具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)和分布時(shí)滯的病毒動(dòng)力學(xué)模型的穩(wěn)定性

周欣然, 鄭 濤, 張 龍

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 烏魯木齊 830046)

自20世紀(jì)以來(lái)，國(guó)內(nèi)外生物動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)展迅速，許多專(zhuān)家學(xué)者都是通過(guò)動(dòng)力學(xué)模型來(lái)分析病毒感染[1-6],這為更好地理解病毒感染和疾病的控制及不同藥物治療策略效應(yīng)提供了至關(guān)重要的作用.

ANDERSON和MAY[7]介紹了一種具有自由生存階段的寄生蟲(chóng)模型,NOWAK和BANGHAM[8]將其應(yīng)用于病毒動(dòng)力學(xué). 考慮到病毒感染靶細(xì)胞過(guò)程中普遍存在的非線性感染率,HUANG等[9]提出了一類(lèi)具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的病毒動(dòng)力學(xué)模型:

(1)

其中，x(t)為健康靶細(xì)胞在t時(shí)刻的細(xì)胞密度，y(t)為感染細(xì)胞在t時(shí)刻的細(xì)胞密度,v(t)為游離病毒在t時(shí)刻的細(xì)胞密度,為健康靶細(xì)胞的生成速率,d為健康靶細(xì)胞的自然死亡率,β為病毒感染健康靶細(xì)胞的感染率,p為感染細(xì)胞的自然死亡率,常數(shù)k為每個(gè)感染細(xì)胞在單位時(shí)間內(nèi)生成的游離病毒數(shù)量,u為游離病毒的自然死亡率；并得到了模型(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性. 又考慮到病毒顆粒接觸靶細(xì)胞的時(shí)間可能與接觸細(xì)胞受到積極影響的時(shí)間存在一定的滯后性,即接觸病毒體進(jìn)入細(xì)胞需要時(shí)間,HUANG等[10]將細(xì)胞內(nèi)延遲納入模型,得到了以下離散時(shí)滯病毒模型：

(2)

并通過(guò)對(duì)特征方程的分析和構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù),建立了模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性；且證明了當(dāng)R0<1時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定,R0>1時(shí)地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

基于以上模型，考慮到接觸細(xì)胞被感染變成感染細(xì)胞的滯后時(shí)間可能由靶細(xì)胞自身細(xì)胞內(nèi)物質(zhì)決定，即不同靶細(xì)胞被感染變成感染細(xì)胞的滯后時(shí)間是可變的,則可以理想化假設(shè)t-到t時(shí)刻接觸病毒細(xì)胞的靶細(xì)胞都有可能被感染形成感染細(xì)胞，這一現(xiàn)象可以用分布時(shí)滯來(lái)描述[11]. 又考慮到目前在全世界范圍內(nèi)仍缺乏根治HIV感染的有效藥物,現(xiàn)階段的治療目標(biāo)是最大限度和持久地抑制患者體內(nèi)的病毒復(fù)制,而抗逆轉(zhuǎn)錄酶藥物則是通過(guò)抑制病毒感染健康細(xì)胞來(lái)抑制病毒的復(fù)制. 因此，引入?yún)?shù)γ(0,1)來(lái)代表藥物對(duì)病毒感染的抑制作用. 為了更加細(xì)致地描述病毒感染健康靶細(xì)胞后的滯后效應(yīng)以及了解藥物治療參數(shù)γ對(duì)艾滋病治療的影響，本文建立了如下數(shù)學(xué)模型：

(3)

其中,x(t)為健康靶細(xì)胞在t時(shí)刻的細(xì)胞密度,y(t)為感染細(xì)胞在t時(shí)刻的細(xì)胞密度,v(t)為游離病毒在t時(shí)刻的細(xì)胞密度,s為健康靶細(xì)胞的生成速率,d為健康靶細(xì)胞的自然死亡率,β為描述細(xì)胞感染的速率,γ(0,1)為抗逆轉(zhuǎn)錄酶對(duì)病毒感染健康靶細(xì)胞的抑制率,為在t-到t時(shí)刻接觸病毒的健康靶細(xì)胞被感染變成感染細(xì)胞的個(gè)數(shù),p為感染細(xì)胞的自然死亡率,常數(shù)k為每個(gè)感染細(xì)胞在單位時(shí)間內(nèi)生成的游離病毒數(shù)量,u為游離病毒的自然死亡率.

