淺議梁的強(qiáng)度與剛度的關(guān)系1)

馬 杭 馬永其 丁偉東 丁 超(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海200444)

?(上海樟祥電器成套有限公司，上海201400)

通常強(qiáng)度是指物體承受載荷而不破壞的能力，剛度是指物體抵抗變形的能力。材料力學(xué)以桿、柱、軸、梁等簡(jiǎn)單構(gòu)件為研究對(duì)象，其幾何特征是一個(gè)方向的尺度遠(yuǎn)大于另外兩個(gè)方向的尺度[1-2]。學(xué)生通過(guò)桿柱的拉壓、圓軸的扭轉(zhuǎn)、梁的彎曲的學(xué)習(xí)，逐步建立起強(qiáng)度和剛度的概念。在學(xué)生時(shí)代曾經(jīng)問(wèn)過(guò)老師這樣的問(wèn)題：“滿足了剛度指標(biāo)的構(gòu)件，其強(qiáng)度指標(biāo)一定能夠滿足嗎？”作為教師，有時(shí)候也會(huì)被學(xué)生問(wèn)到類(lèi)似的強(qiáng)度與剛度關(guān)系的問(wèn)題。事實(shí)上，剛度指標(biāo)是針對(duì)構(gòu)件使用性能的需要而提出的對(duì)變形的限制或變形能力的要求。顯而易見(jiàn)，對(duì)構(gòu)件剛度的要求具有多樣性。例如在生活中，秤桿不允許產(chǎn)生明顯的變形以保證其稱(chēng)重的準(zhǔn)確性，而扁擔(dān)則需要較大的彎曲變形能力才能在使用時(shí)省力。在工程上，對(duì)變形限制比較嚴(yán)格如有機(jī)床主軸等，其中有些變形限制隱含了對(duì)受力穩(wěn)定性的要求，特別是薄壁構(gòu)件，例如起重機(jī)的箱型主梁[3]等。而板簧以及其他各類(lèi)彈簧則要求具有較大的變形能力來(lái)實(shí)現(xiàn)儲(chǔ)能或減振隔振的功能，盡管這些不同的物體變形的大小和形式多種多樣，但顯然都必須以滿足強(qiáng)度的要求作為前提。

另一方面，由于變形的測(cè)量比應(yīng)力測(cè)量來(lái)的方便，在構(gòu)件生產(chǎn)制造中往往通過(guò)變形測(cè)量來(lái)檢驗(yàn)構(gòu)件的合格性，或者通過(guò)變形測(cè)量來(lái)確定構(gòu)件的安全工作載荷，作為設(shè)計(jì)計(jì)算的依據(jù)或?qū)ζ浼右则?yàn)證[4]。毫無(wú)疑問(wèn)，從正常服役的要求來(lái)說(shuō)，構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度指標(biāo)都必須同時(shí)得到滿足。然而，強(qiáng)度和剛度顯然是兩個(gè)完全不同的概念，不容混淆。強(qiáng)度和剛度之間是否存在普遍的確定的關(guān)系，以及二者通過(guò)怎樣的方式聯(lián)系起來(lái)，搞清楚這個(gè)問(wèn)題，不僅有助于加深對(duì)基本概念的正確理解，提高教學(xué)水平和學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也是工程實(shí)際中設(shè)計(jì)者和生產(chǎn)者所十分關(guān)心的重要問(wèn)題，具有普遍的意義[3,5]。

材料力學(xué)是本科生接觸到的第一門(mén)變形體力學(xué)，其理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)[6]。教學(xué)的改革與創(chuàng)新，首先應(yīng)當(dāng)在教學(xué)內(nèi)容上下功夫[7]，其次要緊密結(jié)合工程實(shí)際，在理論教學(xué)中適當(dāng)?shù)匾雽?shí)踐性問(wèn)題[8]。由此出發(fā)，本著節(jié)材節(jié)能綠色制造的理念，本文通過(guò)彎曲梁的強(qiáng)度與剛度之比的定義，簡(jiǎn)要地探討梁的靜載強(qiáng)度與剛度之間的關(guān)系，以期在確保安全的前提下達(dá)到優(yōu)化設(shè)計(jì)的效果，同時(shí)在教學(xué)上加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解與掌握，提高學(xué)習(xí)積極性。

1 彎曲梁的強(qiáng)度與剛度之比

工程上彎曲梁在服役狀態(tài)下必須同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度的要求，梁的強(qiáng)度條件表達(dá)為[1-2]

