猴子玩具空翻360?站穩(wěn)的實驗測量1)

李 凱 薛永江

(上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)研究所，上海200072)

?(上海市能源工程力學(xué)重點實驗室，上海200072)

??(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海200444)

玩具中蘊含著許多有趣的力學(xué)問題[1-5]，對這些問題的分析不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)力學(xué)的興趣，同時也能鍛煉學(xué)生力學(xué)建模、實驗操作等多方面的能力[6]。一種能空翻360?站穩(wěn)的猴子玩具，因其表演過程令人印象深刻，引起了力學(xué)工作者的興趣。王永等[3]最早對此問題進行了研究，定性的解釋了該玩具表演的力學(xué)原理。此后，劉延柱[5]對此問題進行了力學(xué)建模分析，從理論上分析了猴子玩具表演的力學(xué)過程。在已有的這些研究中，實驗測量方面的工作開展的較少，文獻[3]中雖然給出了一些實驗測量結(jié)果，但未對猴子玩具的運動過程進行測量?？紤]到該問題的直觀性和啟發(fā)性，若能對此問題開展實驗研究，對學(xué)生學(xué)習(xí)理論力學(xué)課程知識，并在實踐中應(yīng)用、鞏固這些知識將是很有幫助的。

本文對猴子玩具進行實驗測量研究。首先，通過數(shù)字相機采集猴子玩具在不同懸掛姿態(tài)下的圖像，并結(jié)合計算機圖像處理方法，獲得猴子玩具的質(zhì)心位置；而后，通過實時觀測自由懸掛狀態(tài)下猴子玩具的擺動，獲得猴子玩具的轉(zhuǎn)動慣量；最后，通過小型拉伸試驗機拉伸彈簧獲得彈簧剛度。此外，本文采用數(shù)字圖像相關(guān)法(digital image correelation，DIC)跟蹤測量猴子玩具身上的六個標記點，來獲得猴子玩具的質(zhì)心運動軌跡、質(zhì)心速度、轉(zhuǎn)動角速度等運動學(xué)測量結(jié)果。

1 猴子玩具簡介

猴子玩具如圖1 所示，該玩具主要包括猴身和猴腳兩部分，在猴身上有一根發(fā)條手柄，猴身和猴腳可以發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。將玩具上緊發(fā)條后置于水平桌面，猴身會緩慢前傾，前傾至某個臨界位置時，猴子會突然跳起，在空中翻轉(zhuǎn)360?后落回桌面站穩(wěn)(具體運動過程見附件中的視頻文件)。為弄清猴子玩具的表演原理，將玩具拆解，如圖2 所示?？梢钥吹剑锷碛汕?、后兩個外殼組成，猴身內(nèi)部固定著一個發(fā)條盒，猴身與猴腳之間的連接可看做圓柱鉸，如圖2(b)所示，因此猴身和猴腳可以發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。從圖2(c)可以看到，有一根彈簧一端掛在猴身上，另一端掛在與猴腳固定的弧形板上，在發(fā)條盒側(cè)面有一個凸輪，凸輪上有兩個突起的小圓柱，如圖2(d)所示。通過觀察還發(fā)現(xiàn)，在彈簧收縮拉動猴身和猴腳發(fā)生相對轉(zhuǎn)動的過程中，猴腳上的弧形板最終會撞上猴身內(nèi)的一根橫梁(見圖2(d))，本文稱此橫梁為限位塊，該限位塊與弧形板的碰撞，導(dǎo)致猴身和猴腳不能繼續(xù)發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，彈簧也因此停止收縮，該限位塊的作用在3.1 節(jié)中會進一步討論。根據(jù)以上對猴子玩具的拆解分析，可定性地解釋猴子玩具的表演原理：猴子玩具上緊發(fā)條后，發(fā)條盒側(cè)面的凸輪在發(fā)條的驅(qū)動下發(fā)生順指針轉(zhuǎn)動(見圖2(c))，當凸輪上的小圓柱與猴腳上的弧形板發(fā)生接觸后(見圖2(d))，小圓柱會推動弧形板，但由于猴腳站立于桌面保持不動，因此猴身在弧形板對小圓柱的反作用力作用下發(fā)生前傾，與此同時掛在猴身和猴腳間的彈簧被拉伸開來，當凸輪轉(zhuǎn)至小圓柱與弧形板分離時，彈簧突然收縮，拉動猴身后仰，同時也拉動猴腳起跳，猴子跳起后，由于慣性在空中繼續(xù)轉(zhuǎn)動，直至翻轉(zhuǎn)360?后落回桌面站穩(wěn)。