本文主要討論了模型(3)解的正性和有界性, 得到了該模型的基本再生數(shù)R0;討論了該模型的無(wú)病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性的判定準(zhǔn)則(R0≤1,R0<1);最后,通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證本文結(jié)論的有效性.

1 解的非負(fù)性與有界性

設(shè)C=C([-,0];3)是[-,0]到3上的連續(xù)函數(shù)全體所形成的具有上確界范數(shù)的Banach空間,模型(3)的初始條件為：

x(θ)=φ1(θ)，y(θ)=φ2(θ)，v(θ)=φ3(θ)，θ[-,0]，φi(θ)≥0，φi(0)>0 (i=1,2,3)，

(4)

其中，φ=(φ1,φ2,φ3)TC.

由文獻(xiàn)[12]知:模型(3)滿足初始條件(4)的任意解(x(t),y(t),v(t))T在[-,)上存在且唯一. 在此條件下，可得:

定理1設(shè)(x(t),y(t),v(t))T為模型(3)在初始條件(4)下的任意解,則任意解(x(t),y(t),v(t))T非負(fù)且最終有界.

證明首先證明模型(3)在初始條件(4)下的任意解都為正. 先證x(t)≥0. (反證)假設(shè)對(duì)任意的t≥0,存在t1>0,x(t1)=0且x(t)>0. 當(dāng)t[0,t1)時(shí),有

因此,

這與假設(shè)x(t1)=0矛盾.

同理,假設(shè)對(duì)任意的t≥0,存在t1>0,y(t1)=0且y(t)>0. 當(dāng)t[0,t1)時(shí),有

(5)

由式(5)，有

這與假設(shè)y(t1)=0矛盾.

同理,由于y(t)>0,則有

(6)

對(duì)式(6)兩邊同時(shí)積分,可得

(7)

這與假設(shè)v(t1)=0矛盾，因此，模型(3)的任意解(x(t),y(t),v(t))T的非負(fù)性得證.

接下來(lái),證明任意解(x(t),y(t),v(t))T最終有界. 對(duì)于模型(3)的第1個(gè)等式,有

(8)

由比較定理[12]可知,

(9)

定義

(10)

且δ=min{d-1,p}. 對(duì)式(10)兩邊同時(shí)求導(dǎo),有

s-δF(t).

(11)

由比較定理可知F(t)有界，從而y(t)有界；再由模型(3)的第3個(gè)等式可知v(t)有界. 故模型(3)的任意解(x(t),y(t),v(t))T最終有界.

2 平衡點(diǎn)及無(wú)病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性

模型(3)總存在一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)E0(x0,0,0)，其中x0=s/d. 下面將分析模型(3)是否存在正的地方病平衡點(diǎn).

若模型(3)存在正的地方病平衡點(diǎn)，則平衡點(diǎn)需滿足以下等式：

(12)

由式(12)可得

若要滿足地方病平衡點(diǎn)的正性，則要求x*>0，即(1-e-d)[kbd+(1-γ)βk]-adpu>0，即要滿足

(13)

由于

(14)

則可定義模型(3)的基本再生數(shù)為：

因此，以R0為閾值可得以下結(jié)論：

定理2若R0<1，則模型(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定；反之，E0不穩(wěn)定.

證明系統(tǒng)(3)在E0處的特征方程為

(1-γ)e]=0，

(15)

f()=(+p)(

(16)

下面分2種情況討論.

(17)

f()=(+p)(

(18)

等價(jià)于

G(

(19)

矛盾，所以x<0，即此時(shí)f()的根具有負(fù)實(shí)部. 因此，當(dāng)R0<1時(shí),E0是局部漸近穩(wěn)定的.

3 無(wú)病平衡點(diǎn)E0的全局漸近穩(wěn)定性

定理3對(duì)于模型(3),若R0≤1,則無(wú)病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定.

