在Yang-Lee邊界臨界區(qū)域貝里相位標(biāo)度行為的理論研究

高琪　裴明旭　吳曉慶　翟良君

摘 ? ?要：以縱向虛外場一維橫場伊辛模型為例，計(jì)算了非厄米體系中貝里相位的標(biāo)度行為。研究采用雙參數(shù)空間中的貝里相位進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果表明：貝里相位的實(shí)部和虛部能夠反映出Yang-Lee邊界奇異點(diǎn)（Yang-Lee edge singularity， YLES）周圍的異常行為;在由（0+1）D YLES和（1+1）D YLES的臨界區(qū)構(gòu)成的重疊臨界區(qū)中，貝里相位的實(shí)部和虛部的標(biāo)度規(guī)律可以同時(shí)用（0+1）D YLES和（1+1）D YLES標(biāo)度理論加以描述。因此，復(fù)合貝里相可以作為非厄米系統(tǒng)中檢測耗散性相變的通用序參量。

關(guān)鍵詞：貝里相位;Yang-Lee邊界臨界區(qū);對稱性破缺相變

中圖分類號：O413.3 ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-7394（2020）02-0074-07

近年來，貝里相位的理論和實(shí)驗(yàn)探究受到了人們越來越多的關(guān)注。貝里相位描述了量子系統(tǒng)參數(shù)空間經(jīng)歷循環(huán)絕熱過程而產(chǎn)生的量子相位效應(yīng)，是物理學(xué)中一個(gè)非常重要的概念。由于其滿足規(guī)范不變性，因而在原子分子物理、量子信息以及拓?fù)洳牧系缺姸囝I(lǐng)域中都有著極為廣泛的應(yīng)用[1-3]。近期，在凝聚態(tài)物理學(xué)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)，貝里相位與量子相變（Quantum phase transition， QPT）之間存在著密切的聯(lián)系[4-5]。研究表明：貝里相位能夠作為序參量來描述系統(tǒng)的QPT，并且具有很好的標(biāo)度性質(zhì)。例如，ZHU等人的研究發(fā)現(xiàn)在XY伊辛鏈模型中，基態(tài)的貝里相位在QPT的臨界區(qū)域表現(xiàn)出明顯的異常行為，并且滿足相關(guān)的標(biāo)度規(guī)律[5]。除QPT和經(jīng)典相變外，發(fā)生在非厄米量子系統(tǒng)中的Yang-Lee邊界奇異點(diǎn)（Yang-Lee edge singularity， YLES）臨界區(qū)域的耗散性相變（Dissipative phase transition， DPT）也具有重要的研究意義[6]。與QPT不同，非厄米量子系統(tǒng)中的DPT是由于量子系統(tǒng)的耗散強(qiáng)度的變化而引起的一種相變行為。雖然對QPT中貝里相位的標(biāo)度行為已得到了廣泛的研究，但DPT中貝里相位的標(biāo)度行為還需要更深入的研究。

當(dāng)考慮量子體系與外界環(huán)境的相互作用時(shí)，系統(tǒng)是一個(gè)開放的量子體系，可用非厄米哈密頓量來描述。近期，研究人員也將貝里相位推廣至非厄米量子體系的幾何描述中[7-9]，并對非厄米量子系統(tǒng)中貝里相位與QPT之間的關(guān)系進(jìn)行了研究。由于DPT引起的變化同樣能夠反映在希爾伯特空間的幾何結(jié)構(gòu)變化中，而非厄米系統(tǒng)的貝里相位可以很好地描述這種幾何結(jié)構(gòu)的變化，這也就意味著，貝里相位可作為一個(gè)通用的序參量來描述QPT和DPT的標(biāo)度行為。此外，由于在Yang-Lee邊界臨界區(qū)域的DPT通常伴隨有宇稱-時(shí)間對稱性（Parity transformation and time reversal， PT）破缺的相變，因此，非厄米量子體系的DPT的研究也就能夠作為研究PT對稱性破缺相變的一個(gè)模型[10-13]?？紤]到PT對稱性量子力學(xué)研究的重要意義，對Yang-Lee邊界臨界區(qū)域貝里相位的標(biāo)度行為理論研究也就同樣具有重要的意義。近期，ZHAI等人[14]提出了一種能夠滿足規(guī)范變換不變性的數(shù)值方法，首次對Yang-Lee邊界臨界區(qū)域的貝里相位的標(biāo)度行為進(jìn)行了研究。他們的研究表明：對于中等大小的格子，貝里相位的實(shí)部和虛部都能夠用來描述靜態(tài)DPT，并且在靠近鐵磁-順磁相變點(diǎn)時(shí)其標(biāo)度行為能夠同時(shí)用（0+1）維（（0+1） D） YLES 相變以及通常的（1+1） D鐵磁-順磁相變的標(biāo)度理論所描述。