圖1 猴子玩具

圖2 猴子玩具的拆解圖

2 實驗測量

2.1 基于數(shù)字圖像相關(guān)法的運動測量

DIC 是一種用于測量物體運動和變形的實驗方法[7-8]，近年來在實驗力學(xué)教學(xué)中得到了很好的應(yīng)用[9-12]。該方法通過拍攝物體在不同時刻的圖像，用基于圖像灰度的相關(guān)匹配算法，跟蹤出物體表面感興趣點的位置變化，從而得到物體的運動和變形信息。本文采用DIC 方法對猴子玩具的運動進行測量，測量系統(tǒng)如圖3 所示，相機正對猴子玩具側(cè)面拍攝，所拍攝的圖像存儲到計算機中，通過DIC 算法處理這些圖像，跟蹤匹配出猴子身上感興趣的點，從而實現(xiàn)測量。本文為實現(xiàn)對猴子玩具的運動過程測量，在猴子玩具側(cè)面噴上白漆并畫上了6 個黑色的標記叉，如圖4 所示，將這些標記叉從1 到6 編號并建立2 個隨體坐標系，一個隨體坐標系是位于猴腳上的2-x1y1，該坐標系以叉2 為原點，x1軸通過叉1，y1軸垂直于x1軸并指向叉3 一側(cè)，另一個隨體坐標系是位于猴身上的5x2y2，該坐標系以叉5 為原點，x2軸通過叉6，y2軸垂直于x2軸并指向叉4 一側(cè)。測量過程中，先通過DIC 算法跟蹤出6 個標記叉的位置，然后重建出這兩個隨體坐標系的方位，通過觀測這兩個隨體坐標系的運動即可實現(xiàn)對猴子玩具的運動測量。DIC 跟蹤匹配算法的基本原理如圖5 所示，考察在不同時刻對物體拍攝的兩幅圖像，一幅稱為參考圖，另一幅稱為目標圖。在參考圖中，取一個以感興趣點為中心的正方形子區(qū)，在目標圖中通過一定的圖像搜索方法，按預(yù)先定義的相關(guān)函數(shù)進行圖像匹配運算，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的極值找到與參考圖子區(qū)相對應(yīng)的目標圖子區(qū)，從而實現(xiàn)對感興趣點的跟蹤匹配[7]。

圖3 基于數(shù)字圖像相關(guān)法的運動測量系統(tǒng)

圖4 猴子玩具表面的6 個標記叉和兩個隨體坐標系

圖5 DIC 跟蹤匹配算法的基本原理

圖6 懸掛法測量猴身的質(zhì)心位置

2.2 質(zhì)心位置測量

本文將懸掛法和相機拍攝結(jié)合起來，用相機拍攝懸掛圖像，而后通過圖像處理求解質(zhì)心位置。圖6 是將猴身懸掛兩次拍攝得到的兩幅圖像。在這兩幅圖像中分別找出標記叉4, 5, 6 的位置，并重建出隨體坐標系5-x2y2，而后通過圖像處理提取出兩幅圖像中的懸掛線，并建立這兩條懸掛線相對各自圖像中隨體坐標系5-x2y2的直線方程，最后通過求解這兩個直線方程的公共解就得到了兩條懸掛線的交點坐標，從而確定了質(zhì)心C2的位置，如圖6(b) 所示。對拍攝相機標定后可將相機像素坐標轉(zhuǎn)換為物理長度坐標，質(zhì)心C2相對隨體坐標系5-x2y2的坐標為[xC2,yC2] = [6.85 mm，6.02 mm]。用同樣的方法可對猴腳質(zhì)心位置進行測量，如圖7 所示，猴腳質(zhì)心C1相對隨體坐標系2-x1y1的坐標為[xC1,yC1]= [4.18 mm，1.61 mm]。

