拉索線形參數(shù)的解析解研究

曠新輝，江 海，殷 源，吳 超，何雄君

(1.湖北省路橋集團(tuán)有限公司， 湖北 武漢 430056；2.湖北省聯(lián)合發(fā)展投資集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430000； 3.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，湖北 武漢 430063；4.湖北省公路工程研究中心，湖北 武漢 430063)

0 引言

斜拉橋因跨越能力強(qiáng)、經(jīng)濟(jì)指標(biāo)好以及結(jié)構(gòu)形式新穎、美觀等特點(diǎn)，已成為現(xiàn)代橋梁工程中最熱門的橋型之一[1]。斜拉索作為斜拉橋結(jié)構(gòu)中的主要承重構(gòu)件，為梁體提供彈性支撐，將橋跨結(jié)構(gòu)的自重以及橋面活載傳遞至索塔；同時(shí)斜拉索的存在使得梁跨截面的最大彎矩得以降低，提高了橋梁的跨越能力[2]。斜拉索是一種柔性結(jié)構(gòu)，其在拉索自重和張力的作用下線形呈懸鏈線[3]，實(shí)際斜拉索線形受端部張力、索長、彈性變形、幾何非線性等因素的影響，拉索的線形問題一直以來都是橋梁工作者研究的熱點(diǎn)[4]。

Bernoullis，Leibnitz，Routh，F(xiàn)eld先后計(jì)算得到了斜拉索的懸鏈線解，為斜拉索的靜力分析奠定了基礎(chǔ)，但其計(jì)算方法相當(dāng)繁瑣。Ernst在1965年提出了修正彈性模量的表達(dá)式——Ernst公式，考慮將曲線斜拉索用兩節(jié)點(diǎn)直線桿來代替，通過修正斜拉索的彈性模量來考慮其剛度，但由于斜拉索位移和索力增量之間的非線性關(guān)系，這種算法會(huì)導(dǎo)致斜拉索索力和拉伸量之間關(guān)系的不閉合。張震陸等[5]提出了“懸鏈段”分析方法，對于一個(gè)特定的問題，只要求出各懸鏈段對應(yīng)水平懸鏈的跨度及其他參數(shù)，即可得到待求量。該方法由于利用了水平懸鏈線的精確解，精度高于其他近似方法。彭力軍等[6]提出了利用斜拉索索長來計(jì)算水平張拉力，以及通過斜拉索端部張拉力反求斜拉索索長的迭代方法。李強(qiáng)興[7]推導(dǎo)了斜拉索的計(jì)算公式，假定水平張力為已知量來計(jì)算索長、傾角等，但從實(shí)際應(yīng)用的角度考慮，其假定的索長和水平張拉力均是待求的未知參數(shù)，誤差大。魏建東[8]推導(dǎo)了含待定參數(shù)的斜拉索線形的靜力方程，可以應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)及強(qiáng)度驗(yàn)算，但該方法需要編程并進(jìn)行迭代求解，在實(shí)際工程應(yīng)用中不太方便。麥深林[9]利用斜拉索自重作用下斜拉索微段的靜力平衡方程，推導(dǎo)出考慮彈性變形和不考慮彈性變形兩種情況下斜拉索懸鏈線線形所對應(yīng)的物理量，并提出了基于移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)的斜拉索簡化計(jì)算方法。目前許多工程技術(shù)人員在計(jì)算中利用拋物線方程近似替代懸鏈線方程來求解斜拉索參數(shù)，該方法雖然能夠滿足一些工程應(yīng)用的要求，但當(dāng)處理有關(guān)斜拉索的非線性問題而又考慮彈性變形的影響時(shí)，就會(huì)遇到數(shù)學(xué)上的困難[10]。

因此有必要研究一種沒有限制的精確計(jì)算方法，筆者在本研究中利用自重作用下任意微段的靜力平衡方程，推導(dǎo)出斜拉索的線形理論公式，并從斜拉索的基本線形方程出發(fā)，推導(dǎo)出有工程應(yīng)用價(jià)值的斜拉索參數(shù)。

1 拉索線形的解析解推導(dǎo)

如圖1所示，以梁端錨點(diǎn)處為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，塔端錨點(diǎn)坐標(biāo)(X1,Y1)，拉索上任一點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)。拉索在拉力N，重力場G的作用下，發(fā)生拉伸和下?lián)?，任意微元體之間的拉力N、N～和重力ΔG滿足力的平衡條件，以任意微元體的平衡條件構(gòu)造拉索線形的微分方程并求解。

圖1 斜拉索懸掛參數(shù)Fig.1 Suspension parameters of stay cable

根據(jù)斜拉索的微段平衡條件，計(jì)算圖如圖2所示。

圖2 斜拉索任意微段的平衡Fig.2 Equilibrium of any micro segment of stay cable

設(shè)拉索曲線方程為：

y=f(x)，

(1)

則拉索任一點(diǎn)的水平夾角：

φ(x)=arctan[f′(x)]，

(2)

(3)

(4)

任意微元體的重力：

(5)

式中，A為拉索正截面面積；N為拉索任意一點(diǎn)索力；E為拉索彈性模量。

微元體長：

(6)

