基于Burgers模型下泥巖三軸蠕變參數(shù)的辨識(shí)

張慶建 王鵬程 趙永 許春羚

巖石的力學(xué)性態(tài)不僅表現(xiàn)出彈性、黏性和塑性，而且具有與時(shí)間相關(guān)的性質(zhì)。工程實(shí)踐表明，建筑物的破壞和失穩(wěn)，并不是在開挖后立即發(fā)生的，從開始變形到最終破壞是一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的復(fù)雜的非線性累進(jìn)過程，處于長期緩慢蠕變之中。合理地描述并揭示巖石時(shí)效力學(xué)行為具有重要意義。建立巖石三軸蠕變模型是研究并預(yù)測(cè)巖體長期運(yùn)行工況下變形的重要手段，因此，準(zhǔn)確進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)就成為關(guān)鍵一步。

目前，已經(jīng)開展了許多關(guān)于蠕變模型的研究，對(duì)模型參數(shù)辨識(shí)方法主要有：回歸反演法、最小二乘法和解析解法。徐慧寧等[1]對(duì)粉砂質(zhì)泥巖一維西原模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，但并未對(duì)其中黏滯系數(shù)取值問題作詳細(xì)說明；王怡等[2]對(duì)花崗巖建立三維廣義kelvin 模型，并導(dǎo)出了黏彈性理論解析解，給出了參數(shù)識(shí)別方法。朱杰兵等[3]利用嵌入L-M 算法的最小二乘法（LM-NLSF 法）對(duì)大理巖Burgers 蠕變模型進(jìn)行了優(yōu)化辨識(shí)?；貧w反演法和最小二乘法均需通過編制程序進(jìn)行計(jì)算，初始值選取不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致迭代無法收斂。解析解法采用公式推導(dǎo)，使用方便，但由于巖石間的差異性和本身的非均質(zhì)性，解析解法并不能很好地反演所有蠕變曲線，本文結(jié)合蠕變曲線提出一種模型參數(shù)辨識(shí)方法——圖解法，并將解析解法與圖解法結(jié)合，進(jìn)而提出一種改進(jìn)解析解法。該方法能夠依據(jù)試驗(yàn)蠕變曲線準(zhǔn)確辨識(shí)模型參數(shù)。考慮到泥巖蠕變變形較大，廣義kelvin 模型無法描述蠕變特性，本文通過泥巖三軸蠕變?cè)囼?yàn)，建立三維Burgers 模型，利用改進(jìn)解析解法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。

1 三軸蠕變?cè)囼?yàn)及蠕變模型

1.1 試樣制備及試驗(yàn)方法

三軸蠕變?cè)囼?yàn)所用試樣取自某工程鉆孔泥巖樣，試驗(yàn)前加工成直徑50 mm、高度100 mm 的標(biāo)準(zhǔn)圓柱體試件。試驗(yàn)在中水北方勘測(cè)設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司TAW-2000 多功能三軸流變?cè)囼?yàn)機(jī)上進(jìn)行，圍壓為3 MPa，軸壓采用分級(jí)加載進(jìn)行。各級(jí)荷載持續(xù)施加的時(shí)間由試樣的應(yīng)變速率控制，每級(jí)應(yīng)力水平下蠕變?cè)囼?yàn)穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)滿足變形增量小于0.001 mm/d，且每級(jí)荷載持續(xù)時(shí)間不宜少于7 d，直至試樣發(fā)生破壞或變形急驟增加，試驗(yàn)停止。

1.2 蠕變曲線及特性

本次蠕變?cè)囼?yàn)分5級(jí)加載，軸向應(yīng)力為4～8 MPa，級(jí)差1 MPa，圖1 為低于長期強(qiáng)度的軸向應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變疊加曲線。從圖1 中可以看出，該泥巖的軸向應(yīng)變可以分為兩部分：一部分是瞬時(shí)應(yīng)變，即每級(jí)應(yīng)力水平施加瞬間試樣產(chǎn)生的瞬時(shí)變形；另一部分是蠕應(yīng)變，即在恒定應(yīng)力水平作用下，試樣隨時(shí)間增長的變形。蠕應(yīng)變部分由衰減蠕變階段Ⅰ和等速蠕變階段Ⅱ組成，等速蠕變階段Ⅱ可看做是蠕變速率恒定，這兩個(gè)階段所對(duì)應(yīng)的蠕應(yīng)變正是Burgers 模型所重點(diǎn)描述的。

