非線性混雜隨機泛函微分方程解的收斂性分析①

寇 靜

(太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系,山西 太原 030008)

0 引 言

常微分方程作為數(shù)學(xué)模型的一種，在實際中已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于多個領(lǐng)域，例如汽車、航天、船舶、農(nóng)業(yè)等[1]。為了更加精準(zhǔn)地描述客觀世界的變化規(guī)律，將時間滯后影響考慮在內(nèi)，因而產(chǎn)生了泛函微分方程。泛函微分方程指的是定義在某個函數(shù)空間中的泛函，不但與自變量有關(guān)，還與某個時間段的狀態(tài)相關(guān)，有效解決了常微分方程的應(yīng)用局限性[2]。

在實際中，對常規(guī)的泛函微分方程進(jìn)行優(yōu)化與研究得到了隨機泛函微分方程。隨機泛函微分方程的應(yīng)用范圍較為廣泛，其中，使用率最高、應(yīng)用范圍最廣的類型為非線性混雜隨機泛函微分方程[3]。但是在實際應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，非線性混雜隨機泛函微分方程解較為復(fù)雜，計算量過大，計算過程也非常冗長。由于現(xiàn)有的非線性混雜隨機泛函微分方程解收斂性分析方法存在著均方穩(wěn)定性較低的缺陷[4]，在實際中的應(yīng)用效果并不理想，因此為了解決上述問題，提出非線性混雜隨機泛函微分方程解收斂性分析方法研究。

1 非線性混雜隨機泛函微分方程解收斂性分析方法

1.1 構(gòu)建非線性混雜隨機泛函微分方程

(1)

式(1)中，f表示的是漂移系數(shù)，f:Rn×[0,T]→R；g表示的是擴散系數(shù)，g:Rn×[0,T]→Mn×m；W(t)表示的是標(biāo)準(zhǔn)的Brown運動。f與g同時也能夠表示該方程的精確解的參數(shù)。

將公式(1)轉(zhuǎn)換為積分形式，表示如下：

(2)

Stratonovich型的非線性混雜隨機泛函微分方程表示為：

(3)

將公式(3)轉(zhuǎn)換為積分形式，表示為：

(4)

1.2 方程解計算

以上述構(gòu)建的非線性混雜隨機泛函微分方程為基礎(chǔ)，采用截斷E-M算法對該方程的解進(jìn)行計算為下述方程解收斂性分析奠定基礎(chǔ)[8]。

截斷E-M算法是一類通過迭代進(jìn)行極大似然估計的優(yōu)化算法。該算法的標(biāo)準(zhǔn)計算框架由E步與M步交替構(gòu)成，具有極強的收斂性，可以保障在迭代次數(shù)最少情況下達(dá)到局部極大值。截斷E-M算法中的迭代規(guī)則可以靈活精準(zhǔn)地獲得隱變量，由于這一優(yōu)點，該算法已經(jīng)被應(yīng)用于多個領(lǐng)域[9]。

截斷E-M算法具有三個假設(shè)條件，具體如下所示。

假設(shè)一：若系數(shù)f與g滿足局部Lipschitz條件，對于任意的R>0，存在KR>0，得到|f(φ)-f(ψ)|∨|g(φ)-g(ψ)|KR‖φ-ψ‖，其中，φ,ψ∈C([-τ,0];Rn)。

假設(shè)三：對于t,s∈[-τ,0]，存在常數(shù)K0>0，得到|ξ(t)-ξ(s)|2K0|t-s|。

假定非線性混雜隨機泛函微分方程解存在并具有唯一性。若該方程同時滿足假設(shè)條件一與假設(shè)條件二，則方程(即公式(1))具有唯一的全局解X(t)[10]。

若方程只滿足假設(shè)條件二，則方程具有兩個解，表示為：

(5)

1.3 方程的p階有界性分析

以上述求得的非線性混雜隨機泛函微分方程解為依據(jù)，分析方程的p階有界性[11]。

方程的p階有界性指的是非線性混雜隨機泛函微分方程具有上界與下界，能夠進(jìn)一步證明方程解的唯一性。

若方程均滿足假設(shè)條件一、假設(shè)條件二與假設(shè)條件三，對于任意p≥2，方程邊界為：

(6)