式中，σmax和M分別為彎曲梁的危險(xiǎn)截面上的最大應(yīng)力和彎矩，Iz為梁的軸慣性矩，h0為梁橫截面的邊高，h為橫截面到中性軸的最大距離，如圖1 所示。通常h≥0.5h0(圖1(a))，僅當(dāng)橫截面幾何關(guān)于中性軸對(duì)稱(chēng)時(shí)h= 0.5h0(圖1(b))。[σ] 和σ0.2分別為材料的許用應(yīng)力和條件屈服應(yīng)力，ns為強(qiáng)度條件的安全系數(shù)。彎曲梁的剛度條件可寫(xiě)為

式中，y0為無(wú)量綱撓度，定義為梁的最大撓度與跨距l(xiāng)的比值。在本文中，懸臂梁的無(wú)量綱撓度在梁的自由端處定義，簡(jiǎn)支梁在跨距的中點(diǎn)處定義。梁的許用無(wú)量綱撓度[y]則是結(jié)合了服役的經(jīng)驗(yàn)，綜合考慮了梁變形的限制以及防止失穩(wěn)的要求，并考慮了剛度條件的安全系數(shù)nr后所給出的控制參數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，強(qiáng)度條件與剛度條件的安全系數(shù)未必相等。顯然，滿足強(qiáng)度條件(1)和剛度條件(2)是在梁的設(shè)計(jì)過(guò)程中時(shí)刻要考慮的重要問(wèn)題。

圖1 梁的橫截面與中性軸

處于彈性狀態(tài)的物體，其受力和變形存在確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，材料服從虎克定律，由此可定義材料的許用應(yīng)變[ε] 和條件屈服應(yīng)變?chǔ)?.2，分別為

式中，E為材料的彈性模量。許用應(yīng)變[ε] 與許用應(yīng)力[σ]可以看作是考慮了安全系數(shù)后的材料參數(shù)，二者通過(guò)虎克定律相聯(lián)系。分別將梁的強(qiáng)度條件(1)和剛度條件(2) 改寫(xiě)成無(wú)量綱的形式

不失一般性，假定彎曲梁的強(qiáng)度條件和剛度條件取相同的安全系數(shù)，即n=ns=nr。安全系數(shù)在本質(zhì)上反映了主觀與客觀之間的某種聯(lián)系，要考慮的因素很多，本文不作討論。利用材料力學(xué)[1-2]中梁的彎矩和撓度的表達(dá)式，將不等式(5)和不等式(6)的左邊相除，定義梁的強(qiáng)度與剛度比(簡(jiǎn)稱(chēng)強(qiáng)剛比) 為

式中，h/l為梁的高跨比，Cβ為梁的特性系數(shù)，其定義為

其中，ymax和y′′max分別為梁的撓度及其二階導(dǎo)數(shù)的最大值，注意梁的最大撓度和最大二階導(dǎo)數(shù)的位置不一定重合。式(7) 還可以寫(xiě)成

事實(shí)上，式(9)與式(7)給出的強(qiáng)剛比定義是完全相同的，式(7) 適合于理論分析，而式(9) 便于在工程上利用數(shù)值計(jì)算或者試驗(yàn)來(lái)得到梁的強(qiáng)剛比。需要指出的是，強(qiáng)剛比是利用強(qiáng)度條件和剛度條件來(lái)定義的，強(qiáng)剛比用無(wú)量綱的形式表達(dá)了梁的強(qiáng)度與剛度之間的定量關(guān)系，但與載荷的大小并無(wú)關(guān)系。在理想的工作狀態(tài)下，有β=1，梁的強(qiáng)度條件(1) 和剛度條件(2) 同時(shí)得到滿足。表1 列出了一部分梁的特性系數(shù)，并按其大小順序進(jìn)行了排列。

表1 某些常見(jiàn)梁的特性系數(shù)Cβ 的數(shù)值

2 關(guān)于強(qiáng)剛比的討論

2.1 影響強(qiáng)剛比的因素

由式(7) 可知，梁的強(qiáng)剛比與材料的許用應(yīng)變[ε]、梁的許用無(wú)量綱撓度[y]、高跨比h/l以及特性系數(shù)Cβ的數(shù)值大小等因素有關(guān)，其中[ε] 代表了材料的影響。當(dāng)安全系數(shù)一定時(shí)，由式(3) 可知，許用應(yīng)變[ε] 是允許的材料彈性應(yīng)變最大值。高跨比h/l屬于幾何參數(shù)，是設(shè)計(jì)時(shí)能夠直接調(diào)節(jié)的參數(shù)之一。許用無(wú)量綱撓度[y] 的取值則與梁的用途的多樣性有關(guān)，從機(jī)床主軸[1]的10?4到箱型起重機(jī)梁[3]的10?3，從電纜橋架[4]的0.005 到板簧的0.1 左右。對(duì)于不同用途的梁，其許用撓度的取值顯然存在著數(shù)量級(jí)的差異。

