移動機(jī)械臂傾覆穩(wěn)定性分析與優(yōu)化?

郭永鳳

（陜西國防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 西安 710300）

1 引言

傳統(tǒng)機(jī)械臂的工作空間較為有限，機(jī)械臂需要借助螺栓等組件固定在地面上。為了擴(kuò)大機(jī)械臂的應(yīng)用范圍，提高其應(yīng)用性能，近年來，移動機(jī)械臂（Mobile Manipulator）逐漸興起。移動機(jī)械臂將機(jī)械臂與移動機(jī)器人相結(jié)合，極大地增加了機(jī)械臂的自由度，使其能夠靈活位移，機(jī)械臂的操作性能也得到了提升［1～2］。

在2012 年，Aalborg 大學(xué)的學(xué)者Simon Bogh 對自主工業(yè)移動機(jī)械臂的潛在應(yīng)用市場進(jìn)行了統(tǒng)計與分析。對物流業(yè)、服務(wù)業(yè)等行業(yè)中的500 余任務(wù)進(jìn)行了AIMM 的應(yīng)用預(yù)期統(tǒng)計。結(jié)果顯示：在未來，機(jī)械臂可以順利完成超過半數(shù)的任務(wù)。自主工業(yè)移動機(jī)械臂適用于物流運(yùn)輸、協(xié)助裝配、機(jī)械管理、清潔維護(hù)等領(lǐng)域，尤其是在物流行業(yè)，移動機(jī)械臂有極大優(yōu)越性，因此它是一個重要的技術(shù)發(fā)展方向［3］。

關(guān)于機(jī)械臂對移動平臺的力/力矩及其對系統(tǒng)造成的影響這一方面，目前尚缺乏研究成果。機(jī)械臂與移動平臺之間的力學(xué)規(guī)律較為復(fù)雜，影響因素眾多，如機(jī)械臂的機(jī)械構(gòu)型，機(jī)械臂所連接的負(fù)載，關(guān)節(jié)的角速度與角加速度。移動平臺的力/力矩可能產(chǎn)生系統(tǒng)傾覆。傾覆是指對于豎直方向的輪式移動機(jī)械臂，其繞傾覆軸線產(chǎn)生向外旋轉(zhuǎn)，致使系統(tǒng)失控，嚴(yán)重時，系統(tǒng)可能翻倒。

在工程實(shí)踐中，對于部分機(jī)器人，如腿式移動機(jī)器人以及履帶式機(jī)器人，研究其傾覆穩(wěn)定性是一個主要課題。對于移動機(jī)械臂而言，這一問題同樣不可忽視。保障輪式移動機(jī)械臂不發(fā)生傾覆與側(cè)滑是機(jī)械臂操縱的基本前提，也是重要的安全問題。國內(nèi)外有較多關(guān)于移動機(jī)器人傾覆問題與滑移問題的研究，但研究機(jī)械臂的動力學(xué)因素對系統(tǒng)傾覆影響的研究較少。本文重點(diǎn)研究這一方面，分析機(jī)械臂與移動平臺之間的力/力矩，探究其動力學(xué)因素與影響機(jī)理。

2 傾覆穩(wěn)定性判別

對系統(tǒng)做出以下假設(shè)：1）輪式移動機(jī)械臂所放置的地面為平面，不考慮地形的起伏情況；2）輪與地面之間的接觸為點(diǎn)接觸，且忽略滾輪的變形情況［4］；3）系統(tǒng)為剛性結(jié)構(gòu)，機(jī)械臂的關(guān)節(jié)、連桿與輪式移動平臺均為剛性。

在通常的研究中，判斷傾覆穩(wěn)定性的方法是提出一種標(biāo)識作為傾覆穩(wěn)定性判據(jù)，但該方法無法描述傾覆的動力源的本質(zhì)。因此本文提出一種新的穩(wěn)定性判別方法，用傾覆力矩來定量描述傾覆過程。傾覆力矩為造成系統(tǒng)傾覆的力矩，是系統(tǒng)傾覆的根源。

圖1是系統(tǒng)中移動平臺上的力/力矩示意圖，其中橢圓為整個移動平臺，包含滾輪在內(nèi)。Op為平臺的重心，并且是平臺的中心位置。以O(shè)p為原點(diǎn)建立平臺的基坐標(biāo)系｛XP，YP，ZP｝。gp為包含滾輪在內(nèi)的整個平臺所受到的重力，mp表示整個平臺的質(zhì)量。機(jī)械臂的一端剛性安裝在OM點(diǎn)，其質(zhì)量為mr，同時在該點(diǎn)建立機(jī)械臂的基坐標(biāo)系｛XM，YM，ZM｝。移動平臺上的其余附件的安裝在OA點(diǎn)處，其所受到的重力矢量為gA，質(zhì)量為ma。