圖7 懸掛法測量猴腳的質(zhì)心位置

2.3 轉(zhuǎn)動慣量測量

轉(zhuǎn)動慣量的測量采用復(fù)擺法[13]。如圖8(a) 所示，將細線從猴身與猴腳的連接鉸洞中穿過，兩端拉緊并固定于剛性桿上。輕微擾動使猴身以細線為軸做微幅擺動，根據(jù)復(fù)擺法，猴身相對懸掛點O的轉(zhuǎn)動慣量為

式中，m2為猴身質(zhì)量，b為懸掛點O到猴身質(zhì)心的距離，T為微幅擺動的周期。本文用相機拍攝猴身擺動過程的圖像序列，而后對圖像序列分析得出猴身的擺動周期T。距離b可在圖6(b) 中定位出懸掛點O后計算得到。求出JO后，可根據(jù)平行軸定理計算出猴身對其質(zhì)心C2的轉(zhuǎn)動慣量JC2=531 0 g·mm2。圖8(b) 是用復(fù)擺法測量猴腳轉(zhuǎn)動慣量的懸掛方式，該懸掛是通過將猴腳上的一根小橫桿平擔(dān)在兩條平行拉緊的細線上實現(xiàn)的，猴腳以小橫桿為軸做微幅擺動。與前面的處理過程類似，可求得猴腳對其質(zhì)心C1的轉(zhuǎn)動慣量JC1=223 g·mm2。

圖8 復(fù)擺法測量轉(zhuǎn)動慣量

2.4 彈簧剛度測量

彈簧剛度通過拉伸實驗測量。將彈簧從猴子玩具中拆下，測得彈簧原始長度為28 mm，用小型拉伸試驗機拉伸彈簧，所得拉伸曲線如圖9 所示?？梢钥吹?，彈簧的拉伸曲線可分為前后兩段，前一段是彈簧從初始的28 mm 拉伸至31 mm，該段內(nèi)拉伸曲線的斜率較大，且是非線性的，這是拉力彈簧的初拉力(或初張力) 現(xiàn)象，該現(xiàn)象是拉力彈簧在冷卷制作過程中形成的，其大小與彈簧材料、鋼絲直徑、卷制的圈數(shù)以及熱處理狀態(tài)等因素有關(guān)[14]。圖9 中拉伸曲線的后一段，即彈簧拉伸至31 mm 以后，此段拉伸曲線的斜率比前一段小，但線性度很好。根據(jù)測量，彈簧安裝在猴子玩具中時，其長度在32 mm 至38 mm 之間變化，也就是處于拉伸曲線的后一段線性范圍內(nèi)。因此對猴子玩具來說，該彈簧可當做線性彈簧處理。對拉伸曲線的后一段做線性擬合，如圖9所示，可求得彈簧的剛度k=152.8 N/m，同時還可求得在此剛度下彈簧的等效原始長度l0=17.8 mm。

圖9 彈簧的拉伸曲線以及線性擬合

3 結(jié)果與討論

3.1 運動測量結(jié)果

用相機拍攝猴子玩具的表演過程，相機型號為Baumer-VCXU-02M，拍攝幀率為890 幀/秒，總共拍攝了500 幅圖像(見附件視頻文件)。通過DIC 算法處理這些圖像，可實現(xiàn)對猴子玩具的運動過程測量。圖10 顯示了對運動過程中某幅圖像的處理過程，首先通過數(shù)字圖像相關(guān)法匹配出圖像中6 個標記叉的位置，而后重建出2.1 節(jié)中定義的兩個隨體坐標系2-x1y1和5-x2y2，根據(jù)這兩個隨體坐標系可以確定猴腳和猴身的質(zhì)心位置C1和C2(圖10 中的+號標記)，由這兩個質(zhì)心位置可進一步確定猴子玩具的整體質(zhì)心位置C(圖10 中的?號標記)，猴腳和猴身的轉(zhuǎn)角θ1和θ2分別定義為水平軸轉(zhuǎn)至隨體坐標軸x1和x2的角度(以逆時針轉(zhuǎn)向為正)，這兩個角度在兩個隨體坐標系重建后即可求出。

