貨機(jī)主貨艙多約束條件下集裝器裝載優(yōu)化

史永勝， 王 策

(中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院， 天津 300300)

隨著中外物聯(lián)網(wǎng)產(chǎn)業(yè)的蓬勃發(fā)展，航空貨物運(yùn)輸量不斷上漲。民航局發(fā)布的《2018年民航業(yè)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2018年民航業(yè)運(yùn)輸總周轉(zhuǎn)量達(dá)到1206.53億t/km，相比上年增加11.4%；完成貨郵運(yùn)輸量738.5萬t，相比上年增加4.6%[1]。航空貨運(yùn)逐漸成為運(yùn)輸行業(yè)中的主流選擇。

載重平衡是貨機(jī)裝載作業(yè)中非常重要的環(huán)節(jié),對于貨機(jī)的飛行安全有直接影響。有研究指出貨機(jī)發(fā)生載重平衡問題的風(fēng)險(xiǎn)是客機(jī)的8.5倍[2]。貨機(jī)大都使用強(qiáng)度大,且相當(dāng)一部分貨機(jī)是由舊客機(jī)改裝而來的。由此可見，貨機(jī)的載重平衡是貨機(jī)裝載過程中要考慮的重要一點(diǎn)。

國外有學(xué)者在相關(guān)方面進(jìn)行了研究。Ramos等[3]針對貨運(yùn)車輛的具體特性，使用遺傳算法進(jìn)行配載，在不影響集裝箱容積利用率的情況下得到穩(wěn)定且負(fù)載均衡的解決方案。Verstichel等[4]及Vancroonenburg等[5]追求實(shí)現(xiàn)航空貨運(yùn)利潤的最大化，并力求重心偏離量最小，建立了混合整數(shù)規(guī)劃模型，并驗(yàn)證了模型的有效性和高效性。

中國相關(guān)研究更多針對于公路和船舶等的運(yùn)輸。孫軍艷等[6]研究整車物流中乘用車的裝載問題，以盡量減少轎運(yùn)車使用數(shù)量為目標(biāo)建立轎運(yùn)車混合裝載的數(shù)學(xué)模型,通過遺傳算法求得最優(yōu)解。楊廣全等[7]建立了針對集裝箱貨車配載模型的啟發(fā)式遺傳算法，方便對貨車集裝箱配載進(jìn)行求解。魏大帥等[8]建立車輛戰(zhàn)術(shù)儲備器材包裝單元裝載模型，并通過啟發(fā)式算法對求解流程進(jìn)行合理設(shè)計(jì)。李佳等[9]將目標(biāo)函數(shù)設(shè)為航線運(yùn)營利潤最大，配合了改進(jìn)的遺傳算法，通過整數(shù)編碼求得滿意解。桂云苗等[10]為實(shí)現(xiàn)航空貨運(yùn)利潤的最大化，對裝箱模型進(jìn)行優(yōu)化并且擇優(yōu)選擇待裝貨物從而求解。張麗霞[11]將目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為貨機(jī)載重量最大容積利用率最高，并利用混合遺傳算法求解。左先亮等[12]提出了改進(jìn)的分布估計(jì)算法, 能夠?qū)哂幸欢s束的集裝箱裝載問題進(jìn)行求解。谷潤平等[13]以最小重心偏移量為目標(biāo)進(jìn)行建模，應(yīng)用混合遺傳算法進(jìn)行求解，但對貨艙裝載位的約束條件較為單一,沒有考慮主貨艙左右非對稱限重以及貨機(jī)彎矩的影響。張洪[14]對算法進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)，針對C919建立基于蟻群算法的配載優(yōu)化模型。

因貨機(jī)主貨艙內(nèi)不同位置的貨艙高度不同，主貨艙中A、P、R裝載區(qū)域?qū)τ诩b器的高度限制不同于B-M裝載區(qū)域。并且為了盡量減少貨機(jī)的彎矩，應(yīng)將重量較大的集裝器配載在貨機(jī)的升力點(diǎn)附近，重量較輕的集裝器配載在貨艙的兩端。因此將貨機(jī)主貨艙分為兩部分進(jìn)行討論，相比于以往的裝載優(yōu)化模型，還考慮到貨機(jī)主貨艙左右非對稱裝載限重，使貨機(jī)貨物裝載模型更加合理。

