基于H-like模型的壓電陶瓷作動(dòng)器內(nèi)?？刂?/h1>
2020-10-28 05:05:42尚愛鵬王貞艷賀一丹
壓電與聲光 2020年5期
尚愛鵬，王貞艷，賀一丹
(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 山西 太原 030024)
0 引言
壓電陶瓷作動(dòng)器作為一種微位移智能材料，在精密定位領(lǐng)域已被廣泛應(yīng)用，但其在輸入、輸出關(guān)系上呈現(xiàn)率相關(guān)性，這種遲滯特性嚴(yán)重降低了應(yīng)用端的控制精度[1]。針對(duì)系統(tǒng)非線性問題，現(xiàn)已發(fā)展形成多種建模和控制方法。比較常用的遲滯模型有支持向量機(jī)建模[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模[3]及Preisach模型[4]等。此外，針對(duì)率相關(guān)問題的建模理論可分為整體與分離兩種模型。常見的分離式模型有三明治模型、Hammerstein模型[5]及Wiener模型等，與整體式模型相比，其結(jié)構(gòu)明確，在非線性問題的研究中尚有很大的發(fā)展空間。一般控制策略有自適應(yīng)控制[6]、魯棒控制[7]、比例積分微分(PID)控制[8]及滑?？刂芠9]等。在控制方法中，內(nèi)?？刂品ㄓ捎诹己玫膶?shí)用性被逐漸應(yīng)用到遲滯非線性的跟蹤控制中。本文采用最小二乘支持向量機(jī)(LS-SVM)和自回歸歷遍模型(ARX)組成Hammerstein-like模型來對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器進(jìn)行建模，然后在模型基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)內(nèi)?？刂破鳎ㄟ^構(gòu)建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行跟蹤控制實(shí)驗(yàn)，最后通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證控制方案的有效性。
1 作動(dòng)器率相關(guān)模型
1.1 Hammerstein-like模型
Hammerstein-like模型是在傳統(tǒng)Hammerstein模型基礎(chǔ)上發(fā)展得到的，它將傳統(tǒng)模型中的靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)調(diào)整為動(dòng)態(tài)以對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器率相關(guān)特性進(jìn)行更好的描述。模型結(jié)構(gòu)如圖1所示，分別以LS-SVM和ARX模型來表示模型的遲滯非線性部分和線性動(dòng)態(tài)部分。圖中，u，y分別為系統(tǒng)的輸入與輸出，x既為非線性模型的輸出又是線性模型的輸入。
圖1 Hammerstein-like模型結(jié)構(gòu)圖
1.1.1 LS-SVM
LS-SVM通過對(duì)支持向量機(jī)的改進(jìn)[10]，將誤差的二次項(xiàng)視為損失函數(shù)，不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束，能夠?qū)ν苟我?guī)劃問題合理優(yōu)化，其表達(dá)式為
(1)
式中：C為懲罰因子；yi為輸出；xi為回歸向量；ξ為預(yù)測(cè)輸出與實(shí)際輸出之間的誤差；ω,b為待辨識(shí)參數(shù)；φ(x)為非線性映射。
通過拉格朗日乘子法將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組，即：
(2)
式中：e=[1,1,…,1]T;α=[α1,α2,…,αn]T;Y=[y1,y2,…,yn]T;Ωij=K(xi,xj)=φ(xi)·φ(xj)(i=1,2,…,n)為核函數(shù)。
非線性回歸估計(jì)模型為
(3)
(4)
式中：αi(i=1,2,…,n)為拉格朗日乘子；K(x,xi) (i=1,2,…,n)為高斯核函數(shù)[11]；σ為核參數(shù)。
1.1.2 ARX模型
ARX模型表達(dá)式為
(5)
式中：et為白噪聲信號(hào)；p,q為階數(shù)。其結(jié)構(gòu)寫成傳遞函數(shù)形式為
(6)
式中：A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+aqz-q;B(z)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bpz-p，z-1為單位延遲算子。
1.2 模型辨識(shí)
1.2.1 LS-SVM模型辨識(shí)