關(guān)于梁的特性系數(shù)，由式(8) 的定義可知，Cβ由ymax和y′′max，即梁的撓度及其二階導(dǎo)數(shù)的最大值來(lái)決定。眾所周知，根據(jù)材料力學(xué)的梁理論[1-2]，y′′是曲率的近似值，對(duì)應(yīng)于梁的局部變形。由于曲率與該處梁截面的彎矩相對(duì)應(yīng)，而彎矩的分布規(guī)律取決于梁的加載方式和支撐形式。撓度y則是通過(guò)對(duì)y′′進(jìn)行二次積分并結(jié)合邊界條件得到的，因此Cβ反映了梁的載荷與支撐的影響。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，對(duì)y′′與y加以比較并考慮到二者之間的積分(或微分)關(guān)系，如果說(shuō)y′′在一定程度上反映了梁的局部變形特性，y則更多地反映了梁的整體變形特性，在這個(gè)意義上，Cβ也是梁的局部變形與整體變形關(guān)系的某種反映。

由表1 可知，Cβ的數(shù)值變化范圍是相當(dāng)大的。對(duì)于相同的支撐形式，集中載荷的Cβ數(shù)值大于均布載荷的，說(shuō)明在集中載荷作用下，梁的局部變形的不均勻性相對(duì)較大，均布載荷的相對(duì)較??；對(duì)于不同的支撐形式，簡(jiǎn)支梁的Cβ數(shù)值大于懸臂梁的，固支梁的Cβ數(shù)值又大于簡(jiǎn)支梁的，反映了約束的強(qiáng)弱對(duì)梁的整體變形的影響。比較而言，懸臂梁的約束相對(duì)較弱，簡(jiǎn)支梁居中，固支梁最強(qiáng)?？梢哉f(shuō)，Cβ數(shù)值變化的范圍反映了梁的結(jié)構(gòu)形式和加載方式的多樣性對(duì)強(qiáng)剛比的影響。

通過(guò)前面的討論，梁的強(qiáng)剛比受到材料性能、幾何特點(diǎn)、加載方式、支撐條件、許用撓度等多種因素的影響，因此從理論上看，強(qiáng)剛比的數(shù)值可以在很大的范圍內(nèi)變化。

2.2 關(guān)于強(qiáng)剛比的取值范圍

本文前面提出的問(wèn)題，即“滿足了剛度指標(biāo)的構(gòu)件，其強(qiáng)度指標(biāo)一定能夠滿足嗎？”可通過(guò)對(duì)強(qiáng)剛比的分析來(lái)回答。根據(jù)強(qiáng)剛比的定義可知，強(qiáng)剛比等于梁的最大無(wú)量綱撓度達(dá)到許用撓度的時(shí)刻，梁的危險(xiǎn)截面上最大應(yīng)力與許用應(yīng)力的比值。在理想的工作狀態(tài)下β=1，梁的強(qiáng)度條件和剛度條件能夠同時(shí)獲得滿足，材料的利用率最為合理。由于影響強(qiáng)剛比的因素較多，其數(shù)值變化的范圍很大，要求彎曲梁恰好工作在理想的狀態(tài)之下，在設(shè)計(jì)上未必容易實(shí)現(xiàn)。但另一方面，多種影響因素的存在也為設(shè)計(jì)者提供了便利，即通過(guò)參數(shù)的調(diào)整，使得彎曲梁工作在接近理想的狀態(tài)之下，即β值接近于1。如果梁的強(qiáng)剛比大于1，梁在剛度方面的安全性將高于強(qiáng)度方面的安全性。具體而言，當(dāng)強(qiáng)度條件(5) 取等號(hào)時(shí)，剛好滿足了梁的強(qiáng)度條件，剛度條件(6) 的左邊必然小于1。這時(shí)，可將強(qiáng)度條件(5) 取等號(hào)時(shí)梁所承受的載荷作為許用載荷，即安全工作載荷。強(qiáng)剛比大于1的情況表明，只要滿足了梁的強(qiáng)度條件，梁的剛度條件總是能夠得到滿足的。

