平行四邊形與三角形

田載今

平行四邊形被定義為兩組對(duì)邊分別平行的四邊形.由這個(gè)定義出發(fā)，可以證明平行四邊形被其一條對(duì)角線(xiàn)分為一對(duì)全等三角形，從而得出平行四邊形的“對(duì)邊相等”“對(duì)角相等”.由此又可以繼續(xù)證明平行四邊形被其兩條對(duì)角線(xiàn)分為兩對(duì)全等三角形，從而得出平行四邊形“對(duì)角線(xiàn)互相平分”，回顧這樣的研究過(guò)程可以發(fā)現(xiàn).雖然三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，但是它與平行四邊形有密切的聯(lián)系.認(rèn)識(shí)平行四邊形時(shí)，借助三角形來(lái)思考是非常有效的方法，符合“化繁為簡(jiǎn)，由簡(jiǎn)求繁”的認(rèn)識(shí)事物的原則.

人民教育出版社

一 借助三角形研究平行四邊形德性質(zhì)

平行四邊形除了具有“對(duì)邊相等”“對(duì)角相等”“對(duì)角線(xiàn)互相平分”這些基本性質(zhì)，還有一些其他性質(zhì)，它們的發(fā)現(xiàn)與證明往往也會(huì)借助三角形.

同學(xué)們都知道，平行四邊形“對(duì)邊相等”“對(duì)角線(xiàn)互相平分”.但平行四邊形的邊與對(duì)角線(xiàn)在長(zhǎng)度上有什么關(guān)系嗎？

“由特殊到一般”是研究問(wèn)題常用的方式.我們不妨從菱形這種特殊的平行四邊形入手來(lái)思考，

如圖1. 在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分.根據(jù)勾股定理，在Rt△AOB中，AB2=AO2+BO2=（AC/2）2+（BD/2）2=AC2+BD2/4，于是4AB2=AC2+BD2.又由菱形各邊相等，得4AB2=AB2+BC2+CD2+DA2，于是AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.這就是說(shuō)，菱形兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四條邊的平方和.

對(duì)于矩形，也可證明它有上述性質(zhì)，矩形和菱形都有上述性質(zhì)，那么一般平行四邊形很可能也有此性質(zhì).上面的思考中借助了直角三角形，對(duì)一般平行四邊形不妨也照此思考.

如圖2，作□ABCD的高線(xiàn)DE和CF.根據(jù)勾股定理，在Rt△AFC中.AC2=AF2+CF2=（AB+BF）2+BC2-BF2=AB2+BC2+2AB·BF;在Rt△BED中，BD2=BE2+DE2=（AB-AE）2+DA2-AE2=AB2+DA2-2AB·AE.由DE⊥AB，CF⊥AB，AB//DC，得DE=CF（平行線(xiàn)間的距離相等）.又AD=BC（平行四邊形對(duì)邊相等），故有Rt△AED≌Rt△BFC，AE=BF.又AB=DC（平行四邊形對(duì)邊相等），于是AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.這就是說(shuō)，平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四條邊的平方和.

在上面的探究中，勾股定理和全等三角形發(fā)揮了重要作用.

事物之間的聯(lián)系是雙向的.一方面，利用三角形可以研究平行四邊形的性質(zhì);另一方面，利用平行四邊形的性質(zhì)也可以解決三角形的問(wèn)題，請(qǐng)看下例.

例1 如圖3，點(diǎn)P在□ABCD內(nèi)，△APD和△APB的面積分別為4和8.求△APC的面積.

分析：△APC的面積等于□ABCD的面積之半減△APD和△DPC的面積，如果能利用平行四邊形的性質(zhì)，理清圖中各三角形面積之間的數(shù)量關(guān)系，便可使問(wèn)題得解.

解：記△APD，△APB，△BPC和△DPC的面積分別為S1，S2，S3，S4，其中S1=4，S2=8.如圖4，過(guò)點(diǎn)P作□ABCD的高EF，則S2+S4=1/2PE·AB+1/2PF·DC.電AB=DC，得S2+S4=1/2（PE+PF）·AB=1/2EF·AB，此即□ABCD面積之半.于是S1+S3=S2+S4，進(jìn)而得S3-S4=S2-S1=8-4=4，故53=S4+4.記△APC的面積為s.由對(duì)角線(xiàn)將平行四邊形分為兩個(gè)全等三角形，得S1+S4+.S為平行四邊形面積之半，即S1+S4+S=S1+S3，進(jìn)而得S4+S=S3=S4+4，所以S=4.

借助三角形來(lái)判定平行四邊形

判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，可以依據(jù)平行四邊形的定義（對(duì)邊平行），還可以看其是否滿(mǎn)足“對(duì)邊相等”“對(duì)角相等”“兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分”“一組對(duì)邊平行且相等”這些判定條件中的任何一個(gè).這些判定條件的推導(dǎo)過(guò)程大都利用了全等三角形（見(jiàn)教科書(shū)）.

在更復(fù)雜的平行四邊形判定問(wèn)題中，為了使用定義或判定條件，往往也要借助三角形創(chuàng)造條件.