圖1 移動平臺上的力/力矩示意圖

假設(shè)機(jī)械臂關(guān)節(jié)上的約束力/力矩為w1，相應(yīng)的機(jī)械臂對移動平臺的力/力矩為-w1：

此力/力矩可沿坐標(biāo)軸X、Y、Z三個方向分解：

移動平臺的下方安裝滾輪，滾輪與地面形成點(diǎn)接觸，所有接觸點(diǎn)形成一個凸包多邊形。多邊形的每兩個相鄰頂點(diǎn)為一條傾覆軸線。移動機(jī)械臂的傾覆只會沿傾覆軸線發(fā)生［5］。

假設(shè)其中的兩個相鄰頂點(diǎn)為npi與npi+1，這兩點(diǎn)構(gòu)成的傾覆軸線為eii+1。移動平臺基坐標(biāo)系原點(diǎn)OP到機(jī)械臂的基坐標(biāo)系原點(diǎn)OM的矢量為dM，相應(yīng)的從點(diǎn)OP到其余附件安裝點(diǎn)OA的矢量為dA。從原點(diǎn)OM到傾覆軸線eii+1的正交矢量為dii+1，從原點(diǎn)OP到傾覆軸線eii+1的正交矢量為lii+1，從原點(diǎn)OA到傾覆軸線eii+1的正交矢量為sii+1。根據(jù)圖1，移動機(jī)械臂系統(tǒng)的傾覆力矩TOM（Tip-Over Moment）可由式（4）求得：

對于式（4），公式右側(cè)第一項(xiàng)表示機(jī)械臂對移動平臺的轉(zhuǎn)矩在傾覆軸線上的投影，第二項(xiàng)表示機(jī)械臂對移動平臺的力在傾覆軸線上的力矩，第三項(xiàng)表示移動平臺的重力在傾覆軸線上的力矩，第四項(xiàng)表示附件的重力在傾覆軸線上的力矩。

若輪—地接觸點(diǎn)形成的凸包多邊形含有的頂點(diǎn)個數(shù)為n，則傾覆軸線存在n條，因此TOM 數(shù)也為n。對于這n個系統(tǒng)傾覆力矩，其中的最大值為TOMmax，對應(yīng)此值的傾覆軸線承受最大傾覆力矩。系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為TOMmax≤0，此時沒有傾覆力矩。而若TOMmax＞0，系統(tǒng)將發(fā)生傾覆，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)TOMmax≤0 ，|TOM|為傾覆裕度（Tip-Over Margin）。傾覆裕度表征系統(tǒng)的穩(wěn)定狀況，|TOM|越大，系統(tǒng)距傾覆越遠(yuǎn)；|TOM|越小，系統(tǒng)距傾覆越近。式（4）要包含所有傾覆軸線。

如下介紹兩類移動機(jī)械臂。第一類型是靜態(tài)不穩(wěn)定的移動機(jī)械臂，如移動機(jī)械臂Ballbot，由卡梅隆大學(xué)研制而成，此移動平臺僅有一個滾輪（球），其上有一對機(jī)械臂，自由度都為2。Ballbot采取兩個閉環(huán)控制其穩(wěn)定性，包括內(nèi)部閉環(huán)與外部閉環(huán)。內(nèi)部閉環(huán)采用PI 控制，可改變球的速度。外部閉環(huán)則利用線性二次型調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)全狀態(tài)反饋控制［6］。兩輪移動平臺適用于斜坡、窄路等環(huán)境，具有很高的移動性能［7］。喬治亞理工學(xué)院研制的Segway RMP200 采用PD 控制達(dá)到動態(tài)穩(wěn)定［8］。在Segway RMP200 移動平臺上，研究者裝置了一臺KUKA Light Weight Robot［9］。由馬薩諸塞大學(xué)研制的u Bot-5則采用LQR控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在運(yùn)行過程中的穩(wěn)定性［10］。

第二類型的移動機(jī)械臂為靜態(tài)穩(wěn)定的移動機(jī)械臂。如Neobotix MM500移動機(jī)械臂，含有三個滾輪，用于增廣現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域的研究。KUKA omni Rob 移動機(jī)械臂含有四個全向輪。Little Helper 移動機(jī)械臂則有五輪。此類機(jī)械臂在靜態(tài)時可以達(dá)到穩(wěn)定，但易發(fā)生系統(tǒng)傾覆。