以具有縱向虛外場的一維橫場伊辛模型為例，采用文獻(xiàn)[14]中提出的數(shù)值方法，計(jì)算了小格子以及中等大小格子時(shí)的復(fù)數(shù)貝里相位的標(biāo)度行為。當(dāng)遠(yuǎn)離鐵磁-順磁相變點(diǎn)時(shí)，該模型存在一個(gè)由（0+1） D YLES和（1+1） D YLES構(gòu)成的重疊區(qū)域。發(fā)現(xiàn)貝里相的實(shí)部和虛部可以用（0+1）D YLES和（1+1） D YLES 的臨界指數(shù)來進(jìn)行標(biāo)度。計(jì)算結(jié)果表明：復(fù)數(shù)貝里相位可以作為PT對稱和PT對稱破缺下DPT的通用序參量。

1 ? 縱向虛外場一維橫場伊辛模型的貝里相位

縱向虛外場一維橫場伊辛模型的哈密頓量表述為：

[H=-n=1Lσznσzn+1-λn=1Lσxn-ihn=1Lσzn'] ?， ? ? ? ? ? ?（1）

其中，[σxn]和[σzn]分別表示格點(diǎn)n處x和z方向上的泡利矩陣，[λ]和[h]分別為沿橫向和縱向的外場分量，L為晶格大小。對于模型（1），由于縱向虛外場具有與實(shí)外場相同的量綱，其鐵磁-順磁相變點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)在[λc=1]且[h=0]的位置。而在此鐵磁-順磁相變點(diǎn)之外，當(dāng)[g=λ-λc>0]時(shí)，YLES的相變點(diǎn)出現(xiàn)在[gLYL'hLYL]處，其中，上標(biāo)L表示晶格大小。與一般的鐵磁-順磁相變總是出現(xiàn)在熱力學(xué)極限下有所不同，YLES點(diǎn)可以在有限晶格大小時(shí)出現(xiàn)，并且它們的位置會(huì)隨著L的變化而變化[15]。

在YLES點(diǎn)附近，該模型也會(huì)經(jīng)歷PT對稱性破缺相變。對于固定的[g]，[hgLYL]）時(shí)，系統(tǒng)處于PT對稱相，基態(tài)能量為實(shí)數(shù);對于固定[g]，[h>hLYL]（或固定[h]，[g

為了解決貝里相位計(jì)算中的規(guī)范變換問題[5][16]，我們通過引入兩種方向的自旋的旋轉(zhuǎn)對哈密頓（1）式做了規(guī)范變換。變換后的哈密頓為：

[Hθη=UθUηHU+ηU+θ] ， ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

其中，[Uθ=n=1Leiθσzn/2]表示自旋繞z軸做角度為[θ]的旋轉(zhuǎn)，[Uη=n=1Leiησxn/2]表示自旋繞x軸做角度為[η]的旋轉(zhuǎn)。通過這些幺正變換，可以得到一個(gè)由[θ，η]構(gòu)成的二維參數(shù)空間，并可以在此參數(shù)空間里應(yīng)用規(guī)范不變性的貝里相位的數(shù)值計(jì)算公式。但值得注意的是，體系在臨界區(qū)域的動(dòng)力學(xué)行為并不依賴于參數(shù)[θ]和[η]，這是因?yàn)楣茴D（2）式的能譜不會(huì)受到該幺正變換的影響。