圖10 通過DIC 算法跟蹤出6 個標記叉并重建隨體坐標系2-x1y1 和5-x2y2 進行運動測量

圖11(a) 是測量得到的轉(zhuǎn)角θ1和θ2的變化曲線，圖中下橫軸是圖像序列，上橫軸是時間(后圖同)。圖11(b) 是對圖11(a) 中的轉(zhuǎn)角變化曲線數(shù)值求導(dǎo)后得到的角速度ω1和ω2的變化曲線。經(jīng)過分析，猴子玩具的運動可分為四個階段，如圖11(b)中所示：階段1，ω1和ω2基本為零，此階段猴子玩具站立于桌面，猴身緩慢前傾，彈簧被拉伸開來；階段2，ω1和ω2迅速變化，其中ω1快速下落，ω2迅速上升，這對應(yīng)著猴腳發(fā)生順時針快速轉(zhuǎn)動，也就是猴腳突然踮起的過程，與此同時，猴身發(fā)生逆時針轉(zhuǎn)動，也就是猴身突然后仰的過程；階段3，ω1和ω2基本相同且保持平穩(wěn)，這對應(yīng)著猴腳和猴身以相同的角速度在空中逆時針轉(zhuǎn)動；階段4，ω1和ω2突然跌落，并在振蕩中逐漸趨于零，這對應(yīng)著猴子玩具落回桌面，并在與桌面的碰撞過程中逐漸站穩(wěn)。圖11(b)還顯示，從階段2 進入階段3 時，猴腳的角速度ω2發(fā)生了從負到正的大幅突變，該現(xiàn)象發(fā)生的原因，是由于該時刻猴腳上的弧形板撞上了猴身上的限位塊，見圖2(d)，由于猴身的轉(zhuǎn)動慣量比猴腳的轉(zhuǎn)動慣量大得多，因此碰撞使得猴腳的角速度ω2發(fā)生大幅突變，而猴身的角速度ω1雖然也有改變，但變化幅度較小，如圖11(b) 所示。實驗觀察還發(fā)現(xiàn)，從猴身處于直立狀態(tài)算起，在進入階段2 之前，猴身轉(zhuǎn)動過的角度約有30?。然而，圖11(a) 中顯示θ2在階段1中的變化只有約5?，造成這一差異的原因是由于相機的采圖時間有限，為了捕捉猴子玩具的整個運動過程，相機是從猴身發(fā)生前傾一段時間之后才開始采集圖像的。

圖11 猴子玩具運動過程中的轉(zhuǎn)動

圖12(a)是猴子玩具整體質(zhì)心C的坐標[xc,yc]在運動過程中的變化曲線，該坐標以圖像左下角為原點。圖12(b) 是對質(zhì)心坐標求導(dǎo)后得到的質(zhì)心速度vcx和vcy的變化曲線。與圖11(b) 類似，也可從猴子玩具運動的四個階段對圖12(b) 進行分析。

圖12 猴子玩具運動過程中整體質(zhì)心C 的運動

3.2 討論

猴子玩具要表演成功，需在跳起和落回桌面期間在空中翻轉(zhuǎn)一周，設(shè)猴子跳起時整體質(zhì)心的豎向速度為vcy，那么從猴子跳起到猴子落回桌面所需的時間為

猴子在空中只受重力作用，根據(jù)質(zhì)心動量矩定理[13]，猴子在空中將做勻速轉(zhuǎn)動，設(shè)其角速度為ω，由于猴子在空中要轉(zhuǎn)動一周，因此有

將式(2) 代入式(3)，可得猴子玩具表演成功的運動學(xué)條件

由圖 11(b) 可得猴子在空中的轉(zhuǎn)動角速度ω=37.15 rad/s，由圖12(b) 可得猴子跳起時整體質(zhì)心C的豎向速度vcy= 0.8 m/s，將它們代入式(4) 計算得到ωvcy= 29.72 m/s2，這一結(jié)果與理論分析結(jié)果吻合得很好，說明了本文實驗測量結(jié)果的有效性。實際上，猴子玩具在空中翻轉(zhuǎn)的角度略小于360?或者略大于360?，也是能表演成功的。因為猴子落回桌面時，猴尾或猴腳會與桌面發(fā)生碰撞，猴子在這種碰撞過程中能逐漸地站穩(wěn)，通過視頻文件可清楚地看到這一過程。