圖1 泥巖軸向應(yīng)變疊加曲線

1.3 Burgers模型

蠕變模型是把巖石等材料抽象成一系列簡(jiǎn)單的元件（如彈簧、阻尼器等）及其組合模型來模擬巖石的蠕變特性，并建立本構(gòu)方程。

從圖1 可知，在低應(yīng)力水平下（σ1=4 MPa），泥巖蠕應(yīng)變隨時(shí)間增加而變大，即不存在明顯的起始蠕變強(qiáng)度；軸向應(yīng)力處于長期強(qiáng)度以前，可將泥巖簡(jiǎn)化為黏彈性材料；因此，Burgers 模型能較好地反映泥巖蠕變特性。圖2 為Burgers 模型元件組合及曲線示意圖，其中E1處彈簧為彈性元件，與蠕變曲線瞬時(shí)變形有關(guān)，η1處元件為黏壺牛頓體，主要在等速蠕變階段Ⅱ發(fā)揮作用，E2和η2處黏彈并聯(lián)元件為開爾文體，主要控制衰減蠕變階段Ⅰ的變形特性。通常情況下，巖石處于復(fù)雜的三維應(yīng)力狀態(tài)，考慮到本次試驗(yàn)為三軸蠕變?cè)囼?yàn)（σ2=σ3），因此，建立巖石在三維應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變本構(gòu)方程具有重要意義?；趶V義胡克定律公式，通過拉式變換[2]，三維Burgers 模型本構(gòu)方程可表示為

式中K——體積模量；

G1——彈性剪切模量；

G2——黏彈性剪切模量；

η1——黏彈性黏滯系數(shù)；

η2——黏彈性黏滯系數(shù)。

圖2 Burgers模型

2 模型參數(shù)辨識(shí)

2.1 解析解法

由式 1 可知，當(dāng)t=0 時(shí)，ε1t=ε0；ε0可由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到，結(jié)合式（3）便可求得K和G1參數(shù)。式（1）中項(xiàng)產(chǎn)生的變形主要在蠕變曲線中等速蠕變階段Ⅱ，η1參數(shù)與該階段蠕變曲線斜率相關(guān)，通過最小二乘法擬合可獲取η1參數(shù)。由圖2 可知，令t=∞，則蠕變曲線無限接近一漸近線，漸近線可表示為

式（5）兩邊取對(duì)數(shù)

式（6）可看做是t—lnq的線性回歸問題，通過最小二乘法擬合可求得G2和η2；至此便求得三維Burgers 模型本構(gòu)方程所需的全部參數(shù)。

2.2 圖解法及改進(jìn)解析解法

由式（1）和圖2 可以看出，黏壺牛頓體和開爾文體隨時(shí)間的變形共同構(gòu)成總?cè)渥兞?；本次蠕變?cè)囼?yàn)中，在衰減蠕變階段初期，黏壺牛頓體產(chǎn)生的變形僅占開爾文體變形的4%左右，到了衰減蠕變階段末期，該比例上升至約10%，而此時(shí)開爾文體已產(chǎn)生95%左右的變形；顯然衰減蠕變主要由開爾文體變形組成，等速蠕變主要由黏壺牛頓體變形組成。

圖解法就是將模型元件和蠕變曲線根據(jù)蠕變階段進(jìn)行劃分，其中K、G1和η1參數(shù)的求解與解析解法相同，求解G2和η2參數(shù)時(shí)，將Burgers 體分解為廣義開爾文體和黏壺牛頓體，如圖1 所示，廣義開爾文體產(chǎn)生的變形經(jīng)過衰減蠕變階段到達(dá)j點(diǎn)后收斂為虛線所示，等速蠕變階段的變形則可認(rèn)為由黏壺牛頓體繼續(xù)產(chǎn)生。令t=∞，則