相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，小于1 Hz信號(hào)的壓電陶瓷作動(dòng)器遲滯環(huán)形狀基本不隨頻率變化而變化，故非線性部分LS-SVM模型通過1 Hz信號(hào)下的作動(dòng)器數(shù)據(jù)建模。選取動(dòng)態(tài)階數(shù)m=n=3，通過微粒群優(yōu)化算法調(diào)整參數(shù)結(jié)果為C=9.20×1012，σ=9。
1.2.2 ARX模型辨識(shí)
首先在1～100 Hz正弦掃描輸入信號(hào)u(t)激勵(lì)下采集得到壓電陶瓷作動(dòng)器的輸出y(t)，然后通過LS-SVM模型根據(jù)u(t)估計(jì)中間變量x(t)，最后由x(t)、y(t) 辨識(shí)出線性動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)ARX模型。建模的精確度由均方根誤差和相對(duì)誤差表示，定義相對(duì)誤差與均方根誤差分別為
(7)
(8)
辨識(shí)得到的ARX模型為
(9)
2 內(nèi)?？刂破髟O(shè)計(jì)
內(nèi)?？刂破鹘⒃谙到y(tǒng)逆模型基礎(chǔ)上，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，需要調(diào)節(jié)的變量少，更易于應(yīng)用到工程實(shí)踐中。Hammerstein-like模型是塊連接結(jié)構(gòu)，其逆模型分別針對(duì)非線性部分和線性動(dòng)態(tài)部分建立。內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)圖如圖2所示。圖中，M為作動(dòng)器辨識(shí)模型，N為Hammerstein-like模型非線性部分，G為Hammerstein-like模型線性部分，Q為前饋控制器，N-1為N的逆模型，W為G的逆模型，F(xiàn)為濾波器，r為期望信號(hào)。
圖2 內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)圖
2.1 Hammerstein-like模型的逆
內(nèi)?？刂品桨钢?前饋控制器的設(shè)計(jì)是其關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在整個(gè)控制結(jié)構(gòu)中，以系統(tǒng)逆模型作為前饋控制器，非線性部分的逆模型同樣采用最小二乘支持向量機(jī)，無需深入分析壓電陶瓷作動(dòng)器本身的物理機(jī)理，只需根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)樣本，把當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)的輸出和歷史時(shí)刻的輸入、輸出作為L(zhǎng)S-SVM的輸入，把當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)的輸入信號(hào)作為L(zhǎng)S-SVM的參考輸出，得到壓電陶瓷作動(dòng)器逆動(dòng)態(tài)的規(guī)律。
動(dòng)態(tài)線性部分G(z)的逆為
W(z)=G-1(z)
(10)
2.2 濾波器設(shè)計(jì)
在整個(gè)控制結(jié)構(gòu)中，引入反饋濾波器可抑制輸出振蕩,從而使系統(tǒng)魯棒性得到增強(qiáng)。實(shí)際控制中，濾波器的使用更傾向于采用一階形式濾波器，即：
(11)
式中αf(0<αf<1)為濾波器系數(shù)。
濾波器參數(shù)的選取是否合理不僅直接關(guān)系到系統(tǒng)的響應(yīng)性能，還會(huì)對(duì)其魯棒性產(chǎn)生影響。所以，應(yīng)在考慮魯棒性及響應(yīng)速度兩個(gè)因素的基礎(chǔ)上選取合適的參數(shù)。
3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果
3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)簡(jiǎn)介
圖3為壓電陶瓷作動(dòng)器實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)備，主要由作動(dòng)器、驅(qū)動(dòng)電源、電渦流傳感器、dSPACE 4部分組成。
圖3 實(shí)驗(yàn)設(shè)備
在實(shí)驗(yàn)過程中，采樣頻率為10 kHz，信號(hào)由Simulink方框圖下載傳輸至dSPACE系統(tǒng)中，進(jìn)行D/A轉(zhuǎn)換后由驅(qū)動(dòng)電源實(shí)現(xiàn)對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)，作動(dòng)器與電渦流傳感器相連，傳感器將輸出位移信號(hào)進(jìn)行A/D處理后再傳輸至dSPACE系統(tǒng)內(nèi)。