例2 如圖5，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在等邊△ABC的邊AB和BC上，BD=CE.以AE為一邊作等邊△AEF.四邊形CDFE是平行四邊形嗎？如果是，給出證明;如果不是，說(shuō)明其中的理由.

分析：要判斷四邊形CDFE是否為平行四邊形，須看它是否滿(mǎn)足平行四邊形的定義或判定條件.問(wèn)題中已知兩個(gè)等邊三角形，利用等邊三角形各邊相等和各內(nèi)角都等于60°，可以證明圖中有全等三角形，進(jìn)而可以通過(guò)對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的相等進(jìn)行判斷.

解：四邊形CDFE是平行四邊形，理由如下：

連接BF.如圖6.由AB=AC，AF=AE，∠FAB=60°-∠BAE=∠EAC.得△AFB≌△AEC.BF=CE.≌FBA=≌ECA =60°.又BD=CE=BF，故△DFB是等邊三角形.FD=BD=EC，∠FDB=600=厶DBC，F(xiàn)D//EC.根據(jù)FD∥=EC，可知四邊形CDFE是平行四邊形.

從上面的證明可以看出，有些判定平行四邊形的問(wèn)題，不是簡(jiǎn)單地使用定義或判定條件就能解決的，而往往要構(gòu)造出有利于分析和解決問(wèn)題的三角形.

相對(duì)于一般三角形而言，直角三角形和等腰三角形是特殊的三角形，等腰直角三角形是更特殊的三三角形.相對(duì)于一般平行四邊形而言，矩形和菱形是特殊的平行四邊形，正方形是更特殊的平行四邊形.特殊的三角形與特殊的平行四邊形之間有密切的聯(lián)系，矩形可以看作兩個(gè)全等的直角三角形將斜邊重合而成;菱形可以看作兩個(gè)全等的等腰三角形將底邊重合而成，或看作四個(gè)全等的直角三角形將直角邊重合而成：正方形可以看作兩個(gè)全等的等腰直角三角形將斜邊重合而成，或四個(gè)全等的等腰直角三角形將直角邊重合而成.因此，研究特殊平行四邊形時(shí)，特殊三角形就成為了常用的工具.

例3 試用一張長(zhǎng)為2、寬為1的矩形紙條，折出一個(gè)面積為1/2的正方形.說(shuō)明你的做法，并證明其正確.

分析：面積為1/2的正方形的邊長(zhǎng)為√2/2，對(duì)角線(xiàn)為1.它可由兩個(gè)斜邊為1的等腰直角三角形，將斜邊重合而拼成.以此為思考的切入點(diǎn)，可得如下做法（做法說(shuō)明和證明略）.

可以看出，等腰直角三角形在上例的解答中發(fā)揮了不可或缺的作用.利用對(duì)角線(xiàn)把平行四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的三角形，也為面積的轉(zhuǎn)換提供了方便.請(qǐng)看下例.

例4 如圖8，四邊形EFGH的面積為5.它的頂點(diǎn)分別在正方形ABCD的四條邊上，EG=3，F(xiàn)H=4.求正方形ABCD的面積.

分析：如果能把已知條件與正方形的邊長(zhǎng)聯(lián)系起來(lái)，則能使問(wèn)題得解.

解：如圖9，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為一個(gè)端點(diǎn)，作與正方形的邊平行的線(xiàn)段，這些線(xiàn)段的另一端點(diǎn)落在正方形的邊上，根據(jù)矩形定義可知，這些線(xiàn)段相交構(gòu)成大小不等的多個(gè)矩形，并使圖中又出現(xiàn)了一些三角形，四邊形EFCH由Rt△EFJ，Rt△FGK，Rt△GHL，Rt△HEI和矩形IJKL組成，這四個(gè)直角三角形和矩形IJKL的面積之和為5.矩形IJKL的面積為IJ·JK.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，由勾股定理得IJ·JK=√42-x2·√32-x2.注意到矩形AEIH，BFJE，CGKF，DHLG各自都被對(duì)角線(xiàn)分為兩個(gè)全等的直角三角形，這四個(gè)矩形面積之和等于Rt△HEI，Rt△EFJ，Rt△FGK，Rt△GHL面積之和的2倍，由此可知，5x2等于矩形AEIH，BFJE，CGKF，DHLG面積之和加上2乘矩形IJKL的面積，此即正方形ABCD的面積加矩形IJKL的面積.列式表示即5x2=X2+√42-x2·√32-x2，于是移項(xiàng)整理得10-X2=√（16-x2）（9-x2）.兩邊平方，得100-20x2+x4=144-25x2+x4，解得正方形的面積x2=44/5.

在此例中，添加輔助線(xiàn)后出現(xiàn)的矩形和三角形，為發(fā)現(xiàn)面積中的數(shù)量關(guān)系創(chuàng)造了條件，

綜上所述，三角形這個(gè)基礎(chǔ)圖形雖然簡(jiǎn)單，但它對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他復(fù)雜的圖形非常有用.同學(xué)們應(yīng)注意利用三角形來(lái)研究圖形問(wèn)題.