1 民航貨機(jī)裝載模型構(gòu)建

1.1 A、P、R區(qū)域裝載模型

貨機(jī)的裝載空間包括主貨艙以及前后下貨艙。集裝器主要裝載在貨機(jī)的主貨艙中，下貨艙多用于裝載散貨且貨物相對固定，此裝載模型不考慮下貨艙貨物的變化，只對貨機(jī)主貨艙的裝載優(yōu)化進(jìn)行考慮。貨機(jī)主貨艙如圖1所示。

圖1 貨機(jī)主貨艙平面圖Fig.1 The plane graph of main-hold in air freighter

貨艙中共可放置27個(gè)集裝器，且不同裝載位對集裝器的大小以及高度有不同的要求[15]，其中由于受到貨機(jī)主貨艙結(jié)構(gòu)的限制，放置在AR、AL、PR、PL、R這5個(gè)裝載區(qū)上集裝器允許的高度與其他22個(gè)裝載區(qū)不同。

在滿足貨艙內(nèi)部空間及載重的約束條件下，還要保持飛機(jī)重心的平衡，使飛機(jī)的整體重心在重心前后限之間。并將重量較大的集裝器配載在貨機(jī)的升力點(diǎn)附近，重量較輕的集裝器配載在貨艙的兩端。

在貨機(jī)主貨艙滿載的情況下，集裝器堆碼的貨物滿足貨艙內(nèi)部空間約束條件，則至少一個(gè)集裝器高度小于244 cm以滿足R區(qū)裝載要求，在高度小于244 cm的集裝器中選擇重量最輕的一個(gè)，將此集裝器裝載到R區(qū)。

貨艙中A、P裝載區(qū)的高度限制為295 cm，在高度小于295 cm的集裝器中選擇出重量最輕的4個(gè)，將此4個(gè)集裝器裝載在A、P裝載區(qū)。

當(dāng)主貨艙不滿載時(shí)，即所需裝入的集裝器少于27個(gè)，則先假設(shè)缺少的集裝器為重量高度都為0的虛擬集裝器以補(bǔ)齊27個(gè)裝載位，再按照上述配載方法進(jìn)行配載計(jì)算即可得出最優(yōu)解。虛擬集裝器分配到的配載區(qū)域在實(shí)際裝載作業(yè)時(shí)不需要裝載集裝器。

1.2 B-M區(qū)域裝載模型

B-M裝載區(qū)共可裝載22個(gè)集裝器，各集裝器在主貨艙中的約束條件一致，采用遺傳算法對此區(qū)域集裝器進(jìn)行配載計(jì)算，依據(jù)航空公司飛機(jī)配載的現(xiàn)實(shí)約束，以重心位置限制、貨艙內(nèi)部結(jié)構(gòu)限制、貨艙載重限制、貨艙左右非對稱裝載限重為約束條件，以飛機(jī)起飛重心最優(yōu)為目標(biāo)建立混合整數(shù)規(guī)劃模型。貨機(jī)裝載模型中的相關(guān)公式所用符號如表1所示。

在實(shí)際的貨機(jī)裝載作業(yè)中，對應(yīng)于不同的航班情況，貨機(jī)有其最適合的重心位置。將重心偏離量最小作為裝載模型的目標(biāo)函數(shù)：

(1)

式(1)中：LMAC為機(jī)翼平均空氣動(dòng)力弦的弦長。

裝載模型有多個(gè)約束條件，包括：每個(gè)裝載位只對應(yīng)一個(gè)集裝器；貨機(jī)重心范圍約束；貨艙內(nèi)部結(jié)構(gòu)約束；貨艙左右非對稱裝載限重。

(1)載位與集裝器對應(yīng)約束，設(shè)置變量xij為

?i=1,2,…,NULD；?j=1,2,…,NULD

(2)

每個(gè)裝載位最多只能裝載一個(gè)集裝器：

(3)

表1 裝載模型相關(guān)符號及含義Table 1 The related symbols and meanings of the loading model