3.2 建模結(jié)果
通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測(cè)得壓電陶瓷作動(dòng)器單一頻率(1～100 Hz)及復(fù)合頻率(10 Hz/20 Hz/…/90 Hz、20 Hz/40 Hz/60 Hz/80 Hz、30 Hz/60 Hz/90 Hz)下的輸入、輸出數(shù)據(jù)對(duì)，分別與對(duì)應(yīng)頻率的模型輸出進(jìn)行比較。圖4～6分別為不同頻率下的建模結(jié)果。模型檢驗(yàn)誤差如表1所示。
圖4 60 Hz建模結(jié)果
圖5 復(fù)合頻率10 Hz/20 Hz/… /90 Hz建模結(jié)果
圖6 復(fù)合頻率30 Hz/60 Hz/90 Hz建模結(jié)果
表1 檢驗(yàn)誤差
由圖4～6和表1可知，所建Hammerstein-like模型能很好地?cái)M合壓電陶瓷作動(dòng)器不同頻率下的遲滯曲線，均方根誤差為0.121 2～0.416 1 μm，相對(duì)誤差為0.013 3～0.050 5。
3.3 跟蹤控制結(jié)果
通過壓電陶瓷作動(dòng)器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行1～100 Hz單一頻率和復(fù)合頻率期望信號(hào)進(jìn)行跟蹤控制實(shí)驗(yàn)。在線調(diào)整濾波器參數(shù)為αf=0.97，圖7～9分別為不同頻率下的跟蹤和誤差曲線。表2為不同頻率信號(hào)下的跟蹤誤差。由圖7～9和表2可知，基于Hammerstein-like逆模型的內(nèi)?？刂朴兄己玫母櫺Ч?，不管對(duì)單一頻率和復(fù)合頻率都有較高的跟蹤精度，驗(yàn)證了內(nèi)?？刂撇呗缘挠行?。
圖7 10 Hz跟蹤控制結(jié)果
圖8 80 Hz跟蹤控制結(jié)果
圖9 10 Hz/20 Hz/…/90 Hz跟蹤控制結(jié)果
表2 跟蹤誤差
4 結(jié)束語
針對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器的率相關(guān)遲滯非線性問題，首先建立了1～100 Hz內(nèi)統(tǒng)一的Hammerstein-like模型，分別以LS-SVM模型和ARX模型表示非線性部分和線性動(dòng)態(tài)部分。在驗(yàn)證了模型精度后，通過構(gòu)造其正、逆模型設(shè)計(jì)了內(nèi)?？刂破鳎詈笤趯?shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器進(jìn)行了跟蹤控制實(shí)驗(yàn)。對(duì)1～100 Hz內(nèi)單一頻率和復(fù)合頻率信號(hào)都有良好的跟蹤控制效果，相對(duì)誤差均在10%內(nèi)，滿足工程要求。
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壓電陶瓷作動(dòng)器作為一種微位移智能材料，在精密定位領(lǐng)域已被廣泛應(yīng)用，但其在輸入、輸出關(guān)系上呈現(xiàn)率相關(guān)性，這種遲滯特性嚴(yán)重降低了應(yīng)用端的控制精度[1]。針對(duì)系統(tǒng)非線性問題，現(xiàn)已發(fā)展形成多種建模和控制方法。比較常用的遲滯模型有支持向量機(jī)建模[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模[3]及Preisach模型[4]等。此外，針對(duì)率相關(guān)問題的建模理論可分為整體與分離兩種模型。常見的分離式模型有三明治模型、Hammerstein模型[5]及Wiener模型等，與整體式模型相比，其結(jié)構(gòu)明確，在非線性問題的研究中尚有很大的發(fā)展空間。一般控制策略有自適應(yīng)控制[6]、魯棒控制[7]、比例積分微分(PID)控制[8]及滑?？刂芠9]等。在控制方法中，內(nèi)?？刂品ㄓ捎诹己玫膶?shí)用性被逐漸應(yīng)用到遲滯非線性的跟蹤控制中。本文采用最小二乘支持向量機(jī)(LS-SVM)和自回歸歷遍模型(ARX)組成Hammerstein-like模型來對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器進(jìn)行建模，然后在模型基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)內(nèi)?？刂破鳎ㄟ^構(gòu)建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行跟蹤控制實(shí)驗(yàn)，最后通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證控制方案的有效性。