式(6)中，X(t)max表示的是方程的上界；X(t)min表示的是方程的下界。

非線性混雜隨機泛函微分方程的p階有界性如圖1所示。

圖1 非線性混雜隨機泛函微分方程的p階有界性示意圖

如圖1所示，非線性混雜隨機泛函微分方程具有p階有界性，表明該方程具有唯一解，即為X(t)，通過該結(jié)果能夠為下述方程解收斂性證明提供依據(jù)[12-13]。

1.4 方程解的收斂性證明

非線性混雜隨機泛函微分方程解收斂性證明，指的是在T>0，2q

(7)

為了證明公式(7)成立，需要引入下述定理。

定理一：若該方程只滿足假設(shè)條件一[14-15]，存在R>‖ξ‖，定義停時τR=inf{t≥0:‖X(t)‖≥R}。

定理二：若該方程同時滿足假設(shè)條件一與假設(shè)條件二，存在R>‖ξ‖與Δ∈(0,Δ*]，定義停時τΔ,R=inf{t≥0:‖X(Δ,t)‖≥R}。

(8)

對公式(8)進(jìn)行整理，得到非線性混雜隨機泛函微分方程解的收斂性證明公式，表示為：

(9)

至此，通過上述過程實現(xiàn)了非線性混雜隨機泛函微分方程解的收斂性證明與分析。

2 均方穩(wěn)定性測試

上述過程完成了非線性混雜隨機泛函微分方程解收斂性分析方法的設(shè)計，但是無法確定該方法的實際應(yīng)用性能，為此設(shè)計仿真對比測試。

在仿真對比測試中，采用現(xiàn)有的使用較為廣泛的三種方法，即基于Milstein方法的非線性混雜隨機泛函微分方程解收斂性分析方法、基于Taylor方法的非線性混雜隨機泛函微分方程解收斂性分析方法以及基于Runge方法的非線性混雜隨機泛函微分方程解收斂性分析方法，與提出方法進(jìn)行對比測試，通過均方穩(wěn)定性驗證本文所設(shè)計方法的實際應(yīng)用性能。常規(guī)情況下，均方穩(wěn)定性越高，則方法的分析性能越好，反之，則方法的分析性能越差。

2.1 確定方程精確解

以公式(1)非線性混雜隨機泛函微分方程為實驗對象，為了使方程得到唯一的精確解，進(jìn)而保證測試數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，首要的任務(wù)就是確定實驗對象方程的精確解參數(shù)f與g。

在此次實驗中，本文主要采用試值方法確定方程精確解參數(shù)，試值具體數(shù)據(jù)如表1與表2所示。

表1 方程精確解參數(shù)f

表2 方程精確解參數(shù)g

如表1、表2所示，當(dāng)誤差為0.00時，該參數(shù)即為方程精確解的最佳參數(shù)，也就是說，當(dāng)f為2.0，g為7時，方程解最接近精確解，具體情況如圖2所示。

圖2 方程解與精確解對比圖

2.2 均方穩(wěn)定性分析

將上述確定的方程的最佳參數(shù)值代入公式(1)中，以此為基礎(chǔ)，進(jìn)行均方穩(wěn)定性測，其中，測試數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 測試數(shù)據(jù)表

將表3測試數(shù)據(jù)輸入到MATLAB軟件中，經(jīng)過軌道計算，多次迭代，得到均方穩(wěn)定性對比情況如圖3所示。

分析圖3可知，本設(shè)計方法的均方穩(wěn)定性遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于現(xiàn)有三種方法，充分說明提出的非線性混雜隨機泛函微分方程解收斂性分析方法具備更好的收斂性分析性能，實際應(yīng)用性能更優(yōu)。

圖3 均方穩(wěn)定性對比情況圖

3 結(jié) 語

針對傳統(tǒng)方法均方穩(wěn)定性差的問題，本文提出了非線性混雜隨機泛函微分方程解收斂性分析方法，經(jīng)實驗證明，該方法極大地提升了均方穩(wěn)定性，為方程解收斂性分析方法的進(jìn)一步發(fā)展提供了新思路，綜合實用性強。但是，在分析過程中發(fā)現(xiàn)，本文提出方法計算出來的方程解依然與精確解具有些許的誤差，為此，需要對提出的非線性混雜隨機泛函微分方程解收斂性分析方法進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化研究，以期降低計算誤差，提升方程解的精準(zhǔn)度。