折紙視角下的橢圓概念
——“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)化

史瓊怡

(浙江省寧波市五鄉(xiāng)中學(xué) 浙江寧波 315000)

教學(xué)內(nèi)容解析：

本節(jié)課是人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2-1）第2章“圓錐曲線與方程”第2節(jié)“橢圓”的第一課時(shí)內(nèi)容，主要學(xué)習(xí)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。學(xué)生在必修2已初步掌握了解析幾何問(wèn)題的主要方法，并在平面直角坐標(biāo)系中研究了直線和圓這兩個(gè)基本的幾何圖形。本節(jié)課是在學(xué)習(xí)圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，將研究曲線的方法拓展到橢圓，是繼續(xù)學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；同時(shí)，本節(jié)課是圓錐曲線的起始課，滲透了數(shù)學(xué)兩大體系——幾何與代數(shù)間的互相轉(zhuǎn)化，幾何問(wèn)題代數(shù)化的數(shù)學(xué)思想，可為后續(xù)研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。

另外，本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、類比思想、化歸思想等，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。因此，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)重視體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法及價(jià)值。

學(xué)生學(xué)情分析：

通過(guò)對(duì)人教A版《數(shù)學(xué)2》（必修）第三章、第四章的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步掌握了解析幾何研究問(wèn)題的主要方法——坐標(biāo)法，并在平面直角坐標(biāo)系中研究了直線和圓這兩個(gè)基本的幾何圖形，基本實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形、代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系。但如何將幾何問(wèn)題代數(shù)化仍然是多數(shù)學(xué)生理解的難點(diǎn)。

本節(jié)課授課班級(jí)是筆者所在學(xué)校的普通班，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)水平總體較弱，且學(xué)生普遍對(duì)數(shù)學(xué)有一定的畏難情緒，對(duì)于較復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題，往往不知如何入手，計(jì)算能力較弱。

教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：

根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)及學(xué)生的認(rèn)知水平，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：1.歸納并理解橢圓的定義；鞏固用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，體會(huì)含有兩個(gè)根式的化簡(jiǎn)思路。2.通過(guò)歸納橢圓概念，化簡(jiǎn)橢圓方程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；學(xué)習(xí)掌握概念教學(xué)中類比、化歸等數(shù)學(xué)思想方法；3.經(jīng)歷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，增強(qiáng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)，并體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美。

教學(xué)重難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：掌握橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，理解坐標(biāo)法的基本思想；教學(xué)難點(diǎn)：推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教學(xué)過(guò)程分析：

一、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，觸發(fā)思考

同學(xué)們，我們每個(gè)人手里都有一張圓形紙片，今天我們用折紙游戲發(fā)現(xiàn)橢圓，要求如下：

1.在圓形紙片內(nèi)取異于圓心F2的定點(diǎn)F1；2.將圓形紙片的邊緣向內(nèi)折疊，使圓形紙片的邊緣過(guò)定點(diǎn)F1（即紙片邊緣上的一點(diǎn)A與定點(diǎn)F1重合）；3.畫(huà)出折痕（圖1）；4.重復(fù)上述操作，使折痕足夠密集（圖2）。

問(wèn)題1：你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生進(jìn)行直觀感知、思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、探究問(wèn)題的能力，為下一步做鋪墊。

二、數(shù)學(xué)抽象，深入研究

問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)的眼光重新分析折紙游戲。思考：在折紙的過(guò)程中，點(diǎn)與定點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的折痕有什么位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：折紙游戲引發(fā)學(xué)生探索的積極性，從折紙情境中抽象出數(shù)學(xué)原型，找到形成橢圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。但橢圓形成的過(guò)程比較抽象，其中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)量關(guān)系還需要進(jìn)一步分析，教師通過(guò)問(wèn)題鏈引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

問(wèn)題3：如圖3，你能否從“點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)角度思考橢圓的形成？連接AF2交折痕于點(diǎn)P，你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P和橢圓的位置關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：折紙游戲讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)AF1的垂直平分線圍成了一個(gè)橢圓。微觀上講，橢圓可以看作一些點(diǎn)的集合，通過(guò)師生活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從“點(diǎn)”的視角探究橢圓，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。

問(wèn)題4：如圖4，連接AF1，AF2，AF1的中垂線BC交AF2于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，有哪些不變的量？

設(shè)計(jì)意圖：定量關(guān)系是學(xué)生的思維障礙，從動(dòng)手操作得到的幾何圖形中進(jìn)一步抽象，提煉出數(shù)學(xué)結(jié)論。通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生能更直觀地感受到圖形中存在的定量關(guān)系。

三、歸納總結(jié)，形成概念

問(wèn)題5：橢圓的定義是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從定點(diǎn)、定長(zhǎng)等方面總結(jié)歸納出橢圓的定義，同時(shí)類比圓的定義，為后續(xù)研究雙曲線、拋物線做鋪墊，同時(shí)讓學(xué)生敘述橢圓的定義，鍛煉語(yǔ)言表達(dá)能力和數(shù)學(xué)歸納總結(jié)能力。

四、利用定義，推導(dǎo)方程

問(wèn)題6：回顧圓的方程推導(dǎo)過(guò)程，我們?nèi)绾瓮茖?dǎo)橢圓的方程？如何對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：1.類比圓的方程建立的過(guò)程得到橢圓的方程，讓學(xué)生充分感受知識(shí)之間的聯(lián)系，體會(huì)解析幾何的思想方法；2.方程的化簡(jiǎn)運(yùn)算是本節(jié)課的難點(diǎn)，通過(guò)對(duì)方程結(jié)構(gòu)的分析，指導(dǎo)學(xué)生得到解決帶根式方程問(wèn)題的統(tǒng)一方法，為后續(xù)研究雙曲線、拋物線的方程做鋪墊；3.學(xué)生在動(dòng)筆計(jì)算的過(guò)程中可以充分體會(huì)解析幾何的核心思想方法——通過(guò)代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，培養(yǎng)和鍛煉了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，體會(huì)代數(shù)與幾何兩大體系間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。

問(wèn)題7：如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，那橢圓的方程又如何？

設(shè)計(jì)意圖：利用類比對(duì)稱，化歸的思想讓學(xué)生體會(huì)問(wèn)題的本質(zhì)，只是位置不同，圖形是一致的，得出焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，避免繁雜計(jì)算。

問(wèn)題8：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a，b，c的關(guān)系怎樣？如何從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中判斷橢圓焦點(diǎn)的位置？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)歸納總結(jié)，讓學(xué)生對(duì)兩種方程進(jìn)行對(duì)比分析，強(qiáng)化對(duì)橢圓方程的理解，有助于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)歸納能力，而且使學(xué)生體會(huì)和學(xué)習(xí)類比的思想方法，為后邊雙曲線、拋物線及其他知識(shí)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

五、隨堂練習(xí)，檢驗(yàn)新知

例2：一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是什么？

設(shè)計(jì)意圖：例1可以利用定義，也可以用圓中求參數(shù)的方法，通過(guò)用待定系數(shù)法解決。例2考察用折紙法形成橢圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

本節(jié)課的重點(diǎn)是橢圓的定義，難點(diǎn)是化簡(jiǎn)變形和運(yùn)算，兩道練習(xí)題的設(shè)置強(qiáng)調(diào)了本節(jié)課的重點(diǎn)，也為解決幾何運(yùn)算求解問(wèn)題提供了可參考性的方法。

六、知識(shí)小結(jié)，升華內(nèi)涵

思考：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要知識(shí)是什么？2.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用方法是什么？3.本節(jié)課涉及了哪些數(shù)學(xué)思想方法？