1 作動(dòng)器率相關(guān)模型
1.1 Hammerstein-like模型
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(1)
式中：C為懲罰因子；yi為輸出；xi為回歸向量；ξ為預(yù)測(cè)輸出與實(shí)際輸出之間的誤差；ω,b為待辨識(shí)參數(shù)；φ(x)為非線性映射。
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(2)
式中：e=[1,1,…,1]T;α=[α1,α2,…,αn]T;Y=[y1,y2,…,yn]T;Ωij=K(xi,xj)=φ(xi)·φ(xj)(i=1,2,…,n)為核函數(shù)。
非線性回歸估計(jì)模型為
(3)
(4)
式中：αi(i=1,2,…,n)為拉格朗日乘子；K(x,xi) (i=1,2,…,n)為高斯核函數(shù)[11]；σ為核參數(shù)。
1.1.2 ARX模型
ARX模型表達(dá)式為
(5)
式中：et為白噪聲信號(hào)；p,q為階數(shù)。其結(jié)構(gòu)寫成傳遞函數(shù)形式為
(6)
式中：A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+aqz-q;B(z)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bpz-p，z-1為單位延遲算子。
1.2 模型辨識(shí)
1.2.1 LS-SVM模型辨識(shí)
相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，小于1 Hz信號(hào)的壓電陶瓷作動(dòng)器遲滯環(huán)形狀基本不隨頻率變化而變化，故非線性部分LS-SVM模型通過1 Hz信號(hào)下的作動(dòng)器數(shù)據(jù)建模。選取動(dòng)態(tài)階數(shù)m=n=3，通過微粒群優(yōu)化算法調(diào)整參數(shù)結(jié)果為C=9.20×1012，σ=9。
1.2.2 ARX模型辨識(shí)
首先在1～100 Hz正弦掃描輸入信號(hào)u(t)激勵(lì)下采集得到壓電陶瓷作動(dòng)器的輸出y(t)，然后通過LS-SVM模型根據(jù)u(t)估計(jì)中間變量x(t)，最后由x(t)、y(t) 辨識(shí)出線性動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)ARX模型。建模的精確度由均方根誤差和相對(duì)誤差表示，定義相對(duì)誤差與均方根誤差分別為
(7)
(8)
辨識(shí)得到的ARX模型為
(9)
2 內(nèi)?？刂破髟O(shè)計(jì)
內(nèi)?？刂破鹘⒃谙到y(tǒng)逆模型基礎(chǔ)上，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，需要調(diào)節(jié)的變量少，更易于應(yīng)用到工程實(shí)踐中。Hammerstein-like模型是塊連接結(jié)構(gòu)，其逆模型分別針對(duì)非線性部分和線性動(dòng)態(tài)部分建立。內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)圖如圖2所示。圖中，M為作動(dòng)器辨識(shí)模型，N為Hammerstein-like模型非線性部分，G為Hammerstein-like模型線性部分，Q為前饋控制器，N-1為N的逆模型，W為G的逆模型，F(xiàn)為濾波器，r為期望信號(hào)。
圖2 內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)圖
2.1 Hammerstein-like模型的逆
內(nèi)?？刂品桨钢?前饋控制器的設(shè)計(jì)是其關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在整個(gè)控制結(jié)構(gòu)中，以系統(tǒng)逆模型作為前饋控制器，非線性部分的逆模型同樣采用最小二乘支持向量機(jī)，無需深入分析壓電陶瓷作動(dòng)器本身的物理機(jī)理，只需根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)樣本，把當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)的輸出和歷史時(shí)刻的輸入、輸出作為L(zhǎng)S-SVM的輸入，把當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)的輸入信號(hào)作為L(zhǎng)S-SVM的參考輸出，得到壓電陶瓷作動(dòng)器逆動(dòng)態(tài)的規(guī)律。