證明設(shè)x0=s/d，則模型(3)等價(jià)于：

(20)

定義李雅普諾夫函數(shù)

(21)

其中

則有

(22)

由式(22)可知:當(dāng)R≤1時(shí),dV/dt≤0；當(dāng)dV/dt=0時(shí)，v=0當(dāng)且僅當(dāng)x=x0. 由拉薩爾不變?cè)砜芍狤0是全局漸近穩(wěn)定的.

4 數(shù)值模擬

本節(jié)通過(guò)MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬,以驗(yàn)證該模型的無(wú)病平衡點(diǎn)具有全局漸近穩(wěn)定性. 在此取定相應(yīng)系數(shù)值與初值：a=0.6,b=0.8,d=0.1,s=0.8,β=0.4,p=0.5,k=0.3,u=0.2,γ=0.5.(x(0),y(0),v(0))分別取為(9.5,5.5,6.6)、(7.4,4.8,5.3)、(6.8,5,6)、(4.4,3.1,4.8)、(5,3.2,4)、(14.5,3.2,2.6)、(2,3.2,2.6).

圖1 模型(3)的時(shí)間序列圖(R0<1)Figure 1 The time series plot of model(3) when R0<1

圖2 模型(3)的三維空間相圖(R0<1)Figure 2 The 3-dimensional phase diagram of model (3) when R0<1注：顏色不同的曲線代表初值不同的解曲線.

由圖1可知：x(t)隨著時(shí)間的增加達(dá)到一定值,y(t)、v(t)隨時(shí)間的增加而最終趨于0. 由圖1和圖2可知：對(duì)任意給定的初值,x(t)、y(t)、v(t)最終趨于x軸的一定值E0=(8,0,0). 由此可知：無(wú)病平衡點(diǎn)在R0<1時(shí)全局漸近穩(wěn)定.

圖3 模型(3)的時(shí)間序列圖(R0=1)Figure 3 The time series plot of model(3) when R0=1

圖4 模型(3)的三維空間相圖(R0=1)Figure 4 The 3-dimensional phase diagram of model(3) when R0=1注：顏色不同的曲線代表初值不同的解曲線.

由圖5可知：x(t)隨著時(shí)間的變化達(dá)到一定值, 但y(t)、v(t)并未隨時(shí)間的變化而消亡, 故此時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定. 由圖5和圖6可知：對(duì)任意給定的初值,x(t)、y(t)、v(t)最終趨于一定值E*=(2.971 4,4.859 1,7.288 7). 由此可知：地方病平衡點(diǎn)在R0>1是全局漸近穩(wěn)定.

圖5 模型(3)的時(shí)間序列圖(R0>1)Figure 5 The time series plot of model(3) when R0>1

圖6 模型(3)的三維空間相圖(R0>1)Figure 6 The 3-dimensional phase diagram of model(3) when R0>1注：顏色不同的曲線代表初值不同的解曲線.

5 小結(jié)

本文建立了具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)和分布延遲的病毒動(dòng)力學(xué)模型，并討論了該模型的穩(wěn)定性. 為了研究藥物對(duì)病毒感染的抑制作用，引入了藥物治療參數(shù)γ(0,1),并求解該模型在藥物治療下的基本再生數(shù)R0,通過(guò)分析該模型的特征方程,證明了該模型的無(wú)病平衡點(diǎn)E0的局部漸近穩(wěn)定性;通過(guò)構(gòu)造合適的李雅普諾夫泛函和利用李亞普諾夫-拉薩爾型定理,證明了該模型的無(wú)感染平衡點(diǎn)E0在R0≤1時(shí)的全局漸近穩(wěn)定性;通過(guò)Matlab驗(yàn)證了本文結(jié)論的有效性. 本文雖然沒(méi)有討論地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性,但由數(shù)值模擬可知地方病平衡點(diǎn)E*的全局漸近穩(wěn)定性,由三維空間相圖可知地方病平衡點(diǎn)E*在R0>1時(shí)是全局漸近穩(wěn)定的.