(2)貨機(jī)重心范圍約束：飛機(jī)的重心要始終保持在安全范圍內(nèi)，在重心包線圖中，重心坐標(biāo)始終在重心包線內(nèi)。裝載模型的重心前后限主要包括：飛機(jī)無油重心前后限，飛機(jī)起飛重心前后限，飛機(jī)著陸重心前后限，對應(yīng)公式分別為

(4)

CGTOW=

(5)

CGLW=

(6)

minCGZFW≤CGZFW≤maxCGZFW

(7)

minCGTOW≤CGTOW≤maxCGTOW

(8)

minCGLW≤CGLW≤maxCGLW

(9)

(3)貨艙內(nèi)部結(jié)構(gòu)約束即貨艙對于集裝器的重量與高度約束：貨機(jī)貨艙中不同的裝載區(qū)對于此區(qū)域的載荷限制不同，B-M裝載區(qū)對于集裝器高度有統(tǒng)一的限制。

wixij≤maxWj, ?i=1,2,…,NULD；?j=1,2,3,…,NPOS

(10)

(11)

hjxij≤maxHj， ?i=1,2,…,NULD；

?j=1,2,…,NPOS

(12)

(4)主貨艙左右非對稱裝載限重：針對飛機(jī)中心線，貨艙左右兩側(cè)裝載的貨物重量應(yīng)該是對稱的。但在實(shí)際操作中，受所裝貨物密度不同的影響，無論是哪種類型的集裝器均會(huì)出現(xiàn)左右不對稱的情況，稱之為“左右非對稱裝載”。兩側(cè)的重量差異必須嚴(yán)格限制在規(guī)定的范圍之內(nèi)，而且差距越小越好，使其控制在飛機(jī)結(jié)構(gòu)載荷和平衡允許的范圍內(nèi)，保證航班的飛行安全。

W={LA+[0-LA(LB-LA)/

(LC-LA)]}PL

(13)

2 算法設(shè)計(jì)

遺傳算法在解決尋優(yōu)問題方面具有優(yōu)異的表現(xiàn)，遺傳算法的確立首先需要進(jìn)行遺傳編碼，通過建立通俗易懂的模型將難于解決的問題生動(dòng)形象的表現(xiàn)出來。本模型使用實(shí)數(shù)編碼，B-M區(qū)域集裝器的總共有n個(gè)，集裝器編號設(shè)為i=1，2，…，n。每個(gè)配載平衡方案在遺傳算法中都有一個(gè)編碼長度為n的個(gè)體與之對應(yīng)，個(gè)體中基因的位置即表示在此配載方案中集裝器在貨艙中的裝載位置。

通過適者生存法則，使適應(yīng)力強(qiáng)的個(gè)體能夠生存下來。模型的適應(yīng)度函數(shù)為貨機(jī)的重心偏移量函數(shù)，選擇算子采用傳統(tǒng)的輪盤賭方式，交叉方式為單點(diǎn)交叉。變異方式為逆變異，變異點(diǎn)隨機(jī)選取，并將變異點(diǎn)之后的基因逆排列。

通過罰函數(shù)對過程進(jìn)行約束，不滿足約束條件的染色體適應(yīng)度變?yōu)?，重新生成滿足約束條件的染色體，迭代次數(shù)達(dá)到最大時(shí)終止進(jìn)化。

遺傳算法實(shí)現(xiàn)過程如下：

(1)確定種群規(guī)模，將種群初始化。

(2)對個(gè)體的適應(yīng)度逐個(gè)計(jì)算，并從低到高排序；擇優(yōu)選擇個(gè)體進(jìn)入下一代。

(3)通過交叉、變異產(chǎn)生新一代個(gè)體。

(4)返回(2)進(jìn)行適應(yīng)性選擇操作，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)，終止進(jìn)化。

算法的流程如圖2所示。

圖2 遺傳算法流程圖Fig.2 The flow chart of genetic algorithm

3 算例分析

以波音777貨機(jī)為例進(jìn)行驗(yàn)證，波音777貨機(jī)主貨艙的集裝器采用縱向兩側(cè)裝載方式，如圖1所示。

波音777貨機(jī)主貨艙共可放置27個(gè)集裝器，其中AR、AL、PR、PL、R這5個(gè)裝載區(qū)上的集裝器由于貨機(jī)貨艙結(jié)構(gòu)限制，允許的高度與其他22個(gè)裝載區(qū)不同。