反之，如果梁的強(qiáng)剛比小于1，梁在強(qiáng)度方面的安全性將高于剛度方面的安全性，或者說(shuō)強(qiáng)剛比小于1 是前述問(wèn)題“滿足了剛度指標(biāo)的構(gòu)件，其強(qiáng)度指標(biāo)一定能夠滿足”的適用條件。事實(shí)上，無(wú)論從理論還是從實(shí)踐來(lái)說(shuō)，人們對(duì)強(qiáng)度安全性的考慮總是優(yōu)先于剛度安全性的考慮的。由于梁的撓度測(cè)量簡(jiǎn)便易行，工程上常常需要通過(guò)撓度試驗(yàn)來(lái)獲取梁的安全工作載荷[4]，即許用載荷。當(dāng)強(qiáng)剛比小于1 時(shí)，以許用撓度為臨界的控制參數(shù)，加載時(shí)通過(guò)實(shí)時(shí)的撓度測(cè)量值來(lái)控制加載的過(guò)程，即可獲得偏于安全的許用載荷。綜上所述，從充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度潛力和撓度試驗(yàn)的可行性兩方面考慮，在設(shè)計(jì)上使得強(qiáng)剛比在小于1 且接近1 的范圍內(nèi)取值更為合理，也有利于工程上順利地開(kāi)展梁的撓度試驗(yàn)。

2.3 強(qiáng)剛比的數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)定

隨著數(shù)值分析技術(shù)的發(fā)展和有限元軟件的普及，有限元計(jì)算已經(jīng)成為構(gòu)件設(shè)計(jì)與優(yōu)化的重要手段。對(duì)于復(fù)雜截面的梁結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)單地采用梁理論進(jìn)行構(gòu)件設(shè)計(jì)并不足以滿足實(shí)際的需要。利用式(9) 可以方便地從有限元計(jì)算的結(jié)果得到梁的強(qiáng)剛比。在式(9)中，[σ] 和[y] 為已知參數(shù)，y和σmax分別為計(jì)算得到的最大無(wú)量綱撓度和最大應(yīng)力。這里需要注意的幾點(diǎn)是，第一，計(jì)算對(duì)象在整體上處于彈性階段；第二，σmax應(yīng)當(dāng)取自最大彎矩所在截面并位于距離中性軸為h的表面處，參見(jiàn)圖1，而不是取自構(gòu)件上的某個(gè)應(yīng)力集中處；第三，σmax可以取作最大等效應(yīng)力。

輔之以應(yīng)力測(cè)試技術(shù)[9]，同樣可以利用載荷試驗(yàn)的結(jié)果得到梁的強(qiáng)剛比，這時(shí)y和σmax應(yīng)分別為試驗(yàn)得到的最大無(wú)量綱撓度和最大應(yīng)力。一旦獲得了梁的強(qiáng)剛比，無(wú)論來(lái)自計(jì)算還是試驗(yàn)，都可以用作構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計(jì)的參考，以期最大限度地發(fā)揮材料的潛力。

需要指出的是，強(qiáng)度和剛度這些基本概念最初是通過(guò)材料力學(xué)的學(xué)習(xí)而建立起來(lái)的，理論上的分析與思考正是通過(guò)基本概念進(jìn)行的。無(wú)論計(jì)算軟件發(fā)展的多么強(qiáng)大，數(shù)值計(jì)算并不能代替理論上的分析與思考。而理論指導(dǎo)下的實(shí)驗(yàn)是對(duì)理論分析與計(jì)算結(jié)果的最終檢驗(yàn)，理論、計(jì)算與實(shí)驗(yàn)三者相輔相成。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了梁的強(qiáng)剛比的定義，用無(wú)量綱的形式定量地表達(dá)了梁的強(qiáng)度與剛度之間的關(guān)系，強(qiáng)剛比與載荷大小無(wú)關(guān)。加載方式、支撐條件、幾何特點(diǎn)、許用撓度以及材料性能等多種因素都會(huì)影響梁的強(qiáng)剛比，其數(shù)值可以在很大的范圍內(nèi)變化。合理的強(qiáng)剛比有利于充分發(fā)揮材料的潛力，強(qiáng)剛比的數(shù)值可以通過(guò)有限元方法或者通過(guò)梁的載荷試驗(yàn)來(lái)獲得。

在教學(xué)上，當(dāng)學(xué)生建立起強(qiáng)度與剛度的基本概念并學(xué)習(xí)了梁的變形之后，適時(shí)地把強(qiáng)剛比的概念引入材料力學(xué)的教學(xué)過(guò)程，或開(kāi)展相關(guān)的課外專(zhuān)題活動(dòng)，將有助于加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解與掌握，促進(jìn)節(jié)材節(jié)能綠色制造理念的形成，提高學(xué)習(xí)材料力學(xué)課程的興趣。