索長：

(7)

由任意微元體的靜力平衡可得：

(8)

C=N[φ(x+dx)-φ(x)]。

(9)

當(dāng)dx→0時(shí)，C為正無窮小量。

將式(9)Taylor展開[11]，取前2項(xiàng)，略去dx高次項(xiàng)，公式化簡為：

C=Nφ′(x)dx。

(10)

將方程(3)～(6)，(10)代入式(8)，化簡整理得：

(11)

f″(x)-Df′(x)2-D=0，

(12)

(13)

參數(shù)D1，D2為解微分方程后的待定系數(shù)。將坐標(biāo)系建立在梁端錨點(diǎn)，式中梁端錨點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，塔端錨點(diǎn)坐標(biāo)(X1,Y1)，求出待定參數(shù)D1，D2。

D2=-1，

(14)

(15)

拉索的線形方程解即解析解為：

(16)

2 基于線形方程的拉索重要參數(shù)推導(dǎo)

根據(jù)推導(dǎo)的拉索線形方程，可以求解出：曲線索長ls、無應(yīng)力索長l0、等效彈性模量Eeq、梁端錨點(diǎn)水平夾角φ(0)、塔端水平夾角φ(x)、拉索的垂度fm。

2.1 曲線索長求解

D可改寫成為：

(17)

展開式(17)，得：

(18)

(19)

(20)

2.2 無應(yīng)力索長求解

拉索在拉應(yīng)力σ作用下發(fā)生體積變化，其體積變化滿足體積柔量公式[12]：

(21)

(22)

故：

(23)

2.3 拉索在任意應(yīng)力下的等效彈性模量

(24)

將式(22)代入式(24)左側(cè)，可求得任意應(yīng)力σ作用下的Eeq。

(25)

(26)

展開式(26)，后兩項(xiàng)占Eeq的比值小于0.2%，做近似計(jì)算時(shí)，等效彈模公式[13-14]可簡化為：

(27)

2.4 拉索梁端和塔端錨固角度求解

任意點(diǎn)拉索的角度為：

(28)

拉索梁端錨固角度：

φ(0)=arctan(D1)。

(29)

拉索塔端錨固角度：

(30)

2.5 拉索垂度求解

(31)

將f(x)表達(dá)式代入化簡為：

(32)

2.6 拉索錨固點(diǎn)位移對索力的影響

拉索錨具變形、主塔與主梁彈性壓縮、混凝土的收縮徐變對索力的影響本質(zhì)上均由拉索錨點(diǎn)的幾何變形導(dǎo)致。

考查式(24)，拉索的錨點(diǎn)幾何變形量可改寫為：

(33)

求出：

σ2=EeqΔ+Δσ1+σ1，

(34)

應(yīng)力變化值：

dσ=σ2-σ1=EeqΔ+Δσ1，

(35)

式中Δ為錨點(diǎn)間距變化增量[15](無量綱數(shù))：

(36)

3 算例

3.1 算例1

以文獻(xiàn)[15]中提供的計(jì)算實(shí)例進(jìn)行計(jì)算。取某長江公路大橋編號為J10，J18的斜拉索進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算方法分別采用Ernst公式[16-18]和本研究介紹方法。計(jì)算參數(shù)及計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 某長江公路大橋斜拉索J10、J18計(jì)算參數(shù)對比Tab.1 Comparison of calculation parameter of stay cables J10 and J18 of a Yangtze River highway bridge

輸出結(jié)果J10J18本研究計(jì)算結(jié)果Ernst公式本研究計(jì)算結(jié)果Ernst公式梁端斜率0.7600.7790.4840.508 塔端斜率0.798 0.7790.5330.508 索長/m158.930 158.926248.078 248.063 伸長量/m0.4100.344 0.7010.595 無應(yīng)力索長/m158.520158.582247.377247.468

3.2 算例2

以筆者承擔(dān)施工的某在建長江公路大橋?yàn)槔謩e取M10，M20，M30，這3根索，按Ernst公式方法和本研究介紹方法進(jìn)行計(jì)算斜拉索索長及無應(yīng)力索長等參數(shù)，計(jì)算參數(shù)表及計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 某在建長江公路大橋斜拉索M10，M20，M30 計(jì)算參數(shù)對比Tab.2 Comparison of calculation parameters of stay cables M10, M20, M30 of a Yangtze River highway bridge under construction

實(shí)際施工M10，M20，M30，這3根索的無應(yīng)力索長分別為209.379，342.940，487.351 m。這說明按Ernst公式計(jì)算的無應(yīng)力索長偏長，而利用本研究計(jì)算方法的無應(yīng)力索長等計(jì)算相對準(zhǔn)確。

4 結(jié)論

本研究的拉索線形公式推導(dǎo)拋開了Ernst公式的假定條件，等效彈性模量推導(dǎo)直接利用廣義胡克定律中的體積柔量公式，以上參數(shù)和結(jié)果均為理論推導(dǎo)值，避免了近似計(jì)算帶來的誤差，在超大跨度斜拉索的計(jì)算上有著更好的適應(yīng)性，并在實(shí)際應(yīng)用過程中得到驗(yàn)證。