在滾輪數(shù)量確定的情況下，滾輪有不同的安裝位置方案。本文以輪—地接觸點(diǎn)形成的凸包多邊形是等邊三角形的情況進(jìn)行討論，結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 等邊三角形滾輪分布

圖2 中，為使設(shè)置不失一般性，取原點(diǎn)OP與np1的連線方向?yàn)閄P軸正方向，其中np1為第一個滾輪與地面的接觸點(diǎn)。r為凸包多變形外接圓的半徑，由正弦定理，可得所有輪—地接觸點(diǎn)的坐標(biāo)：

npi表示第i個接觸點(diǎn)。由所有相鄰點(diǎn)，可求得傾覆軸線，其單位矢量為

當(dāng)i等于n時，i+1 則等于1，即最末接觸點(diǎn)與起始接觸點(diǎn)的傾覆軸線單位矢量，以下公式相同。原點(diǎn)OP到eii+1的矢量lii+1為

3 TOM 與ZMP 對比分析

接下來通過分析對比TOM和ZMP來驗(yàn)證TOM判據(jù)的正確性。移動平臺相關(guān)實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1。

表1 移動平臺參數(shù)假定

實(shí)驗(yàn)過程如下：求出TOM判據(jù)和ZMP判據(jù)在系統(tǒng)靜態(tài)、受力平衡靜止?fàn)顟B(tài)和動態(tài)情況下得到的結(jié)果。然后合并顯示兩種結(jié)果，進(jìn)行對比分析。

對機(jī)械臂的每種桿件構(gòu)型計算此時的TOM值和ZMP值，結(jié)果顯示在圖3。

圖3 TOM與ZMP的對比仿真結(jié)果

其中，外側(cè)的黑色框線指的是移動平臺的傾覆軸線，黑色框線內(nèi)部區(qū)域即是凸包多邊形。

圖3（a）中，點(diǎn)的位置表示通過ZMP判據(jù)獲得的系統(tǒng)零轉(zhuǎn)矩點(diǎn)，顏色反映TOM判據(jù)的計算結(jié)果的大小，大致范圍在右側(cè)標(biāo)尺標(biāo)出。由圖像可知，ZMP判據(jù)求得的點(diǎn)均位于凸包多邊形內(nèi)側(cè)，即系統(tǒng)始終穩(wěn)定，對應(yīng)的所有TOM值均為負(fù)。ZMP點(diǎn)從凸包多邊形內(nèi)部靠近邊界框線時，圖像顏色變紅，TOM值增大，即傾覆裕度減??；反之，遠(yuǎn)離邊界時，TOM值減小，傾覆裕度增大。為進(jìn)一步驗(yàn)證TOM判據(jù)的正確性，保持ZMP計算結(jié)果不變，對TOM值進(jìn)行根據(jù)符號的二值化處理，結(jié)果如圖3（b）、圖3（a）中顏色對應(yīng)TOM值符號的正負(fù)，圖中紅色區(qū)域，TOM值取正時，系統(tǒng)傾覆；圖中綠色區(qū)域，TOM值取負(fù)值，系統(tǒng)穩(wěn)定。圖3（b）中，凸包多邊形內(nèi)的所有點(diǎn)TOM值均為負(fù)。因此，在判定系統(tǒng)是否傾覆的問題上，兩種判據(jù)得到的結(jié)論是一致的，但TOM值還能額外反映系統(tǒng)的傾覆裕度。

4 系統(tǒng)傾覆穩(wěn)定性分析

機(jī)械臂逆解會產(chǎn)生多種可能，此處將機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間離散化，即對三個關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角按一定的分辨率（本文選擇分辨率為6°）來離散化得到一系列桿件構(gòu)型，用桿件構(gòu)型的合集反映整個工作空間。假設(shè)移動平臺為靜止?fàn)顟B(tài)或在勻速運(yùn)動，忽略加速度對系統(tǒng)動力學(xué)的影響。

分析表1 列出的參數(shù)，根據(jù)參數(shù)可將式（4）簡化成如下形式：

mMX和mMY是機(jī)械臂作用于平臺的力/力矩-w1在XM與YM兩個方向上的力矩分量；fMZ是-w1在ZM方向上的力的分量；gpz是平臺重力矢量gp在ZM方向上的分量。