非厄米系統(tǒng)中貝里相位定義[4]為：

[βn=cΨnλ?aΨnλdλa]， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

其中[Ψnλ]和[Ψnλ]分別是非厄米矩陣的左右本征向量，其滿足：[HλΨnλ=EnλΨnλ]，[ΨnλHλ=EnλΨnλ]，以及[mΨmλΨmλ=1]。在二維參數(shù)空間中，體系基態(tài)的貝里相位可表示為：

[βg=χθ，ηdθdη=idθdηm≠gψg?θHψmψm?ηHψg-θ?ηEg-Em2=βR+iβI，] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

其中，定義了貝里曲率[χθ，η]，[?θ=??θ]，[?η=??η]，[ψm]是[H]的本征態(tài)，[ψg]為基態(tài)。[βR]和[βI]分別為貝里相的實(shí)部和虛部。盡管這個(gè)表達(dá)式與厄米系統(tǒng)中貝里相的表達(dá)式形式一致，但這里的能量Em一般是一個(gè)復(fù)數(shù)。

[ψm]可以由哈密頓（1）的本征態(tài)[?m]做如下的變換得到：

[ψm=U+ηU+θ?m]。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

由于本征態(tài)[?m]與參量[θ]和[η]無關(guān)，貝里曲率[χθ，η]寫為：

[χθ，η=-im≠g?mWθ?m?mWη?m-θ?η]， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

其中：[Wθ=UθUη?θUη+Uθ+=Uθ?θUθ+]，[Wη=UθUη?ηUη+Uθ+]。[Wθ]也可以寫成：

[Wθ=n=1Leiθ2σznk…?e-iθ2σzk-1?θ?e-iθ2σzk?e-iθ2σzk+1?...=k…?σ0?eiθθ2σzk?θ?e-iθ2σzk?σ0?...=-i2kσzk， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）]其中[σ0]為單位矩陣?？梢?，[Wθ]也與參量[θ]和[η]無關(guān)，采用同樣方式也可以對[Wη]做變化得到：

[Wη=-i2cosηjσxj+sinηjσyj]。 ? ? ? ? ? ? ?（8）

將（7）（8）兩式帶入（6），可得到貝里曲率：

[χθ，η=-12m≠gj?gσzj?m?mσxj?g-z?xcosη+?gσzj?m?mσyj?g-z?ysinη=χR+iχI。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）]其中[χR]和[χI]分別表示貝里曲率的實(shí)部和虛部，由此可見，貝里曲率[χθ，η]與參量[θ]無關(guān)。如圖1所示，貝里曲率隨角度[θ]和[η]變化，可以看到貝里曲率的實(shí)部和虛部均與[θ]無關(guān)。這一結(jié)果也表明，本研究中所采用的雙參數(shù)空間中的貝里相位與以往研究中所采用較多的單參數(shù)空間的貝里相位應(yīng)具有相同的物理意義。

2 ? 數(shù)值結(jié)果

在本節(jié)中，我們將研究YLES點(diǎn)附近臨界區(qū)域貝里相位的靜態(tài)標(biāo)度規(guī)律。在此臨界區(qū)域，已有的研究發(fā)現(xiàn)對于較小晶格時(shí)，體系的相變行為能夠用（0+1） D YLES指數(shù)所描述;而對于中等大小晶格時(shí)，其相變行為可以同時(shí)被（0+1） D和（1+1） D YLES臨界指數(shù)來描述[14]。（0+1） D和（1+1） D YLES臨界指數(shù)分別為：[β0=β1=1，ν0=-1，δ0=-2，ν1=-5/2，δ1=-6]，其中，下角標(biāo)表示維度。如圖2所示，給出了[λ]確定的情況下，YLES點(diǎn)周圍的臨界區(qū)的示意圖。其中：黑色表示由[hLYL]構(gòu)成的曲線，該曲線與x軸交點(diǎn)為[h∞YL]（格點(diǎn)無窮大時(shí)YLES點(diǎn)）;深色區(qū)域表示格點(diǎn)較小的情況時(shí)的臨界區(qū)域，其相變行為能夠用（0+1） D YLES理論所描述;而淺色區(qū)域表示中等大小格點(diǎn)情況，其相變行為可以被（1+1） D YLES理論所描述。

