95.432 97.967 100.504 103.043 105.584 108.127 110.672 113.219 115.768 118.320 120.873 123.430 125.988 f(δ)/%0.342 0.363 0.385 0.407 0.431 0.454 0.479 0.504 0.529 0.556 0.583 0.611 0.639 0.668 0.698 0.728 0.759 0.791

3 結(jié)論

上述推導(dǎo)過程中，光程差并未做修約或近似。采用數(shù)學(xué)方法將光程差與坐標(biāo)之間的變換式反演，解得坐標(biāo)x 與光程差的準(zhǔn)確表達(dá)式。從式（3）可以看出，條紋中心坐標(biāo)近似并不需要D>>d 和x>>d 的條件，只需滿足相對弱化的條件d>>δ 即可。當(dāng)k 值較小時(shí)，楊氏雙縫干涉準(zhǔn)確坐標(biāo)條紋分布和條紋間距與文獻(xiàn)[3-6]中的近似算法結(jié)果一致；但在條紋級次k 較大時(shí)，條紋間距不能再認(rèn)為是相等，且隨著k 的增大，準(zhǔn)確計(jì)算與近似計(jì)算誤差以k2的速率增長。