下面從能量的角度分析猴子玩具的運動過程。開始時猴子站立于桌面，猴身緩慢前傾，彈簧被拉開，當彈簧被拉伸至最長時刻(下一時刻彈簧將開始收縮)，此時系統(tǒng)的機械能為

式中，k為彈簧的剛度，δ1為該時刻彈簧的伸長量，m為系統(tǒng)的質(zhì)量，h1為系統(tǒng)質(zhì)心C該時刻的高度。彈簧收縮后猴子玩具跳起，當猴子玩具上升至最高點時，系統(tǒng)的機械能為

式中，δ2為該時刻彈簧的伸長量，h2為系統(tǒng)質(zhì)心C該時刻的高度，JC為系統(tǒng)對其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，ω為系統(tǒng)此時的轉(zhuǎn)動角速度。式(5) 和式(6) 中的物理量通過實驗測量得到：m= 20.78 g，k=152.8 N/m，δ1= 20.2 mm，δ2= 14.2 mm，JC=7 940 g·mm2，h1= 29.33 mm，h2= 72.26 mm，ω=37.15 rad/s。其中，m通過電子天平稱量得出，k根據(jù)2.4 節(jié)中的拉伸實驗得到，δ1和δ2通過拆解猴子玩具進行測量，并結(jié)合2.4 節(jié)中求出的彈簧等效原始長度l0= 17.8 mm 得到，h1和h2由圖12(a) 得到，JC根據(jù)2.3 節(jié)中求出的JC1和JC2并結(jié)合平行軸定理計算得出。將這些值代入式(5)和式(6)計算，得到E1=0.036 9 N·m，E2=0.034 7 N·m，這兩個能量值非常接近，說明實驗測量的結(jié)果與該系統(tǒng)運動過程中機械能守恒的規(guī)律相符。

嚴格的說，猴子玩具的運動是三維空間運動，本文將其作為二維平面運動處理，會帶來一定的誤差。此外，本文所用的DIC，當物體的運動不是平面運動時，也會產(chǎn)生一定的誤差。圖13 給出了猴子運動過程中8 個典型時刻的圖像，以及系統(tǒng)質(zhì)心C的運動軌跡?？梢钥吹剑诤镒犹鸬某跏忌仙A段，質(zhì)心基本是豎直上升的(見圖13(b) 和圖13(c))，然而當猴子上升至最高點附近時，質(zhì)心軌跡偏離了豎直方向(見圖13(d))，這種偏離在猴子越過最高點后的下落過程中繼續(xù)發(fā)生(見圖13(e)～圖13(g))，最后，猴子落回桌面站穩(wěn)(見圖13(h))。從理論上分析，猴子跳起后只受重力作用，其質(zhì)心軌跡應(yīng)該是一條豎直線(嚴格說是拋物線，但由于質(zhì)心水平速度很小，因此可近似為一條豎直線)，然而，由于猴子在運動過程中發(fā)生了三維空間運動，這種運動的效應(yīng)在圖13(f) 中可以清楚地看到，該圖中猴子的兩只腳發(fā)生了明顯的傾斜。猴子的這種三維運動，會導(dǎo)致本文所用DIC 的測量誤差[7]，從而使測量得到的質(zhì)心運動軌跡偏離豎直線。該測量誤差可通過采用能夠進行三維運動測量的實驗技術(shù)來加以克服。本文作為初步的嘗試，可為進一步的研究打下基礎(chǔ)。

圖13 猴子玩具的運動過程以及質(zhì)心的運動軌跡

4 總結(jié)

本文將實驗和理論相結(jié)合，對一種能空翻360?站穩(wěn)的猴子玩具進行了分析。結(jié)果顯示，將實驗測量獲得的力學(xué)參數(shù)帶入理論分析模型中，計算得出的運動學(xué)結(jié)果與實驗測量得到的運動學(xué)結(jié)果吻合得很好，更好地闡述了猴子玩具運動的力學(xué)機理。在本科力學(xué)教學(xué)中開展此實驗項目，對學(xué)生深入理解理論力學(xué)課程知識，培養(yǎng)學(xué)生的實驗動手能力將很有益處。