以下面27個(gè)A型集裝器為例，對配載計(jì)算方法進(jìn)行說明，如表2所示。

首先對R裝載區(qū)進(jìn)行配載，R區(qū)對于貨物高度的要求最為嚴(yán)格，波音777貨機(jī)R區(qū)的集裝器高度不得超過244 cm。選取高度小于244 cm中重量最輕的集裝器裝載在R區(qū)。然后在高度小于295 cm的集裝器中選擇出重量最輕的四個(gè)集裝器裝載在AR、AL、PR、PL區(qū)域。

波音777貨機(jī)的重心包線圖如圖3所示，表示出了貨機(jī)重心的安全范圍。重心相對于機(jī)翼平均空氣動(dòng)力弦的位置[%MAC]計(jì)算方程為

(14)

式(14)中：MAC為機(jī)翼的平均空氣動(dòng)力弦的弦長；HMAC基準(zhǔn)點(diǎn)到平均氣動(dòng)力弦前緣的距離。

波音777貨機(jī)空機(jī)重量限制由飛機(jī)制造商在出廠時(shí)給出，AOEW=141 802 kg。波音777貨機(jī)主貨艙分區(qū)限重如表3所示。

圖3 波音777貨機(jī)重心包線圖Fig.3 Center-of-gravity envelope of Boeing 777 air freighter

表2 集裝器貨物重量及高度Table 2 Weight and height of unit load devices

表3 波音777貨機(jī)主貨艙最大裝載限重Table 3 Maximum load limit in main-hold of Boeing 777 air freighter

根據(jù)飛機(jī)的起飛重量，兩側(cè)的重量差異必須嚴(yán)格限制在規(guī)定的范圍之內(nèi)，而且差距越小越好，否則，將會(huì)造成飛機(jī)橫向平衡出現(xiàn)問題?？梢愿鶕?jù)波音777貨機(jī)主貨艙左右非對稱裝載限重圖對不同裝載區(qū)域左右集裝器的非對稱裝載限重進(jìn)行計(jì)算。主貨艙左右非對稱裝載限重圖如圖4所示。

圖4 波音777貨機(jī)主貨艙左右非對稱裝載限重圖Fig.4 Asymmetrical loading limit diagram of Boeing 777 air freighter main-hold

采用某次中國貨運(yùn)航班的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，貨機(jī)的起飛油量為380 00 kg，航程油量為150 00 kg，最優(yōu)重心位置為20.78%MAC。利用C#語言進(jìn)行編程，經(jīng)過測試，將遺傳算法的種群規(guī)模設(shè)定為30，進(jìn)化代數(shù)為150，交叉概率設(shè)置為0.7，變異率為0.01，得到算法的收斂情況如圖5所示。

圖5 配載方法收斂圖Fig.5 The convergence diagram of the stowage method

可以看出，采用本文的配載方法可以較快收斂到最優(yōu)解。配載方案的重心偏移量為0.019 34，接近最優(yōu)重心。貨機(jī)貨物裝載相關(guān)部門可以依據(jù)此配載方法，快速便捷的得到貨機(jī)主貨艙多約束條件下的最優(yōu)裝載方案。

4 結(jié)論

多約束條件下的航空貨運(yùn)裝載問題是一個(gè)綜合性研究課題。根據(jù)實(shí)際裝載過程中的約束條件建立裝載模型，對主貨艙進(jìn)行分區(qū)討論。在充分考慮了貨機(jī)的俯仰平衡以及滾轉(zhuǎn)平衡的條件下，以重心偏移量最小為目標(biāo)使用遺傳算法得到主貨艙配載方案，該配載方法對航空貨運(yùn)裝載問題的研究有著重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。在實(shí)際的貨機(jī)裝載工作中，還有其他現(xiàn)實(shí)因素約束著貨艙的裝載，在未來可以根據(jù)個(gè)體的客觀情況進(jìn)一步優(yōu)化裝載方案。