如圖3所示，給出了在YLES點(diǎn)附近臨界區(qū)域，尺寸較小晶格的貝里相位的實(shí)部和虛部隨參數(shù)h和[λ]的變化?？梢钥吹剑赮LES周圍[βR]和[βI]處均會(huì)出現(xiàn)異常的峰值，這些結(jié)果表明復(fù)數(shù)貝里相位能夠描述DPT。

為了進(jìn)一步了解貝里相位與DPT之間的關(guān)系，我們對[βR]和[βI]的標(biāo)度規(guī)律進(jìn)行了研究。在臨界點(diǎn)附近，數(shù)值計(jì)算表明[βR]和[βI]滿足如下的標(biāo)度規(guī)律：

[βR（I）h-hLYL∝h-hLYL1δ0]。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

圖4中，給出了L=2時(shí)，[hLYL]點(diǎn)附近[βR]和[βI]隨[h-hLYL]的變化。其中擬合曲線的指數(shù)為-0.495 4和-0.497 8，接近0.5，證明了滿足（0+1）D YLES的標(biāo)度行為。hx=5，hyL= 2.933 353 621 854 912。在雙數(shù)-對數(shù)坐標(biāo)系中，[βR]和[βI]與[h-hLYL]為直線關(guān)系，說明[βR]和[βI]之間滿足指數(shù)規(guī)律。進(jìn)一步的擬合結(jié)果表明圖中曲線的斜率分別為-0.499 7和-0.500 1，從而數(shù)值地驗(yàn)證了等式（10）。這個(gè)結(jié)果也表明（0+1）D YLES理論可以很好地描述貝里相位的標(biāo)度行為[17]。值得注意的是，圖4（a）中，[hhLYL‘]，貝里相位是在PT對稱破缺相中所定義的。因此，這個(gè)結(jié)果也證明了貝里相位可以作為一個(gè)通用的序參量來描述PT對稱相和PT對稱破缺相。此外，公式（10）中的臨界指數(shù)與文獻(xiàn)[17]中定義的序參量的指數(shù)是完全相同的，該結(jié)果為在實(shí)驗(yàn)上測量貝里相位提供了一種新的思路。

對于中等大小的晶格的情況，我們首先給出了[λ=5]時(shí)，不同晶格尺寸的貝里相位隨h變化的情況，如圖5所示。可以看到，在YLES相變點(diǎn)附近，貝里相位的實(shí)部和虛部都會(huì)出現(xiàn)異常的峰值。這些結(jié)果也表明，在較大格子時(shí)，貝里相位的變化能夠體現(xiàn)出DPT。

圖6給出了較大格子時(shí)貝里相位的標(biāo)度規(guī)律。圖6（a）表示[λ=5]，L=9時(shí)貝里相位的虛部在YLES點(diǎn)附近的變化。可以看到，在雙數(shù)-對數(shù)坐標(biāo)系下，貝里相位的虛部與[h-hLYL]成線性關(guān)系，表明它們之間滿足指數(shù)規(guī)律的關(guān)系。進(jìn)一步的數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn)，圖中直線斜率為-0.498 8。對于貝里相位的實(shí)部，同樣能夠得出類似的結(jié)論，表明在較大格子時(shí)貝里相位的標(biāo)度規(guī)律同樣可以用（0+1） D YLES理論所描述。

對于（1+1） D YLES的臨界區(qū)域，相關(guān)的研究發(fā)現(xiàn)[18]，[hLYL]與[h∞YL=2.292 475]之差與晶格的尺寸滿足如下的關(guān)系：

[hLYL-h∞YL=C（λ）L-（β1δ1/ν1）]。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