利用mMX與mMY取絕對值，可得二者共同作用下的傾覆效用最大的傾覆軸線上的傾覆力矩。優(yōu)化后的式（10）（僅用于本節(jié)的仿真計算）減少了TOM值的計算次數(shù)，其值僅為式（4）的1/4，由此可見，式（10）有效提高了計算機(jī)仿真的效率。

通過TOMmax的值可以判斷系統(tǒng)是否會發(fā)生傾覆，如 果TOMmax＞0 ，系 統(tǒng) 會 傾 覆；反 之，TOMmax≤0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。之后，可根據(jù)mMX與mMY的正負(fù)符號判斷系統(tǒng)發(fā)生傾覆的旋轉(zhuǎn)軸，方法如圖4 所示。TOMmax＞0，若mMX＞0 且mMY＞0，mMX和mMY的合力矩使系統(tǒng)繞著傾覆軸線4 發(fā)生旋轉(zhuǎn)，因此系統(tǒng)將繞軸4 發(fā)生傾覆。傾覆旋轉(zhuǎn)軸的判斷方法總結(jié)如下表（表2）。

圖4 傾覆軸線的識別

表2 TOMmax ＞0 情況下系統(tǒng)傾覆的旋轉(zhuǎn)軸判斷

約束力矢量來自于三個連桿的質(zhì)量（如圖5），即：m3g，m2g和m1g，方向豎直向下，連桿質(zhì)量同樣是引起約束力矩矢量的因素。例如對第三桿進(jìn)行分析，XM和YM方向上的力矩就取決于與其重心的水平位置p3XC和p3YC。保持連桿質(zhì)量不變，fMZ不變，根據(jù)上述簡化的式（10），則TOMmax值取決于m1X與m1Y，而m1X與m1Y轉(zhuǎn)矩分量由連桿重心的水平位置決定。由末端負(fù)載引起的約束力/力矩swp1也可類似確定。

圖5 靜態(tài)情況下移動機(jī)械臂的力/力矩

5 基于傾覆穩(wěn)定性約束的最短時間軌跡規(guī)劃試驗(yàn)與結(jié)果

本節(jié)基于飛機(jī)（火箭）的蒙皮鉚接工藝需求，分析移動平臺勻速運(yùn)動時系統(tǒng)傾覆性情況。此時機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角、關(guān)節(jié)角速度和關(guān)節(jié)角加速度都在不斷變化，系統(tǒng)的TOM值隨之改變，因此，機(jī)械臂的軌跡規(guī)劃需要以實(shí)現(xiàn)TOM值小于零為目標(biāo)，即系統(tǒng)穩(wěn)定性為目標(biāo)。

圖6 飛機(jī)/火箭蒙皮鉚接作業(yè)的點(diǎn)與路徑

圖7 自適應(yīng)時間段軌跡規(guī)劃與TOM 結(jié)果

在飛機(jī)/火箭蒙皮鉚接工藝中，機(jī)械臂的末端點(diǎn)路徑規(guī)劃如下（如圖6 所示）：起始點(diǎn)→1→2→1→3→4→3→5→6→5→7→8→7→9→10→9→11→12→11→起始點(diǎn)。其中，在第一次到達(dá)點(diǎn)1、3、5、7、9、11時進(jìn)行加工預(yù)備，在點(diǎn)2、4、6、8、10、12上進(jìn)行鉆鉚加工，此時機(jī)械臂將承受鉚接作業(yè)的加工反力。

圖7 顯示的是依據(jù)自適應(yīng)時間段軌跡規(guī)劃得到的規(guī)劃與TOM的計算結(jié)果。整個路徑上的最大TOM值為-137.5Nm，即通過這種方法得到的規(guī)劃能夠保證系統(tǒng)全程保持穩(wěn)定。不考慮打鉚工序的情況下，自適應(yīng)時間段軌跡規(guī)劃方法使總移動時間為8s，比固定時間段軌跡規(guī)劃移動時間增加了0.4s，保證了系統(tǒng)穩(wěn)定性，保障了系統(tǒng)高效性。

6 結(jié)語

本文分析了傳統(tǒng)移動機(jī)械臂顛覆不穩(wěn)定的問題，提出了比較合理的優(yōu)化方法，通過對關(guān)節(jié)角速度、關(guān)節(jié)角加速度等主要影響因素的規(guī)律分析，給出了合理的軌道規(guī)劃方法。通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，結(jié)果表明：系統(tǒng)可以穩(wěn)定運(yùn)行，且整體運(yùn)行時間最短，不易顛覆。