動(dòng)態(tài)線性部分G(z)的逆為
W(z)=G-1(z)
(10)
2.2 濾波器設(shè)計(jì)
在整個(gè)控制結(jié)構(gòu)中，引入反饋濾波器可抑制輸出振蕩,從而使系統(tǒng)魯棒性得到增強(qiáng)。實(shí)際控制中，濾波器的使用更傾向于采用一階形式濾波器，即：
(11)
式中αf(0<αf<1)為濾波器系數(shù)。
濾波器參數(shù)的選取是否合理不僅直接關(guān)系到系統(tǒng)的響應(yīng)性能，還會(huì)對(duì)其魯棒性產(chǎn)生影響。所以，應(yīng)在考慮魯棒性及響應(yīng)速度兩個(gè)因素的基礎(chǔ)上選取合適的參數(shù)。
3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果
3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)簡(jiǎn)介
圖3為壓電陶瓷作動(dòng)器實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)備，主要由作動(dòng)器、驅(qū)動(dòng)電源、電渦流傳感器、dSPACE 4部分組成。
圖3 實(shí)驗(yàn)設(shè)備
在實(shí)驗(yàn)過程中，采樣頻率為10 kHz，信號(hào)由Simulink方框圖下載傳輸至dSPACE系統(tǒng)中，進(jìn)行D/A轉(zhuǎn)換后由驅(qū)動(dòng)電源實(shí)現(xiàn)對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)，作動(dòng)器與電渦流傳感器相連，傳感器將輸出位移信號(hào)進(jìn)行A/D處理后再傳輸至dSPACE系統(tǒng)內(nèi)。
3.2 建模結(jié)果
通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測(cè)得壓電陶瓷作動(dòng)器單一頻率(1～100 Hz)及復(fù)合頻率(10 Hz/20 Hz/…/90 Hz、20 Hz/40 Hz/60 Hz/80 Hz、30 Hz/60 Hz/90 Hz)下的輸入、輸出數(shù)據(jù)對(duì)，分別與對(duì)應(yīng)頻率的模型輸出進(jìn)行比較。圖4～6分別為不同頻率下的建模結(jié)果。模型檢驗(yàn)誤差如表1所示。
圖4 60 Hz建模結(jié)果
圖5 復(fù)合頻率10 Hz/20 Hz/… /90 Hz建模結(jié)果
圖6 復(fù)合頻率30 Hz/60 Hz/90 Hz建模結(jié)果
表1 檢驗(yàn)誤差
由圖4～6和表1可知，所建Hammerstein-like模型能很好地?cái)M合壓電陶瓷作動(dòng)器不同頻率下的遲滯曲線，均方根誤差為0.121 2～0.416 1 μm，相對(duì)誤差為0.013 3～0.050 5。
3.3 跟蹤控制結(jié)果
通過壓電陶瓷作動(dòng)器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行1～100 Hz單一頻率和復(fù)合頻率期望信號(hào)進(jìn)行跟蹤控制實(shí)驗(yàn)。在線調(diào)整濾波器參數(shù)為αf=0.97，圖7～9分別為不同頻率下的跟蹤和誤差曲線。表2為不同頻率信號(hào)下的跟蹤誤差。由圖7～9和表2可知，基于Hammerstein-like逆模型的內(nèi)?？刂朴兄己玫母櫺Ч?，不管對(duì)單一頻率和復(fù)合頻率都有較高的跟蹤精度，驗(yàn)證了內(nèi)?？刂撇呗缘挠行?。
圖7 10 Hz跟蹤控制結(jié)果
圖8 80 Hz跟蹤控制結(jié)果
圖9 10 Hz/20 Hz/…/90 Hz跟蹤控制結(jié)果
表2 跟蹤誤差
4 結(jié)束語
針對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器的率相關(guān)遲滯非線性問題，首先建立了1～100 Hz內(nèi)統(tǒng)一的Hammerstein-like模型，分別以LS-SVM模型和ARX模型表示非線性部分和線性動(dòng)態(tài)部分。在驗(yàn)證了模型精度后，通過構(gòu)造其正、逆模型設(shè)計(jì)了內(nèi)?？刂破鳎詈笤趯?shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器進(jìn)行了跟蹤控制實(shí)驗(yàn)。對(duì)1～100 Hz內(nèi)單一頻率和復(fù)合頻率信號(hào)都有良好的跟蹤控制效果，相對(duì)誤差均在10%內(nèi)，滿足工程要求。
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