其中，[β1δ1/ν1=2.4]。為了驗(yàn)證該關(guān)系，在圖6（b）中給出了貝里相位的異常點(diǎn)出現(xiàn)的位置與[h∞YL]之差隨晶格大小的變化的規(guī)律。通過對該曲線的擬合發(fā)現(xiàn)，[hLYL-h∞YL]與晶格大小L滿足[hLYL-h∞YL∝L-2.356]。該結(jié)果表明，中等大小晶格時(shí)，貝里相位的標(biāo)度性質(zhì)也能夠被（1+1） D YLES理論所描述。

近期，PENG等人完成了實(shí)驗(yàn)上對XY海森堡模型的基態(tài)的貝里相位的測量[19];而關(guān)于Yang-Lee邊界理論也在實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證[20]。因此，我們也期待這里的理論計(jì)算結(jié)果能夠被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。

3 ? 結(jié)語

本文用數(shù)值方法計(jì)算了非厄米體系中YLES點(diǎn)臨界區(qū)域貝里相位的標(biāo)度規(guī)律。研究表明，貝里相位可以作為一個(gè)通用的序參量來描述在PT對稱和PT對稱破缺相中的DPT，并且在遠(yuǎn)離鐵磁-順磁相變點(diǎn)的情況下，其標(biāo)度規(guī)律能夠被（0+1） D和（1+1） D YLES臨界理論同時(shí)所描述。由于貝里相位在量子力學(xué)的很多領(lǐng)域都具有普遍意義，并且總是與如磁矩、極化率或電導(dǎo)等實(shí)際模型中的序參量聯(lián)系起來，因此，我們對貝里相位的標(biāo)度規(guī)律的研究具有重要的物理意義。非厄米體系的相關(guān)問題是近期人們在理論和實(shí)驗(yàn)研究上的熱點(diǎn)問題，考慮到我們這里定義的非厄米的貝里相位可以在復(fù)雜的相變中作為一個(gè)通用的序參量來描述相變，因此非厄米的貝里相位也同樣能夠應(yīng)用于非厄米體系相關(guān)的其他問題的研究中。例如，對于非厄米體系的非平衡態(tài)相變動(dòng)力學(xué)的問題，貝里相位同樣可以作為序參量去描述非厄米非平衡相變動(dòng)力學(xué);在對非厄米體系中的拓?fù)湎嘧儐栴}的討論中，由于在厄米體系中貝里相位總是與拓?fù)洮F(xiàn)象聯(lián)系起來，因此，非厄米的貝里相位同樣能夠用于非厄米體系的拓?fù)湎辔坏臉?biāo)度問題。當(dāng)然，這些工作還有待今后進(jìn)一步討論。

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責(zé)任編輯 ? ?祁秀春

Theoretical Study on Bailey Phase Scaling Behavior in the Critical

Region of Yang-Lee Boundary

GAO Qi，PEI Mingxu，WU Xiaoqing，ZAI ?Liangjun

（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology，Changzhou 213001，China）

Abstract：We employ a model of the one-dimensional quantum sing model in an imaginary longitudinal field to study the scaling behavior of the Berry phase in the non-Hermitian systems. The Berry phase in two parameters space is used for calculation. The results show that the real and imaginary parts of the Berry phase can show anomalies around the critical points of the Yang-Lee edge singularity （YLES）. In the overlapping critical regions constituted by the （0 + 1）D YLES and （1 + 1）DYLES，we find that the real and imaginary parts of the Berry phase can be described by both the （0 + 1）D YLES and （1 + 1）D YLES scaling theory. Therefore，the complex Berry phase can be used as universal order parameter for description of the dissipative phase transition in the non-Hermitian systems.

Key ?words：Berry phase;Yang-Lee edge singularity;symmetry reaking phase transition

收稿日期：2019-10-29

基金項(xiàng)目：江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目“不同類型外爾半金屬手征磁效應(yīng)的理論研究”（BK20170309）;國家自然科學(xué)基 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 金項(xiàng)目“外爾半金屬手征磁效應(yīng)的理論研究”（11704161）

作者簡介：高琪，助教，碩士，主要研究方向?yàn)楣δ懿牧?翟良君，副教授，博士，主要研究方向?yàn)槟蹜B(tài)物理理論。