任一時(shí)刻t所對(duì)應(yīng)的黏滯系數(shù)為

式（7）中ε∞可由試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得，式（8）中時(shí)間t可選取衰減蠕變階段初期。由此，G2和η2便得以求解。

為避免解析解法中t—lnq線性相關(guān)性差導(dǎo)致的參數(shù)G2擬合偏差以及圖解法中η2主觀性取值問題，本文提出一種改進(jìn)解析解法。改進(jìn)解析解法是將解析解法與圖解法結(jié)合，首先通過圖解法辨識(shí)參數(shù)G2，然后利用優(yōu)定截距擬合法對(duì)t—lnq線性關(guān)系進(jìn)行再擬合，此時(shí)通過式（6）即可求出參數(shù)η2。

2.3 蠕變曲線反演分析

以圖1 中蠕變曲線c 為例，利用解析解法對(duì)Burgers 模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，反演得到的參數(shù)如表1所示，其中t—lnq線性回歸曲線如圖3 所示。

表1 Burgers模型參數(shù)反演值

將反演得到模型參數(shù)代入到式1 中，得到本構(gòu)方程的反演蠕變曲線，圖4 給出了蠕變?cè)囼?yàn)曲線和Burgers 模型反演曲線。

圖3 t—lnq關(guān)系曲線

圖4 泥巖蠕變?cè)囼?yàn)曲線與反演曲線比較（解析解法）

從圖4 可以看出，兩曲線形狀相似，在整個(gè)蠕變階段，反演曲線應(yīng)變量較試驗(yàn)曲線應(yīng)變量小。這主要是由于t—lnq關(guān)系并非絕對(duì)線性，從而導(dǎo)致參數(shù)G2擬合存在偏差。

利用改進(jìn)解析解法，對(duì)t—lnq線性關(guān)系進(jìn)行優(yōu)定截距擬合如圖3 所示，反演得到的改進(jìn)參數(shù)G2和η2見表1。將參數(shù)代入到式（1）中，重新得到反演蠕變曲線如圖5 所示。從圖5 可以看出，通過改進(jìn)解析解法得到的反演曲線與蠕變?cè)囼?yàn)曲線較吻合，反演曲線對(duì)試驗(yàn)曲線的擬合優(yōu)度達(dá)99%，可見反演曲線能較好地描述衰減蠕變階段和等速蠕變階段。對(duì)比圖4 和圖5 還可知，參數(shù)G2和η2是決定反演曲線的重要參數(shù)，黏彈性剪切模量G2決定衰減蠕變階段變形量大小，也影響最終蠕變量，黏彈性黏滯系數(shù)η2影響衰減蠕變階段曲率，決定達(dá)到等速蠕變階段時(shí)間的長短，η2值越小，衰減蠕變階段曲率越大，達(dá)到等速階段時(shí)間越短，反之達(dá)到等速蠕變階段時(shí)間越長。

圖5 泥巖蠕變?cè)囼?yàn)曲線與反演曲線比較（改進(jìn)解析解法）

通過上述Burgers 模型參數(shù)反演，驗(yàn)證了改進(jìn)解析解法的適用性，也驗(yàn)證了Burgers 模型描述泥巖蠕變特性的正確性和合理性，為蠕變模型參數(shù)辨識(shí)提供了新思路，以便正確認(rèn)識(shí)泥巖時(shí)效變形規(guī)律。

3 結(jié) 語

三向應(yīng)力狀態(tài)下泥巖蠕變?cè)囼?yàn)是研究工程巖體長期運(yùn)行工況時(shí)效性的基礎(chǔ)，也是獲取本構(gòu)模型參數(shù)進(jìn)行有限元計(jì)算的重要手段。

通過模型參數(shù)辨識(shí)，改進(jìn)解析解法能較好地反演模型參數(shù)，并可以直觀地了解各參數(shù)的實(shí)際意義，更是深入探究了黏彈性剪切模量G2和黏彈性黏滯系數(shù)η2的重要性。同時(shí)也驗(yàn)證了Burgers 模型作為泥巖蠕變模型的合理性。